1、投資的收益和風險問題線性規(guī)劃分析1問題的提出市場上有n種資產（如股票、債券、）S（i=1,，n）供投資者選擇，某公司有數額為M的一筆相當大的資金可用作一個時期的投資.公司財務分析人員對這n種資產進行了評估，估算出在這一時期內購買Si的平均收益率為門，并預測出購買Si的風險損失率為qi.考慮到投資越分散、總的風險越小，公司確定，當用這筆資金購買若干種資產時，總體風險可用所投資的Si中最大的一個風險來度量.購買Si要付交易費，費率為pi,并且當購買額不超過給定值Ui時，交易費按購買Ui計算（不買當然無須付費）.另外，假定同期銀行存款利率是r0,且既無交易費又無風險.（r0=5%）已知n=4時的相關

2、數據如下：n的相關數據S門（%）q(%)Pi(%)Ui（元）s282.51.0103&211.52.0198&235.54.5523252.66.540試給該公司設計一種投資組合方案，即用給定的資金M有選擇地購買若干種資產或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風險盡可能小.2模型的建立模型1.總體風險用所投資S中的最大一個風險來衡量，假設投資的風險水平是k,即要求總體風險Q（x）限制在風險k以內：Q（x）wk則模型可轉化為：maxRxs.t.Qxk,Fx=M,x0模型2.假設投資的盈利水平是h,即要求凈收益總額R(x)不少于h:R(x)>h,則模型可轉化為：minQxs.

3、t.RxhFx=Mx0模型3.要使收益盡可能大，總體風險盡可能小，這是一個多目標規(guī)劃模型。人們總希望對那些相對重要的目標給予較大的權重.因此，假定投資者對風險-收益的相對偏好參數為p(>0),則模型可轉化為：minQx?(1?)Rxs.t.Fx=Mx03.模型的化簡與求解由于交易費Ci(xi)是分段函數，使得上述模型中的目標函數或約束條件相對比較復雜，是一個非線性規(guī)劃問題，難于求解.但注意到總投資額M相當大，一旦投資資產Si,其投資額xi一般都會超過山，于是交易費Ci(xi)可簡化為線性函數CixiPiK.從而，資金約束簡化為nF(x)fi(xi)i0凈收益總額簡化為nR(x)"

4、;)i0n(1Pi)xiMi0nn0Ci(xi)(riPi)xii0i0在實際進行計算時，可設M=1,此時X(1p)戒i=0,1,n)可視作投資Si的比例.以下的模型求解都是在上述兩個簡化條件下進行討論的1)模型1的求解模型1的約束條件Q(x)&k即Q(x)maxQi(xJmax(qx)k,0in0in所以此約束條件可轉化為q?ik(1=0,1,n)這時模型1可化簡為如下的線性規(guī)劃問題：nmax(ripi)xii0s.t.qixik,i=1,2,L,nn(1Pi)xi1,x0i0具體到n=4的情形，按投資的收益和風險問題中表3-1給定的數據，模型為：Max0.05xo+0.27xi+0

5、.19x2+0.185x3+0.185x4s.t.0.025x1<k,0.015x20k,0.055x3<k,0.026x4<k,xo+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1,xi>0(i=0,1,，4)利用MATLAB7.0M林g型1,以k=0.005為例：輸出結果是0.177638,x0-0.158192,x1-0.2,x2-0.333333,x3-0.0909091,x4-0.192308這說明投資方案為(0.158192,0.2,0.333333,0.0909091,0.192308)時，可以獲得總體風險不超過0.005的最大收益是0.1

6、77638M.當k取不同的值(00.03),風險與收益的關系見下圖：模型1風險與收益的關系圖輸出結果列表如下:模型1的結果風險k凈收益RX0X1X2X3X400.051.00000.0020.1010550.6632770.080.1333330.03636360.07692310.0040.152110.3265540.160.2666670.07272730.1538460.0060.20190800.240.40.1090910.2212210.0080.21124300.320.5333330.12708100.0100.2190200.40.584314000.0120.225569

7、00.480.505098000.0140.23211800.560.425882000.0160.23866700.640.346667000.0180.24521600.720.267451000.0200.25176500.80.188235000.0220.25831400.880.10902000.0240.26486300.960.0298039000.0260.26732700.9900990000.0280.26732700.9900990000.0300.26732700.990099000從表3.2中的計算結果可以看出，對低風險水平，除了存入銀行外，投資首選風險率最低的S2

8、,然后是Si和S%總收益較低；對高風險水平，總收益較高，投資方向是選擇凈收益率（ri-pi）較大的Si和S2.這些與人們的經驗是一致的，這里給出了定量的結果.2）模型2的求解模型2本來是極小極大規(guī)劃：minmax（qx）0inn(1Pi)Xi1i0ns.t.(riPi)Xihi0但是，可以引進變量xn+i=max(qixi),將它改寫為如下的線性規(guī)劃：0inmin(xni)s.t.qixixni,i0,1,2,n,nn(riR)x-h(iPi)xii,x0i0i0具體到n=4的情形，按投資的收益和風險問題中表3.i給定的數據，模型為：Minx5s.t.0.025xi<x5,0.0i5x2

9、<x5,0.055x3x5,0.026x4<x5,0.05x0+0.27xi+0.i9x2+0.i85x3+0.i85x4>h,x0+i.0ixi+i.02x2+i.045x3+i.065x4=i,x>0(i=0,i,，5)利用MATLAB7.0M林K型2,當h取不同的值(0.040.26),我們計算最小風險和最優(yōu)決策，結果如表3所示，風險和收益的關系見圖2所示圖2模型2中風險與收益的關系圖表3模型2的結果凈收益水平h風險QX0X1X2X3X40.060.0003917330.9340470.01566930.02611550.007122410.01506660.08

10、0.00117520.8021420.04700790.07834650.02136720.04519990.100.001958660.6702360.07834650.1305780.03561210.07533320.120.002742130.5383310.1096850.1828090.04985690.1054660.140.003525590.4064260.1410240.235040.06410170.13560.160.004309060.274520.1723620.2872710.07834650.1657330.180.005092530.1426150.20370

11、10.3395020.09259140.1958660.200.005875990.01070920.235040.3917330.1068360.2260.220.010299400.4119760.572455000.240.016407200.6562870.330539000.260.02251500.9005990.088622800從表3.3中我們可以推出和模型1類似的結果.3）模型3的求解類似模型2的求解，我們同樣引進變量xn+i=max(qjX),將它改寫為如下0in的線性規(guī)劃：nminXni-(1一)(ripi)xii0ns.t.qiXiXn1,i0,1,2,n(1pjx1x

12、0i0具體到n=4的情形，按投資的收益和風險問題表3.1給定的數據，模型為：minpx5-(1-p)(0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4)s.t.0.025x1<x5,0.015x20x5,0.055x3<x5,0.026x4<x5,X0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1,xi>0(i=0,1,，5)利用MATLAB7.0ftt林g型3,當p取不同的值(0.70.98),我們計算最小風險和最優(yōu)決策，風險和收益的關系見圖3輸出結果列表如下：表4模型3的結果偏好系數P風險QXoX1X2X3X40.700.024752500.9900990000.740.024752500.9900990000.780.0092250900.3690040.615006000.820.0078492900.3139720.5232860.14271400.860.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.900.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.940.005939600.2375840.3959730.1079930.2284460.9801.0000結論：從表4的結果可以看出，隨著偏好系數p的增加，也