1、南通市小海中學校本課程、選修課程教案用紙課程名稱多面體歐拉公式的發現及應用執 教 人葛梅執教課時數1（ 1）了解大數學家歐拉的生平及其在數學領域作出的杰出貢獻；教（ 2）了解歐拉公式產生的背景；學（ 3）理解歐拉公式“ V E+F=2 ”的證明；（ 4）能解決與歐拉公式有關的簡單問題；目（ 5）培養學生發現問題、提出問題、解決問題、獲取知識、運用知識的能力。標一、研究方法及具體任務：（ 1）歐拉生平及歐拉主要研究成果（數學方面）。（ 2）模型制作 ：五種正多面體及 C60 的模型。（ 3）證明公式 ：自主證明歐拉公式或查找關于歐拉公式的證明。（ 4）資料搜索及研究相關問題：可以上網或通過圖書館

2、等方式搜索有關的內容、資料，提供。二、課題指南 ：（ 1）人物介紹 ：瑞士著名的數學家歐拉,是數學史上的最多產的數學家,他畢生從事數學研究,他的論著幾乎涉及18 世紀所以的數學分支。比如數學中的歐拉公式,歐拉方程，歐拉常數,歐拉方法，歐拉猜想等。歐拉晚年不幸雙目失明，在失明后的17 年里，他還口述著了幾本書和約 400 篇論文（ 2）背景 ：歐拉公式的背后是一門新的幾何學，這種新的幾何學只研究圖形各部分位置的相對次序，而不考慮圖形尺寸大小，這就是由萊布尼茲和歐拉共同奠基的“橡皮膜上的幾何學”教 （位置幾何學） ，如今這門學科已經發展成數學的一個重要的分支拓樸學。（ 3）歷史 ：有關凸多面體最有

3、趣的定理之一是歐拉公式“V E+F=2 ”，其實大約在1635 年笛學卡爾就早已發現了它。歐拉在1750 年獨立地發現了這個公式，并于1752 年發表了它。由于笛卡爾的研究到1860 年才被人們發現，所以這個定理就稱為歐拉公式而不是笛卡爾公式。過三、知識準備：1 多面體的概念：由若干個多邊形圍成的空間圖形叫多面體；每個多邊形叫多面體的面，兩個程 面的公共邊叫多面體的棱，棱和棱的公共點叫多面體的頂點，連結不在同一面上的兩個頂點的線段叫多面體的對角線2凸多面體：把多面體的任一個面展成平面，如果其余的面都位于這個平面的同一側，這樣的多面體叫凸多面體如圖的多面體則不是凸多面體3凸多面體的分類：多面體至

4、少有四個面，按照它的面數分別叫四面體、五面體、六面體等四、講解新課：問題 1： 數出下列四個多面體的頂點數V、面數 F、棱數 E 并填表圖形編號頂點數 V面數 F棱數 E（ 1)446（ 2）8612（ 3）6812教（ 4）9815學規律： V+F-E=2問題 2：數出下列四個多面體的頂點數V、面數 F、棱數 E 并填表過程( 6 )( 7 )( 8 )圖形編號頂點數 V面數 F棱數 E（ 6)558（ 7）121224（ 8）7812問： V+F-E=2 還成立嗎？1. 歐拉公式的探究（ 1）請查出第一組圖的頂點數V、面數 F、和棱數 E，并計算 V FE。（ 2）查出第二組圖中的頂點數

5、V、面數 F、和棱數 E，并驗證上面公式是否還成立？假如第一組圖，第二組圖的多面體表面是像皮膜，向第一組圖內充氣則將變成一個球面，第二組圖中將變成兩個緊貼的球面和一個環面。可以驗證：只有像第一組圖這樣，經過連續變形，表面能變為一個球面的多面體才滿足公式 VF E 2。這個公式稱為歐拉公式，這樣的多面體稱為簡單多面體。除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經過連續變形變為一個球面，而能變為一個環面。例如：棱柱 , 棱錐 , 正多面體等一切凸多面體都是簡單多面體.2歐拉定理 （歐拉公式）：簡單多面體的頂點數V 、面數 F 及棱數 E

6、有關系式：VFE2證明 :( 方法一 )E 1EA1D1E 1B1C1ADEDA1CD1AB11BCCB(10)如圖：將多面體的底面 ABCDE剪掉，抻成平面圖形，其頂點、棱數，面數（剪掉面用右圖中 ABCDE表示）均沒有變，故所有面的內角總和不變。 設 左圖 中 共 有 F 個 面 ， 分 別 是 n1, n2 , nF 邊 形 ， 頂 點 數 為 V， 棱 數 為 E, 則n1 n2nF2E .左圖中，所有面的內角總和為(n12)180(n22)180(nF2)180 (n1 n2nF 2F )180 (2E 2F )180(EF )360右圖中，所有面的內角總和為V上 360 （ V下2

7、）180 （ V下2）180 (剪掉的底面內角和 )0（V上V上2）360(V2)360 (E F )360 (V2)3600整理得V FE 2 .（方法二）以四面體ABCD 為例來說明：將它的一個面BCD 去掉，并使其變為平面圖形，四面體的頂點數 V 、棱數 E 與剩下的面數 ( F 1) 變形后都沒有變因此，要研究 V 、 E 和 F 的關系，只要去掉一個面，將它變形為平面圖形即可對平面圖形，我們來研究：（ 1）去掉一條棱，就減少一個面例如去掉 BC ，就減少一個面ABC 同理，去掉棱CD 、 BD ，也就各減少一個面ACD 、 ABD 所以 ( F1)E 、 V 的值都不變，因此V(F1

8、)E 的值也不變（ 2）再從剩下的樹枝形中， 去掉一條棱， 就減少一個頂點 例如去掉 CA ，就減少一個頂點 C 同理，去掉 DA 就減少一個頂點 D ，最后剩下AB （如圖）在此過程中 VE 的值不變，但這時面數F 是 0 ，所以 V(F1)E 的值也不變由于最后只剩下 AB ，所以 V(F1)E2 01 1，最后加上去掉的一個面，就得到VFE2 3歐拉示性數：在歐拉公式中令 f ( p) V FE ， f ( p) 叫歐拉示性數說明 ：（1）簡單多面體的歐拉示性數f ( p)2（ 2）帶一個洞的多面體的歐拉示性數f ( p)0 例如：長方體挖去一個洞連結底面相應頂點得到的多面體f ( p)

9、1616320例 1一個n 面體共有 8 條棱， 5 個頂點，求n解： VF E2，F E2V5 ， n 5 例 2 一個正 n 面體共有8 個頂點，每個頂點處共有三條棱，求n解： V8， E83212 ， FE2 V6， n6 例 3 由歐拉定理證明：正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種證明：設正多面體的每個面的邊數為n ，每個頂點連有m 條棱，令這個多面體的面數為F ，每個面有 n 條邊， 故共有 nF 條邊，由于每條邊都是兩個面的公共邊，故多面體棱數EnF（1）2m 條棱，故共有令這個多面體有V 個頂點，每一個頂點處有mV 條棱 由于每條棱有兩個頂點，故

10、多面體棱數mV（2）E2由（ 1）（ 2）得：F2E， V2E代入歐拉公式：2E2EE 2 nmmn 1111（ 3），mn2E3，但 m ， n 不能同時大于 3 ，又 m3， n（若 m3 ， n3，則有1110 ，即10 這是不可能的）mn2E m ， n 中至少有一個等于3 令 n3 ，則11110 ，m32E11， m5 ， 3m5 同樣若 m3 可得 3n5 例 4 歐拉定理在研究化學分子結構中的應用：1996 年諾貝爾化學獎授予對發現C60 有重大貢獻的三位科學家C60 是由 60 個 C 原子構成的分子，它是形如足球的多面體這個多面體有 60 個頂點，以每一個頂點為一端點都有三

11、條棱，面的形狀只有五邊形和六邊形，計算C60 分子中五邊形和六邊形的數目解：設 C60 分子中有五邊形x 個，六邊形 y 個C60 分子這個多面體的頂點數V60 ，面數 Fxy ，棱數 E1 (360) ，由歐拉定理12得： 60 (x y)2 （1），(3 60)2另一方面棱數可由多邊形的邊數和來表示，得1 (5 x6 y)1 (360)（2），由（ 1）（ 2）22得： x 12 ， y20 C60 分子中五邊形有12 個，六邊形有20 個例 5 一個正多面體各個面的內角和為20 ，求它的面數、頂點數和棱數解：由題意設每一個面的邊數為m , 則 F ( m2)20， F ( m 2)20，

12、 mFE， EF10,212 , 設過每一個頂點的棱數為 n ,將其代入歐拉公式 VFE2, 得V則 En V6n ， F12n得1212n6n2, 即521（1）,2mm3nm m 3 ， n5, 又 n3 ， n 的可能取值為3，4, 5,當 n3或 n4 時（ 1）中 m 無整數解；當 n 5, 由（ 1）得 m 3 ,E 30,F 20，綜上可知 : E30，V12，F 20.三、小結： (1) 歐拉定理的應用；(2) 會用歐拉公式 V F E 2 解決簡單多面體的頂點數、面數和棱數的計算問題四、課后作業：一個簡單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點數V 和面數F 有下面的關系：F2V

13、 4證明： E 3F，V FE22V FF 2 F2V 42設一個凸多面體有V 個頂點，求證：它的各面多邊形的內角和為（V-2 ） 360解：設此多面體的上底面有V 上個頂點，下底面有V 下個頂點將其下底面剪掉，抻成平面圖形則V 上 360（ V 下 2） 180（ V 下 2） 180（ V 上 V 下 2） 360（ V2） 360有沒有棱數是7 的簡單多面體？說明理由證明： VFE 2，VF72 9多面體的頂點數V 4，面數 F 4只有兩種情況V4， F5 或 V5，F4但是有 4 個頂點的多面體只有四個面，不可能是5 個面，有四個面的多面體是四面體，也只有四個頂點，不可能有5 個頂點，沒有棱數是7 的簡單多面體是否存在這樣的多面體，它有奇數個面，且每一個面都有奇數條邊證明： 設有一個多面體，有F（奇數）個面，并且每個面的