1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流近世代數(shù) 第三章小結(jié).精品文檔. 第三章 環(huán)與域總結(jié)第一節(jié) 加群、環(huán)的定義定義：一個交換群叫做一個加群。一個加群的唯一的單位元叫做零元，記作0。元的唯一的逆元叫做的負元，記作-，簡稱負。環(huán)的定義：（）（+）是交換群（對+封閉）；· ：滿足結(jié)合律，即+和·都滿足分配律：即對滿足稱在+和·運算下是環(huán)。.是一個加群； .對于另一個叫做乘法的代數(shù)運算來說是閉的； .這個乘法適合結(jié)合律： ，不管是的哪三個元； .兩個分配律都成立： ，不管是的哪三個元。環(huán)滿足如下運算：,對定義：（），若對,有,即滿足交換律的環(huán)是交換環(huán)。 （

2、），若,對則稱為的一個單位元。一般地，一個環(huán)不一定有單位元。 （），含有單位元，,若，使得,則稱是的逆元。 （），若,則稱為左零因子，為右零因子。 既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。在交換群中無左右零因子，只有零因子。定理：無零因子環(huán)里兩個消去律都成立： （左消去） （右消去）在一個環(huán)里如果有一個消去律成立，那么這個環(huán)沒有零因子。推論：在一個環(huán)里如果有一個消去律成立，那么另一個消去律也成立。整環(huán)的定義：一個環(huán)叫做一個整環(huán)，假如滿足： 是交換環(huán)： 是單位環(huán)，有單位元1： 是無零因子環(huán)（滿足消去律）： 這里可以是中的任意元。第二節(jié) 除環(huán)、域除環(huán)的定義：一個環(huán)叫做一個除環(huán)，假如滿足： 中至少包

3、含一個不等于零的元 中有一個單位元 的每一個不等于零的元都有一個逆元域的定義：一個交換除環(huán)叫做一個域。除環(huán)和域的幾個重要性質(zhì)：除環(huán)沒有零因子（滿足消去律）一個除環(huán)的不等于零的元對于乘法來說作成的群，叫做R的乘群。因為 封閉性 滿足結(jié)合律 有單位元 有逆元第三節(jié) 環(huán)的特征定理：在無零因子環(huán)中，所有非零元在加法運算下的階是一致的，稱此階是環(huán)的特征。定理：無零因子環(huán)的特征要么是無窮，要么是素數(shù)。第四節(jié) 子環(huán)子環(huán)的定義：一個環(huán)R的一個子集S叫做R的一個子環(huán)，假如S本身對于R的代數(shù)運算來說作成一個環(huán)。 一個環(huán)R的一個子集S叫做R的一個子除環(huán)，假如S本身對于R的代數(shù)運算來說作成一個除環(huán)。第五節(jié)、同態(tài)同態(tài)的

4、定義：（）（）環(huán)，：映射，若滿足下列條件：若是同態(tài)滿射，則稱和同態(tài)。定理：（），（）,同態(tài)，則。 若是交換環(huán)，則是交換環(huán)。定理：如果環(huán)與同構(gòu)，則有：若是整環(huán)，則是整環(huán)；若是除環(huán)，則是除環(huán)；若是域，則是域。定理：假定和是兩個環(huán)，且同態(tài)。那么的零元的象是的零元，的元的負元的象是的象的負元。并且，假如是交換環(huán)，那么也是交換環(huán)；假如有單位元，那么也有單位元，而且是的象。定理：假定是環(huán)的一個子環(huán)，在里的補足集合（這就是所有不屬于的的元作成的集合）與另一個環(huán)沒有公共元，并且,那么存在一個與同構(gòu)的環(huán)，并且是的子環(huán)。第六節(jié) 多項式環(huán)多項式定義：一個可以寫成形式的的元叫做上的的一個多項式，叫做多項式的系數(shù)。多項

5、式環(huán)的定義：叫做上的的多項式環(huán)。未定元的定義：的一個元叫做上的一個未定元，假如在里找不到不都等于零的元，使得多項式次數(shù)的定義：令是環(huán)上一個一元多項式。那么非負整數(shù)叫做這個多項式的次數(shù)。多項式0沒有次數(shù)。對于給定的來說，未必含有上的未定元。定理1：給了一個有單位元的交換環(huán)，一定有上的未定元存在，因此也就有上的多項式環(huán)存在。無關(guān)未定元的定義：的個元叫做上的無關(guān)未定元，假如任何一個上的的多項式都不會等于零，除非這個多項式的所有系數(shù)都等于零。定理2：給了一個有單位元的交換環(huán)同一個正整數(shù)，一定有上的無關(guān)未定元存在，因此也就有上的多項式環(huán)存在。定理3：假如和都是有單位元的交換環(huán)上的多項式環(huán)，是上的無關(guān)未定

6、元，是上的任意元，那么與同態(tài)。第七節(jié) 理想理想的定義：環(huán)的一個非空子集叫做一個理想子環(huán)，簡稱理想。假如注：理想是子環(huán)，但子環(huán)不一定是理想。 一個環(huán)至少有兩個理想：只包含零元的集合，這個理想叫做的零理想本身，稱單位理想。定理1：除環(huán)只有兩個理想，即零理想和單位理想。主理想的定義：，由生成的理想（即包含的所有理想的交或包含的最小理想）稱為主理想，記為（）。第八節(jié) 剩余類環(huán)剩余類的定義：對于給定的環(huán)及其一個理想，若只就加法來看，作成一個群，作成的一個不變子群。這樣的陪集作成的一個分類。我們把這些類叫做模的剩余類。定理1：假定是一個環(huán)，是它的一個理想，是所有模的剩余類作成的集合，那么本身也是一個環(huán)，并

7、且與同態(tài)。剩余類環(huán)的定義：叫做環(huán)的模的剩余類環(huán)，用符號/來表示。定理2：假定和是兩個環(huán)，并且和同態(tài)，那么這個同態(tài)滿射的核是的一個理想，并且。定理3：在環(huán)到環(huán)的一個同態(tài)滿射下，有的一個子環(huán)的象是的一個子環(huán)；的一個理想的象是的一個理想；的一個子環(huán)的逆象是的一個子環(huán)；的一個理想的逆象是的一個理想。第九節(jié) 最大理想最大理想的定義：一個環(huán)的一個不等于的理想叫作一個最大理想，假如除了同自己以外，沒有包含的理想。注：除環(huán)的最大理想是零理想（除環(huán)包括域）定理：是的理想（），只有平凡理想是的最大理想。引理：是含有單位元的交換環(huán)，若只有平凡理想，則是域。定理：是有單位元的交換環(huán)，是環(huán)的理想，則是域是最大理想。第十

8、節(jié) 商域定理1：每一個沒有零因子的交換環(huán)都是一個域的子環(huán)。定理2：是所有元所作成的，這里商域的定義：一個域叫做環(huán)的一個商域，假如包含，并且剛好是由所有元所作成的。定理3：假定是一個有兩個以上的元的環(huán)，是一個包含的域，那么包含的一個商域。定理4：同構(gòu)的環(huán)的商域也同構(gòu)。一個環(huán)最多只有一個商域。總結(jié)：本章定理，推理及引理： 在一個沒有零因子的環(huán)里兩個消去律都成立： 反過來，在一個環(huán)里如果有一個消去律成立，那么這個環(huán)沒有零因子。 推論：在一個環(huán)里如果有一個消去律成立，那么另一個消去律也成立。2.在一個沒有零因子的環(huán)里所有不等于零的元對于加法來說的階都是一樣的。3.如果無零因子環(huán)的特征是有限整數(shù)，那么是

9、一個素數(shù)。 推論：整環(huán)，除環(huán)以及域的特征或是無限大，或是一個素數(shù)。 4.若是存在一個到的滿射，使得與對于一對加法以及一對乘法來說都同態(tài)，那么也是一個環(huán)。5.假如和是兩個環(huán)，并且和同態(tài)。那么的零元的象是的零元，的元的負元的象是的象的負元。并且，假如是交換環(huán)，那么也是交換環(huán)；假如有單位元1，那么也有單位元，并且是1的象。6.假定同是兩個環(huán)，并且。那么，若是整環(huán)，也是整環(huán)；是除環(huán)，也是除環(huán)；是域，也是域。7.假定是環(huán)的一個子環(huán)，在里的補足集合與另一個環(huán)沒有共同元，并且。那么存在一個與同構(gòu)的環(huán)，并且是的子環(huán)。8.給了一個有單位元的交換環(huán)，一定有上的未定元存在，因此也就有上的多項式環(huán)存在。9.給了一個有

10、單位元的交換環(huán)同一個正整數(shù)，一定有上的無關(guān)未定元存在，因此也就有上的多項式環(huán)存在。10.假如和都是有單位元的交換環(huán)上的多項式環(huán)，是上的無關(guān)未定元，是上的任意元，那么 與同態(tài)。 11.一個除環(huán)只有兩個理想，就是零理想和單位理想。 12.假如是一個環(huán)，是它的一個理想，是所有模的剩余類作成的集合，那么本身也是一個環(huán)，并且與同態(tài)。 13.假定同是兩個環(huán)，并且與同態(tài)，那么這個同態(tài)滿射的核是的一個理想，并且。 14.在環(huán)到環(huán)的一個同態(tài)滿射之下， i.的一個子環(huán)的象是的一個子環(huán)； ii.的一個理想的象是的一個理想； iii.的一個子環(huán)的逆象是的一個子環(huán)； iv.的一個理想的逆象是的一個理想； 15.假定是一個有單位元的交換環(huán)，是的一個理想。是一個域，當而且只當是一個最大理想的時候。 16.每一個沒有零因子的交換環(huán)都是一個域