1、二次函數(shù)中存在性問題解決策略存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題的知識(shí)覆蓋面較廣，綜合性較強(qiáng)，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年來各地中考的“熱點(diǎn)”。這類題目解法的一般思路是：假設(shè)存在推理論證得出結(jié)論。若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷，導(dǎo)出矛盾，就做出不存在的判斷。 由于“存在性”問題的結(jié)論有兩種可能，所以具有開放的特征，在假設(shè)存在性以后進(jìn)行的推理或計(jì)算，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能提出了較高要求，并具備較強(qiáng)的探索性，正確、完整地解答這類問題，是對(duì)我們知識(shí)、能力的一次全面的考驗(yàn)。例一、如圖, 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸

2、相交于A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）.(1）求拋物線的解析式；(2）點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作DEx軸于點(diǎn)D，連結(jié)DC，當(dāng)DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3）在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使ACP為等腰三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.解：（1）二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）C(0,1) 解得： b= c=1二次函數(shù)的解析式為 (2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0） (0m2） OD=m AD=2-m由ADEAOC得， DE=CDE的面積=××m=當(dāng)m=1時(shí)，CDE的面積最大點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函數(shù)的

3、解析式為設(shè)y=0則 解得：x1=2 x2=1點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0） C（0，1）設(shè)直線BC的解析式為：y=kxb 解得：k=-1 b=-1直線BC的解析式為: y=x1在RtAOC中，AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=點(diǎn)B(1,0) 點(diǎn)C（0，1）OB=OC BCO=450當(dāng)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)且PC=AC=時(shí)，設(shè)P(k, k1)過點(diǎn)P作PHy軸于HHCP=BCO=450,CH=PH=k 在RtPCH中k2+k2= 解得k1=， k2=P1（，） P2（，）以A為頂點(diǎn)，即AC=AP=設(shè)P(k, k1)過點(diǎn)P作PGx軸于GAG=2k GP=k1在RtAPG中 AG2PG2=AP2(2

4、k)2+(k1)2=5解得：k1=1,k2=0(舍)P3(1, 2) 以P為頂點(diǎn)，PC=AP設(shè)P(k, k1)過點(diǎn)P作PQy軸于點(diǎn)QPLx軸于點(diǎn)LL(k,0)QPC為等腰直角三角形 PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=kAL=k-2, PL=k1在RtPLA中(k)2=(k2)2(k1)2解得：k=P4(,) 綜上所述： 存在四個(gè)點(diǎn)：P1（，） P2（-，） P3(1, 2) P4(,)1、如圖，已知拋物線y=x2+2x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C。（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)。（2）若點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，連接BC、CM、BM，求BCM的面積。（3）連接AC，在x

5、軸上是否存在點(diǎn)P使ACP為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。（2009遼寧省錦州市）如圖，拋物線與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1x2，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），其中x1，x2是方程x 22x80的兩個(gè)根（1）求這條拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PEAC，交BC于點(diǎn)E，連接CP，當(dāng)CPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）探究：若點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使QBC成為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由BAyOPECx如圖, 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸相交于A、B

6、，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）.(1）求拋物線的解析式；(2）點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作DEx軸于點(diǎn)D，連結(jié)DC，當(dāng)DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3）在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使ACP為等腰三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.四、存在相似三角形已知拋物線的頂點(diǎn)為A(2，1)，且經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的另一交點(diǎn)為B。(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)連接OA、AB，如圖，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的

7、坐標(biāo)；若不存在，說明理由。AABBOOxxyy圖圖江蘇蘇州設(shè)拋物線與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(一1，0)、B(m，0)，與y軸交于點(diǎn)C.且ACB=90°(1)求m的值和拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)D(1，n )在拋物線上，過點(diǎn)A的直線交拋物線于另一點(diǎn)E若點(diǎn)P在x軸上，以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與AEB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(3)在(2)的條件下，BDP的外接圓半徑等于_解：(1)令x=0，得y=2 C(0，一2)ACB=90°，COAB, AOC COB,OA·OB=OC2；OB= m=408年湖南省湘潭已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（5，0）、B（6，-6）和原點(diǎn).xyF-2-

8、4-6ACEPDB521246G（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若過點(diǎn)B的直線與拋物線相交于點(diǎn)C（2，m），請(qǐng)求出OBC的面積S的值.（3）過點(diǎn)C作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)D，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)位于直線DC下方的拋物線上，任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線PF平行于y軸交x軸于點(diǎn)F，交直線DC于點(diǎn)E. 直線PF與直線DC及兩坐標(biāo)軸圍成矩形OFED（如圖），是否存在點(diǎn)P，使得OCD與CPE相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由. 解：（1）由題意得： 解得故拋物線的函數(shù)關(guān)系式為（2）在拋物線上，點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6），、C在直線上 解得直線BC的解析式為設(shè)BC與x軸交于點(diǎn)G，則G的坐標(biāo)為（4，

9、0）（3）存在P，使得 設(shè)P，故若要，則要或即或解得或又在拋物線上，或解得或故P點(diǎn)坐標(biāo)為和10分（只寫出一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)記9分）08江蘇蘇州如圖，拋物線與軸的交點(diǎn)為直線與軸交于，與軸交于若兩點(diǎn)在直線上，且，為線段的中點(diǎn)，為斜邊上的高（1）的長(zhǎng)度等于 ； ， DxyNOMPACBH（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得拋物線上有一點(diǎn)，滿足以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若不存在，說明理由；若存在，求所有符合條件的拋物線的解析式，同時(shí)探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的點(diǎn)（簡(jiǎn)要說明理由）；并進(jìn)一步探索對(duì)符合條件的每一個(gè)點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)是否總滿足，寫出探索過程解：（1）；，（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)，使拋物線上有一點(diǎn)，滿足以為頂

10、點(diǎn)的三角形與等腰直角相似以為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，且這樣的三角形最多只有兩類，一類是以為直角邊的等腰直角三角形，另一類是以為斜邊的等腰直角三角形若為等腰直角三角形的直角邊，則由拋物線得：，的坐標(biāo)為把代入拋物線解析式，得拋物線解析式為即若為等腰直角三角形的斜邊，則，的坐標(biāo)為把代入拋物線解析式，得拋物線解析式為，即當(dāng)時(shí)，在拋物線上存在一點(diǎn)滿足條件，如果此拋物線上還有滿足條件的點(diǎn)，不妨設(shè)為點(diǎn)，那么只有可能是以為斜邊的等腰直角三角形，由此得，顯然不在拋物線上，故拋物線上沒有符合條件的其他的點(diǎn)當(dāng)時(shí)，同理可得拋物線上沒有符合條件的其他的點(diǎn)當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為，對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為時(shí)，和都是等腰直角三角形，又

11、，總滿足當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為，對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為時(shí)，同理可證得：，總滿足09湖南長(zhǎng)沙如圖，二次函數(shù)（）的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)連結(jié)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，且當(dāng)和時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值相等（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿邊運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，連結(jié)，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的處，求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以為項(xiàng)點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由yOxCNBPMAyxOCBAD09遼寧十二市已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）交軸于A、

12、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)C，且對(duì)稱軸為直線（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P（0，t）是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)進(jìn)行如下探究：探究一：如圖1，設(shè)PAD的面積為S，令Wt·S，當(dāng)0t4時(shí)，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此時(shí)t的值；如果沒有，說明理由；圖1探究二：如圖2，是否存在以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與RtAOC相似？如果存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由圖2yxOCBAD（參考資料：拋物線對(duì)稱軸是直線）解：（1）拋物線（）的對(duì)稱軸為直線，（2）探究一：當(dāng)時(shí)，有最大值yxOCBADMP拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，4分當(dāng)時(shí)，作軸于，則， 6分7分當(dāng)時(shí)，有最大值，8分探究二：存在分三種情況：當(dāng)時(shí)，作軸于，則，yxOCBADMP1EP2，軸，軸，此時(shí)，又因?yàn)椋?，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）10分（結(jié)論1分，過程1分）當(dāng)時(shí)，則，與不相似，此時(shí)點(diǎn)不存在12分（結(jié)論1分，過程1分）當(dāng)時(shí)，以為直徑作，則的半徑，圓心到軸的距離，與軸相離不存在點(diǎn)，使綜上所述，只存在一點(diǎn)使與相似14分（結(jié)論1分，過程1分）（其它方法可參照此答案給分）yOCDB6Ax09青海矩形在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖13所示，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線與邊相交于點(diǎn)（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，試確定此拋物線的表達(dá)式；（3）設(shè)（2）