1、二次函數中存在性問題解決策略存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強，題意構思非常精巧，解題方法靈活，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年來各地中考的“熱點”。這類題目解法的一般思路是：假設存在推理論證得出結論。若能導出合理的結果，就做出“存在”的判斷，導出矛盾，就做出不存在的判斷。 由于“存在性”問題的結論有兩種可能，所以具有開放的特征，在假設存在性以后進行的推理或計算，對基礎知識，基本技能提出了較高要求，并具備較強的探索性，正確、完整地解答這類問題，是對我們知識、能力的一次全面的考驗。例一、如圖, 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸

2、相交于A、B，點A的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，-1）.(1）求拋物線的解析式；(2）點E是線段AC上一動點，過點E作DEx軸于點D，連結DC，當DCE的面積最大時，求點D的坐標；(3）在直線BC上是否存在一點P，使ACP為等腰三角形，若存在，求點P的坐標，若不存在，說明理由.解：（1）二次函數的圖像經過點A（2，0）C(0,1) 解得： b= c=1二次函數的解析式為 (2）設點D的坐標為（m，0） (0m2） OD=m AD=2-m由ADEAOC得， DE=CDE的面積=××m=當m=1時，CDE的面積最大點D的坐標為（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函數的

3、解析式為設y=0則 解得：x1=2 x2=1點B的坐標為（1，0） C（0，1）設直線BC的解析式為：y=kxb 解得：k=-1 b=-1直線BC的解析式為: y=x1在RtAOC中，AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=點B(1,0) 點C（0，1）OB=OC BCO=450當以點C為頂點且PC=AC=時，設P(k, k1)過點P作PHy軸于HHCP=BCO=450,CH=PH=k 在RtPCH中k2+k2= 解得k1=， k2=P1（，） P2（，）以A為頂點，即AC=AP=設P(k, k1)過點P作PGx軸于GAG=2k GP=k1在RtAPG中 AG2PG2=AP2(2

4、k)2+(k1)2=5解得：k1=1,k2=0(舍)P3(1, 2) 以P為頂點，PC=AP設P(k, k1)過點P作PQy軸于點QPLx軸于點LL(k,0)QPC為等腰直角三角形 PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=kAL=k-2, PL=k1在RtPLA中(k)2=(k2)2(k1)2解得：k=P4(,) 綜上所述： 存在四個點：P1（，） P2（-，） P3(1, 2) P4(,)1、如圖，已知拋物線y=x2+2x+3交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C。（1）求點A、B、C的坐標。（2）若點M為拋物線的頂點，連接BC、CM、BM，求BCM的面積。（3）連接AC，在x

5、軸上是否存在點P使ACP為等腰三角形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。（2009遼寧省錦州市）如圖，拋物線與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且x1x2，與y軸交于點C（0，4），其中x1，x2是方程x 22x80的兩個根（1）求這條拋物線的解析式；（2）點P是線段AB上的動點，過點P作PEAC，交BC于點E，連接CP，當CPE的面積最大時，求點P的坐標；（3）探究：若點Q是拋物線對稱軸上的點，是否存在這樣的點Q，使QBC成為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由BAyOPECx如圖, 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸相交于A、B

6、，點A的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，-1）.(1）求拋物線的解析式；(2）點E是線段AC上一動點，過點E作DEx軸于點D，連結DC，當DCE的面積最大時，求點D的坐標；(3）在直線BC上是否存在一點P，使ACP為等腰三角形，若存在，求點P的坐標，若不存在，說明理由.四、存在相似三角形已知拋物線的頂點為A(2，1)，且經過原點O，與x軸的另一交點為B。(1)求拋物線的解析式；(2)若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點的坐標；(3)連接OA、AB，如圖，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點的

7、坐標；若不存在，說明理由。AABBOOxxyy圖圖江蘇蘇州設拋物線與x軸交于兩個不同的點A(一1，0)、B(m，0)，與y軸交于點C.且ACB=90°(1)求m的值和拋物線的解析式；(2)已知點D(1，n )在拋物線上，過點A的直線交拋物線于另一點E若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與AEB相似，求點P的坐標(3)在(2)的條件下，BDP的外接圓半徑等于_解：(1)令x=0，得y=2 C(0，一2)ACB=90°，COAB, AOC COB,OA·OB=OC2；OB= m=408年湖南省湘潭已知拋物線經過點A（5，0）、B（6，-6）和原點.xyF-2-

8、4-6ACEPDB521246G（1）求拋物線的函數關系式；（2）若過點B的直線與拋物線相交于點C（2，m），請求出OBC的面積S的值.（3）過點C作平行于x軸的直線交y軸于點D，在拋物線對稱軸右側位于直線DC下方的拋物線上，任取一點P，過點P作直線PF平行于y軸交x軸于點F，交直線DC于點E. 直線PF與直線DC及兩坐標軸圍成矩形OFED（如圖），是否存在點P，使得OCD與CPE相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由. 解：（1）由題意得： 解得故拋物線的函數關系式為（2）在拋物線上，點坐標為（2，6），、C在直線上 解得直線BC的解析式為設BC與x軸交于點G，則G的坐標為（4，

9、0）（3）存在P，使得 設P，故若要，則要或即或解得或又在拋物線上，或解得或故P點坐標為和10分（只寫出一個點的坐標記9分）08江蘇蘇州如圖，拋物線與軸的交點為直線與軸交于，與軸交于若兩點在直線上，且，為線段的中點，為斜邊上的高（1）的長度等于 ； ， DxyNOMPACBH（2）是否存在實數，使得拋物線上有一點，滿足以為頂點的三角形與相似？若不存在，說明理由；若存在，求所有符合條件的拋物線的解析式，同時探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的點（簡要說明理由）；并進一步探索對符合條件的每一個點，直線與直線的交點是否總滿足，寫出探索過程解：（1）；，（2）設存在實數，使拋物線上有一點，滿足以為頂

10、點的三角形與等腰直角相似以為頂點的三角形為等腰直角三角形，且這樣的三角形最多只有兩類，一類是以為直角邊的等腰直角三角形，另一類是以為斜邊的等腰直角三角形若為等腰直角三角形的直角邊，則由拋物線得：，的坐標為把代入拋物線解析式，得拋物線解析式為即若為等腰直角三角形的斜邊，則，的坐標為把代入拋物線解析式，得拋物線解析式為，即當時，在拋物線上存在一點滿足條件，如果此拋物線上還有滿足條件的點，不妨設為點，那么只有可能是以為斜邊的等腰直角三角形，由此得，顯然不在拋物線上，故拋物線上沒有符合條件的其他的點當時，同理可得拋物線上沒有符合條件的其他的點當的坐標為，對應的拋物線解析式為時，和都是等腰直角三角形，又

11、，總滿足當的坐標為，對應的拋物線解析式為時，同理可證得：，總滿足09湖南長沙如圖，二次函數（）的圖象與軸交于兩點，與軸相交于點連結兩點的坐標分別為、，且當和時二次函數的函數值相等（1）求實數的值；（2）若點同時從點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動當運動時間為秒時，連結，將沿翻折，點恰好落在邊上的處，求的值及點的坐標；（3）在（2）的條件下，二次函數圖象的對稱軸上是否存在點，使得以為項點的三角形與相似？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由yOxCNBPMAyxOCBAD09遼寧十二市已知：在平面直角坐標系中，拋物線（）交軸于A、

12、B兩點，交軸于點C，且對稱軸為直線（1）求該拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）若點P（0，t）是軸上的一個動點，請進行如下探究：探究一：如圖1，設PAD的面積為S，令Wt·S，當0t4時，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此時t的值；如果沒有，說明理由；圖1探究二：如圖2，是否存在以P、A、D為頂點的三角形與RtAOC相似？如果存在，求點P的坐標；如果不存在，請說明理由圖2yxOCBAD（參考資料：拋物線對稱軸是直線）解：（1）拋物線（）的對稱軸為直線，（2）探究一：當時，有最大值yxOCBADMP拋物線交軸于兩點，交軸于點，4分當時，作軸于，則， 6分7分當時，有最大值，8分探究二：存在分三種情況：當時，作軸于，則，yxOCBADMP1EP2，軸，軸，此時，又因為， ，當時，存在點，使，此時點的坐標為（0，2）10分（結論1分，過程1分）當時，則，與不相似，此時點不存在12分（結論1分，過程1分）當時，以為直徑作，則的半徑，圓心到軸的距離，與軸相離不存在點，使綜上所述，只存在一點使與相似14分（結論1分，過程1分）（其它方法可參照此答案給分）yOCDB6Ax09青海矩形在平面直角坐標系中位置如圖13所示，兩點的坐標分別為，直線與邊相交于點（1）求點的坐標；（2）若拋物線經過點，試確定此拋物線的表達式；（3）設（2）