1、數列通項公式的求法一、定義法直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應于已知數列類型的題目例1等差數列是遞增數列，前n項和為，且成等比數列，求數列的通項公式.解：設數列公差為成等比數列，即， 由得：， 】點評：利用定義法求數列通項時要注意不用錯定義，設法求出首項與公差（公比）后再寫出通項。二、公式法若已知數列的前項和與的關系，求數列的通項可用公式求解。例2已知數列的前項和滿足求數列的通項公式。解：由當時，有，經驗證也滿足上式，所以點評：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并三、由遞推式求數列通項法對于遞推公式確定的數列的求解，通常可以通過遞推公式的變

2、換，轉化為等差數列或等比數列問題，有時也用到一些特殊的轉化方法與特殊數列。類型1 遞推公式為解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例3. 已知數列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以 ， 類型2 （1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4. 已知數列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又， 注：由和確定的遞推數列的通項還可以如下求得：所以， ，依次向前代入，得，類型3遞推式：解法：只需構造數列，消去帶來的差異其中有多種不同形式為常數，即遞推公式為（其中p，q均為常數，）。解法：轉化為：，其中，再

3、利用換元法轉化為等比數列求解。例5. 已知數列中，求.解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則, 所以.為一次多項式，即遞推公式為例6設數列：，求.解：設，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得備注：本題也可由 ,（）兩式相減得轉化為求之. 為的二次式，則可設;類型4 遞推公式為（其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數）解法：該類型較類型3要復雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再應用類型3的方法解決。例7. 已知數列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,應用例7解法得：所以類型5 遞

4、推公式為（其中p，q均為常數）。解法：先把原遞推公式轉化為其中s，t滿足，再應用前面類型3的方法求解。例8. 已知數列中，,，求。解：由可轉化為即或這里不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數列,所以,應用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。1在數列中，求. ，當時， ，將上面個式子相加得到：（），當時，符合上式故.2設是首項為1的正項數列，且，求它的通項公式. 由題意， ，又，當時，當時，符合上式【變式2】已知數列中，求通項公式. 由得， ， ， 當時，  當時，符合上式3數列中，,，求. 對兩邊同除

5、以得即可.，兩邊同除以得，成等差數列，公差為d=5，首項，.4已知數列中，求.法一：設，解得即原式化為設，則數列為等比數列，且法二： 由得：設，則數列為等比數列法三：，【變式1】已知數列中，求【答案】令，則，即，為等比數列，且首項為，公比，故.【變式2】已知數列滿足,而且，求這個數列的通項公式.【答案】，設，則，即，數列是以為首項，3為公比的等比數列，. .5已知數列中，是它的前n項和，并且, .(1)設,求證：數列是等比數列；(2)設，求證：數列是等差數列；(3)求數列的通項公式及前n項和.解析：（1）因為，所以 以上兩式等號兩邊分別相減，得 即，變形得 因為 ，所以&#

6、160; 由此可知，數列是公比為2的等比數列. 由,  所以, 所以, 所以.（2） ，所以 將 代入得  由此可知，數列是公差為的等差數列，它的首項， 故.（3），所以  當n2時， 由于也適合此公式， 故所求的前n項和公式是.【變式1】設數列首項為1，前n項和滿足.（1）求證：數列是等比數列；（2）設數列的公比為，作數列，使，求的通項公式.【答案】（1）， ，  又 ， 是一個首項為1公比為的等比數列； （2） 是一個首項為1公比為的等差比數列  【變式2】若, ()，求.【答案】當n2時，將代入,

7、, 整理得 兩邊同除以得 （常數） 是以為首項，公差d=2的等差數列，  ，  .【變式3】等差數列中，前n項和，若.求數列的前n項和.【答案】為等差數列，公差設為, , , , 若，則, . ，  , , ,   -得 1（2008四川）設數列的前項和為.（）求；（）證明：是等比數列；（）求的通項公式.解析：（）因為，由知，得 所以，（）由題設和式知所以是首項為2，公比為2的等比數列.（）2（2008全國II）設數列的前項和為已知，（）設，求數列的通項公式；（）若，求的取值范圍解析：（）依題意，即，由此得因此，所求通項公式為，（）由

8、知，于是，當時，當時，又綜上，所求的的取值范圍是3（2008天津）已知數列中，且（）設，證明是等比數列；（）求數列的通項公式；（）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項解析：（）由題設，得，即又，所以是首項為1，公比為的等比數列（）由（），將以上各式相加，得所以當時，上式對顯然成立（）由（），當時，顯然不是與的等差中項，故由可得，由得 整理得，解得或（舍去），于是另一方面，由可得所以對任意的，是與的等差中項4（2008陜西）已知數列的首項，（）求的通項公式；（）證明：對任意的，；（）證明：解析：（），又，是以為首項，為公比的等比數列，（）由（）知，原不等式成立另解：設，則，當時，；當時，當時，取得最大值原不等式成立（）由（）知，對任意的，有 令，則，原不等式成立5已知數列中，, ()，求通項公式.解析：將遞推關系整理為  兩邊同除以得 當時， ， 將上面個式子相加得到：  ，即，  （）. 當時，符合上式 故.7已知各項均為正數的數列的前項和滿足，且，求的通項公