1、第十二章 無窮級數正如有限中包含著無窮級數，而無限中呈現極限一樣；無限之靈魂居于細微之處，而最緊密地趨近極限卻并無止境 . 區分無窮大之中的細節令人喜悅！小中見大，多么偉大的神力 . 雅克. 伯努利 (1)無窮級數是數與函數的一種重要表達形式， 也是微積分理論研究與實際應用中極其有力 的工具 . 無窮級數在表達函數、研究函數的性質、計算函數值以及求解微分方程等方面都有 著重要的應用 . 研究級數及其和，可以說是研究數列及其極限的另一種形式，但無論在研究 極限的存在性還是在計算這種極限的時候， 這種形式都顯示出很大的優越性 . 本章先討論數 項級數， 介紹無窮級數的一些根本內容， 然后討論函數項

2、級數， 并著重討論如何將函數展開 成冪級數與三角級數的問題 .第一節 常數項級數的概念和性質分布圖示 引言 引例 常數項級數的概念例1例2例3例4例5例6例7Koch雪花收斂級數的根本性質例8例9例 10例 11柯西審斂原理例 12內容小結課堂練習習題12-1返回內容要點、無窮級數 un 與其局部和數列n1sn 具有同樣的斂散性，unn1lim sn ； n、 收斂級數的性質 ：(1) 級數滿足線性運算；(2) 在級數中改變、去掉或增加前面有限項，不會改變級數的收斂性(3) 在一個收斂級數中，任意添加括號所得到的新級數仍收斂于原來的和(4 )級數收斂的必要條件：假設級數Un收斂，那么n 1li

3、m Unn、柯西審斂原理簡介例題選講利用級數的局部和數列討論級數的斂散性 例1寫出級數從而U1U2S2U3S3UnSn級數因為snSnUn1的前n項的局部和SnU2Un 1 UnSn 18n 1R,求這個級數.U n，所以 U nSnSn 1 .8117808217818317821,Si1S1S2188n_8n8n 118n 213572246.8的一般項解 分母是偶數的連乘積，而且第一項為偶數， 第二項是兩個偶數之積，第三項是三個偶數之積，,第n項是個n偶數之積，故可寫成(2n川,而分子為奇數，故第n項為2n 1.于是該級數的-般項為2n 1Un(2n)!故所求級數為1 1例3( E01)

4、討論級數 -1的收斂性1 22 3n(n 1)1 1 1解叫n(n 1) n n 1丄丄1 11 22 3 n(n 1)2所以lim snnlim 1 -n n 11,即題設級數收斂，其和為1.例 4 (E02)證明級數證級數的局部和為sn 12 3是發散的. n叫J,顯然,limnSn，故題設級數發散.例5 ( E03)討論等比級數(又稱為幾何級數)naq0aq2aqnaq(a0)的收斂性.1,有 Sna aqaq2aqna(1 qn)1 q1,有 limn0,那么 lim snn1,有 limnqn,那么 limnsn1,有 Snna.limn1,那么級數變為Sn1)n1-a1 (1)n,

5、易見limnsn不存在.綜上所述，當 q 1時,等比級數收斂，且a aqaq2aqn注：幾何級數是收斂級數中最著名的一個級數阿貝爾曾經指出“除了幾何級數之外， 數學中不存在任何一種它的和已被嚴格確定的無窮級數幾何級數在判斷無窮級數的收斂性、求無窮級數的求和以及將一個函數展開為無窮級數等方面都有廣泛而重要的應用幾何級數的增長速度令人震驚有一個關于古波斯國王的傳說，他對一種新近創造的象棋游戲留下深刻印象， 以至于他要召見那個創造人而且以皇宮的財富相贈當這個創造人一一個貧困但卻十分精通數學的農民一一被國王召見時，他只要求在棋盤的第一個方格里放一粒麥粒，第二個方格里放兩粒麥粒，第三個方格里放四里麥粒，

6、如此繼續下去，直到整個棋盤都被覆蓋上為止國王被這種樸素的要求所震驚，他立即命令拿來一袋小麥，他的仆人 們開始耐心地在棋盤上放置麥粒，令他們十分吃驚的是，他們很快就發現袋子里的麥粒甚至整個王國的麥粒也缺乏以完成這項任務，因為級數1,2,22,23,24,的第64項是一個十分大的一個數：2639223372036854775808.如果我們設法把如此多的麥粒假設每個麥粒直徑僅一毫米一一放在一條在直線上，這條線將長約兩光年例6 (E04)把一個球從a米高低落到地平面上球每次落下距離h碰到地平面再跳起距離rh，其中r是小于1的正數求這個球上下的總距離(圖12-1-1)解 5.232323232323T

7、oo Too2 Too3解總距離是2s a 2ar 2ar2ar32ara -1 ra 1 r1 r假設a6,r2/3,那么總距離是sa 1 r61 2/330 (米)1 r1 2/3例7(E05)把循環小數5.232323表示成兩個整數之比.23115 1oo 1 1QQ 1QQ22311oo E99518"99線性運算性質的應用例8 (E06)求級數n 1的和n(n 1)解 根據等比級數的結論，知丄 丄乙 1n 1211 2而由前例，知1n 1 n(n 1)1,所以1 1m 莎 n(n 1)13n 1 2n n 1 n(n 1)4.例9設級數 un收斂,n 1Vn發散，證明：級數

8、 (Unn 1n 1Vn)發散.證 用反證法， Un收斂 假定(Un Vn)收斂，由 Vn (Un Vn) Un與級數性質得n 1n 1知Vn收斂,這與題設矛盾，所以級數(Un Vn)發散.n 1n 1例10判別級數1丄22 10 22 2 10110n是否收斂.解將所給級數每相鄰兩項加括號得到新級數因為n2F收斂，而級數1 21n 110n- 丄發散,10 n 1 n所以級數G沽)發散，根據性質3的推論1101，去括號后的級數1 1 12.' n2 2 10 2110n.也發散11 (E07)證明調和級數 1是發散的對題設級數按以下方式加括號1111101612m 1設所得新級數為m

9、Vm，那么易見其每一項均大于11從而當2時,Vm不趨于零由性質4知Vm發散，再由性質3的推論1m 1即知，調和級數1發散.證畢.n 1 n最后再給出關于調和級數發散速度的一個注記當n越來越大時，調和級數的項變得越來越小，然而，慢慢地-非常慢慢地-它的和將增大并超過任何有限值.調和級數的這種特性使一代又一代的數學家困惑并為之著迷。它的 發散性是由法國學者尼古拉.奧雷姆(1323 1382)在極限概念被完全理解之前約400年首次證明的.下面的數字將有助于我們更好地理解這個級數.這個級數地前一千項相加約為7.485 ;前一百萬項相加約為14.357 ;前十億項相加約為21;前一萬億項相加約為28等等.更有學者估計過，為了使調和級數的和等于100,必須把1043項加起來.例12( E08)利用柯西審斂原理判定級數1的收斂性.解因為對任何自然數P,|Un 1 Un 2| _L_ Un pl (n 1)2(n 2)21(n p)2n(n1)(