1、動(dòng)點(diǎn)問題訓(xùn)練 所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜 ，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題 關(guān)鍵：動(dòng)中求靜數(shù)學(xué)思想：分類思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想1 如圖 1,梯形 ABCD中，AD/ BC,/ B=90, AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm點(diǎn) P從 A開始沿 AD邊以 1cm/ 秒的速度移動(dòng)，點(diǎn) Q從C開始沿CB向點(diǎn)B以2 cm/秒的速度移動(dòng)，如果 P, Q分別從A, C同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒。當(dāng)t=時(shí),當(dāng)t=時(shí),2、如圖， ABC中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).(1如果點(diǎn)P

2、在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)假設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過 1秒后， BPD與CQP是否全等，請(qǐng)說明理由；假設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)， 能夠使 BPD與CQP全等？(2)假設(shè)點(diǎn)Q以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿 ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn) P與點(diǎn)Q第一次在ABC的哪條邊上相遇?AB 10厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，.BD 5厘米.又 PCBCBP,BC8厘米,PC8 3 5厘米，PC BD又 ABAC ,BC,. BPDCQP .

3、VpVq.BPCQ,又 BPDCQPBC ,那么BPPC 4, CQ BD 5CQ5154-BP4vQtZV點(diǎn) P ,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間33秒，3厘米/秒。1580X3x 210x 2設(shè)經(jīng)過X秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，由題意，得4解得3秒.80點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了3380厘米./ 80 228 24,點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AB邊上相遇，80經(jīng)過3秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AB上相遇.3、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖 1，四邊形ABC是正方形，點(diǎn) E是邊BC的中點(diǎn).AEF 90 ,且EF交正方形外角 DCG的平分線CF于點(diǎn)F,求證：AE=EF.經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn) M,連接 ME那么

4、AMEC,易證 AME ECF，所以 AE EF .在此根底上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：1小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)改為“點(diǎn) E是邊BC上除B, C外的任意一 點(diǎn)，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；2小華提出：如圖3,點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上除C點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF 仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由.圖1解：1正確.證明：在 AB上取一點(diǎn)M，使AM EC ,連接ME .BM BE. BMECF是外角平分線，“ AMEI *AE

5、BBAE2正確.證明：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) N 使ANBN BE . N四邊形ABCD是正方形，DAE BEA. ANEECF ASA!.45DCF 45AME135。.ECF 135 .ECF .BAE 90CEF .CEFAEB AME BCFPCE 45 .II BE .CEF .EF .ADNAEAE4、在厶 ABC中，/ ACB=90,AC=BCN圖1當(dāng)直線當(dāng)直線當(dāng)直線MN繞點(diǎn)MN繞點(diǎn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖C旋轉(zhuǎn)到圖C旋轉(zhuǎn)到圖并加以證明直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且BB1的位置時(shí),2的位置時(shí),3的位置時(shí),求證：厶 ADCA CEB DE=AD- BE;求證：DE=AD-BE試問 DE AD BE

6、具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系,解：1 /ACD=/ACB=90/ CAD丄ACD=90/-Z BCE+ZACD=90/ CADZ BCE / AC=BC ADCA CEB/ ADCA CEB CE=AD CD=BE DE=CE+CD=AD+BE(2) tZ ADCZ CEBZ ACB=90ACDZ CBE 又；AC=BCACDA CBE CE=AD CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 當(dāng) MN旋轉(zhuǎn)到圖 3 的位置時(shí)，DE=BE-AD或 AD=BE-DE BE=AD+D等)tZ ADCZ CEB玄 ACB=90ACDZ CBE 又：AC=BCACDA CBE/ AD=CE

7、CD=BE DE=CD-CE=BE-AD.5、如圖1,在等腰梯形 ABCD中，AD / BC , E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF / BC交CD于點(diǎn)F . AB 4, BC 6, Z B 60 .求：1求點(diǎn) E 到 BC 的距離；2點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PM EF交BC于點(diǎn)M，過M作MN / AB交折線ADC于點(diǎn)N，連結(jié)PN，設(shè)EP X.當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)如圖2， PMN的形狀是否發(fā)生改變？假設(shè)不變，求出 PMN的周長(zhǎng)；假設(shè)改變，請(qǐng)說明理由； 當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)如圖3,是否存在點(diǎn)P，使 PMN為等腰三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由N解1如圖1，

8、過點(diǎn)E作EG BC于點(diǎn)G./ E為AB的中點(diǎn),BE AB 2.2.在 RtA EBG 中，/ B 60 ,. / BEG 30 .BG1 BE2即點(diǎn)E到BC的距離為.3-2當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),/ PM EF, EG EF, PM/ PMN的形狀不發(fā)生改變.EG. EF / BC， EPGM , PMEG.3.同理MNAB 4.圖11, EG . 22 12、3.如圖2，過點(diǎn)P作PHMN 于 H ,/ MN/ AB,30 . PH -PM2 MH PM cos30那么NHMN MH 4在 RtA PNH 中，PNNH7PH2C圖2 PMN的周長(zhǎng)=PMPNMN .3 J4.當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上

9、運(yùn)動(dòng)時(shí),3，作當(dāng)PM類似,PN時(shí)，如圖MR -.2EP GM MNBC PMN的形狀發(fā)生改變, PR MN于R，那么MR但 MNC恒為等邊三角形.NR.2MR 3./ MNC是等邊三角形， MC MN 3.BGMC 6 13 2.圖3此時(shí)，xGM圖4GM圖5當(dāng)MPMN時(shí)，如圖4，這時(shí)MCMN MP 、3.此時(shí)，x EP GM 6 1.3 5.3.當(dāng) NP NM 時(shí)，如圖 5，/ NPM / PMN 30 .那么 / PMN 120，又 / MNC 60 ,:丄PNM / MNC 180 . 因此點(diǎn)P與F重合， PMC為直角三角形. MC PM |tan301 此時(shí)，x EP GM 6 114.

10、綜上所述，當(dāng)x 2或4或53時(shí)， PMN為等腰三角形.練習(xí)1、如圖，射線MB上 ,MB=9,A是射線MB外一點(diǎn)，AB=5且A到射線MB的距離為3,動(dòng)點(diǎn)P從M沿射線MB方向以1個(gè)單位/秒的速度移動(dòng)，設(shè) 求1 PAB為等腰三角形的P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.t值；2A PAB為直角三角形的3假設(shè)AB=5且/ ABM=45。，其他條件不變，直接寫出t值;PAB為直角三角形的t值2、如圖2，正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M在邊DC上，且DM=1 N為對(duì)角線 AC上任意一點(diǎn)，那么 DN+MN的最小值為5C3、如圖，矩形 ABCD中, AB=8,BC=4,將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D處，求重疊局部AFC的面積.4

11、、等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為4厘米，長(zhǎng)為1厘米的線段 MN在厶ABC的邊AB上沿AB方向以1厘米 /秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn) M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)終止，過點(diǎn)M、N分別 作AB邊的垂線，與 ABC的其它邊交于P、Q兩點(diǎn)，線段 MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.1、線段MN在運(yùn)動(dòng)的過程中,2線段MN在運(yùn)動(dòng)的過程中,t為何值時(shí)，四邊形 MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積;隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍.5、如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC, AD3, DC 5, AB 4、,2,上 B 45 .動(dòng)點(diǎn) M 從 B 點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)

12、C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)四邊形MNQP的面積為S ,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t .求四邊形MNQP的面積SA .f單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn) D運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.1求BC的長(zhǎng).2當(dāng)MN / AB時(shí)，求t的值.3試探究：t為何值時(shí)， MNC為等腰三角形.6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OAB(是梯形，OA BC點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6 , 0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4 ,3)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上動(dòng)點(diǎn) M在0A上運(yùn)動(dòng)，從 0點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)；動(dòng)點(diǎn)N在AB上運(yùn)動(dòng)，從 A點(diǎn) 出發(fā)到B點(diǎn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止，設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)

13、 求線段AB的長(zhǎng)；當(dāng)t為何值時(shí)，MN 0C(2)設(shè)厶CMN勺面積為S,求S與t之間的函數(shù)解析式，fyB并指出自變量t的取值范圍；S是否有最小值？ 假設(shè)有最小值，最小值是多少(3)連接AC那么是否存在這樣的 t，使MN與AC互相垂直? 假設(shè)存在，求出這時(shí)的 t值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.7、河北卷如圖，在 Rt ABC中，/ C= 90, AC= 12, BC= 16,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊向點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng).P, Q分別從點(diǎn)A, C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過程中，PCC關(guān)于直線PQ對(duì)稱的

14、圖形是 PDQ設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.1設(shè)四邊形PCQ啲面積為y,求y與t的函數(shù)關(guān)系式；2t為何值時(shí)，四邊形 PQBAI梯形？3是否存在時(shí)刻t，使得PD/ AB?假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；4通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時(shí)刻t，使得PDLAB?假設(shè)存在，請(qǐng)估計(jì) t的值在括號(hào)中的哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)0 t 1； 1 t 2； 2 vt w 3； 3v t w 4；假設(shè)不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由.C Q8、在 ABC中， C Rt , AC 4cm, BC 5cm,點(diǎn)D在BC上，且以CD = 3cm,現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn) P以1cm/s的速度，沿AC向終

15、點(diǎn)C移動(dòng)；點(diǎn)Q以1.25cm/s的速度沿 BC向終點(diǎn)C移動(dòng)。過點(diǎn) P作PE/ BC交AD于點(diǎn)E,連結(jié)EQ設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 x秒。1用含x的代數(shù)式表示 AE DE的長(zhǎng)度;EDQ的面積為y(cm2)，求y與月份x的函數(shù)關(guān)系式,2當(dāng)點(diǎn)Q在BD不包括點(diǎn)B、D上移動(dòng)時(shí)，設(shè) 并寫出自變量X的取值范圍；3當(dāng)X為何值時(shí)，EDQ為直角三角形。9、杭州在直角梯形ABCD中， C 90，高CD 6cm如圖1。動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿 BA,AD,DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度都是1cm/s。而當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q正好到達(dá)點(diǎn)C。設(shè)P,Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，經(jīng)過的時(shí)間為t s時(shí)，B

16、PQ的面積為y cm2 如圖2。分別以t,y為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P在AD邊上從A到D運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與t的函數(shù)圖象是圖3中的線段MN。1分別求出梯形中 BA,AD的長(zhǎng)度；2寫出圖3中M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；3分別寫出點(diǎn)P在BA邊上和DC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與t的函數(shù)關(guān)系式注明自變量的取值范圍，并在圖3中補(bǔ)全整個(gè)運(yùn)動(dòng)中 y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象。圖2y1on30Ot圖3圖110、金華如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A0,4、一3，點(diǎn)B在x正半軸上，且Z ABO 30 .動(dòng)點(diǎn)P 在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒,3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒在x軸上取兩點(diǎn) M , N作等邊 PMN .1求直線A

17、B的解析式；2求等邊 PMN的邊長(zhǎng)用t的代數(shù)式表示，并求出當(dāng)?shù)冗?PMN的頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與原點(diǎn) O重合 時(shí)t的值；3如果取OB的中點(diǎn)D，以O(shè)D為邊在Rt AOB內(nèi)部作如圖2所示的矩形ODCE，點(diǎn)C在線段AB 上設(shè)等邊 PMN和矩形ODCE重疊局部的面積為 S，請(qǐng)求出當(dāng)0 t 2秒時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式， 并求出S的最大值.A%MO NBx圖111、兩塊完全相同的直角三角板 ABC和DEF如圖1所示放置，點(diǎn)C、F重合，且BC DF在一條直線上，其FC=x,兩個(gè)三角形重疊陰影局部的面積為y.中AC=DF=4, BC=EF=3.固定Rt ABC不動(dòng)，讓Rt DEF沿 CB向左平移，直到點(diǎn)F和點(diǎn)B重合為止

18、.設(shè)11如圖2,求當(dāng)x= 時(shí)，y的值是多少？22如圖3,當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到AB上時(shí)，求x、y的值;3求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；12、如圖1所示，一張三角形紙片 ABC/ACB=90 ,AC=8,BC=6.沿斜邊 AB的中線CD把這張紙片剪成AC1D1和 BC2D2兩個(gè)三角形如圖 2所示將紙片 AC1D1沿直線D2B AB方向平移點(diǎn) A, D1,D2,B始終在同一直線上，當(dāng)點(diǎn)D1于點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移.在平移過程中，C1D1與BC2交于點(diǎn)E, AC1與C2D2、BC2分別交于點(diǎn)F、P.1當(dāng) AGD平移到如圖3所示的位置時(shí)，猜想圖中的D“E與D2F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；2設(shè)平移距離 D2D1為x , AC1D1與 BC2D2重疊局部面積為 y，請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系