1、第七章 多元函數(shù)微積分Indefinite integral經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)微積分目錄第 2 頁 7.2 偏導(dǎo)數(shù) 7.1 多元函數(shù)的基本概念 7.3 全微分第七章第七章 多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分 7.4 多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo) 7.5 多元函數(shù)的極值和最值 7.6 二重積分的概念與性質(zhì) 7.7 二重積分的計(jì)算與應(yīng)用第 3 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念 7.1.1 多元函數(shù)的概念 7.1 7.1 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 7.1.2 二元函數(shù)的極限 7.1.3 二元函數(shù)的連續(xù)性第 4 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的概念1, , ,( , ),( ,

2、 ).,.,.設(shè)在某個(gè)變化過程中有三個(gè)變量如果對于變量在其允許的實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取一組值按照某種對應(yīng)關(guān)系 變量 總有唯一確定的值與之對應(yīng)則稱 是的二元函數(shù) 記作其中稱為自變量稱為因變量自變量所允許的取值范圍稱為函數(shù)的定義域x y zx yx yzzx yzf x yx yzx y1.7.1.1二元函數(shù)的定義定義第 5 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念 000000002222( , )( , ),( , )( , ),.,.,( , )3,43,434255.,( , , ).,因?yàn)閿?shù)組表示平面上的一點(diǎn)這樣二元函數(shù)可看成是平面上點(diǎn)與數(shù) 之間的對應(yīng) 因此也可記作二元函數(shù)在點(diǎn)處所取得的函數(shù)值記為、

3、或例如 函數(shù)在點(diǎn)的值是類似地 可以定義三元函數(shù)及三元以上的函數(shù) 一般地 可以定義個(gè)自變量的函x yP x yzf x yP x yzzfPPxyfxyfPz xyf x yxyfuf x y zn123(,),.3.數(shù)個(gè)自變量的函數(shù)稱為 元函數(shù) 二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù) 上述問題 得到的函數(shù)即為三元函數(shù)nuf xxxxnn第 6 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念,.,;,.,.,;,同一元函數(shù)一樣 定義域和對應(yīng)關(guān)系是二元函數(shù)的兩個(gè)要素 對于用解析式表示的二元函數(shù) 其定義域就是使解析式有意義的自變量的取值范圍 如果函數(shù)是由實(shí)際問題得到的 其定義域應(yīng)根據(jù)它的實(shí)際意義來確定一般來說

4、一元函數(shù)的定義域是數(shù)軸上的點(diǎn)集 二元函數(shù)的定義域是面上的平面區(qū)域 定義域常用字母表示 如果區(qū)域延伸到無限遠(yuǎn)處 就稱這樣的區(qū)域是無界的 否則 它總可以被包圍在一個(gè)以原點(diǎn)為中xOyDO2.二元函數(shù)的定義域,.,.心而半徑適當(dāng)大的圓內(nèi) 這樣的區(qū)域稱為有界的圍成平面區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界 包括邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域 不包括邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域第 7 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念 2222222222222:1;12ln1;43arcsin.1, ,0,( , ),;求下列函數(shù)的定義域要使函數(shù)的解析式有意義必須滿足所以函數(shù)的定義域是如圖所示zRxyzxyxyzxyx yRxyDx y xyR

5、7.1.1例解第 8 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念 222222222, ,1014,40( , ) 14,;3,( , )11,1; 2; 3.要使函數(shù)的解析式有意義必須滿足不等式組所以函數(shù)的定義域是如上圖所示由反三角函數(shù)的定義知 函數(shù)的定義域是如下圖所示.中的是有界閉區(qū)域中的是有界開區(qū)域中的是無界閉區(qū)域x yxyxyxyDx yxyDx yxyDDD注意第 9 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念( , ) ,( , ),( , , ).,( , ).,().設(shè)的定義域?yàn)槠矫嫔系囊粋€(gè)區(qū)域?qū)τ?中的每一點(diǎn)把所對應(yīng)的函數(shù)值 作為豎坐標(biāo) 就有空間中的一點(diǎn)與之對應(yīng)當(dāng)點(diǎn) 在 內(nèi)變動(dòng)時(shí) 對

6、應(yīng)點(diǎn)就構(gòu)成了空間的一個(gè)點(diǎn)集 這個(gè)點(diǎn)集就是函數(shù)的圖形 一般地 它是一個(gè)曲面 該曲面在平面上的投影即為函數(shù)的定義域 如圖所示zf x yxOyDDP x yzM x y zPDMzf x yxOy3.二元函數(shù)的幾何意義第 10 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念0000000000000000( , ),( , ),(),( , ),.( , ),( , ),( , )( , ),.lim,lim( , )設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 點(diǎn)可以除外點(diǎn)是該鄰域內(nèi)異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)若當(dāng)點(diǎn)以任意方式無限地趨近于點(diǎn)時(shí) 函數(shù)總是趨近于一個(gè)確定的常數(shù) 則稱 為函數(shù)當(dāng)趨近于點(diǎn)時(shí)的極限記作或x yxyPPzf x

7、 yPxyPP x yPxyP x yPxyf x yAAzf x yP x yPxyf x yAf x y7.1.2定義 0001( , );2 lim( , ),( , ),0.定義中該鄰域內(nèi)異于 的點(diǎn) 必須是使得函數(shù)有定義的點(diǎn)是指 以任意方式趨近于點(diǎn) 時(shí) 函數(shù)都趨近于同一個(gè)常數(shù)即常數(shù) 與點(diǎn) 趨近于點(diǎn)的方式無關(guān)PPPPzf x yf x yAPPf x yAPPA說明二元函數(shù)的極限2第 11 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念 22( , )2,1,0,0,0,02,0,0,0,0,0,0:sin41lim;2lim;3lim.42171.213sin()sin()2limlimlim

8、100.求下列函數(shù)的極限極限極限x yx yx yx yx yx yxyxyxxyxyyxyxyxyxxxyxy 7.1.2例解第 12 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念 22,0,0,0,0,0,0,0,023( , )0,00,.,:() limlimlimlim 0000.,0由于分母當(dāng)時(shí)趨近于因此 我們不能用極限的商的運(yùn)算法則但是 如果分子分母同乘以就可以得到極限的等價(jià)形式我們之所以能夠消去因式是因?yàn)槁窂讲辉诤瘮?shù)x yx yx yx yxyx yxyxxyxyx xyxyxxyxyxyxyxyxxyxxyxyxyzx.的定義域中y第 13 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念2

9、22222222,0( , ),( , )0,0.0,00 ,( , )( ,).( , )10,0 ,( , ).,.( , )110,0,( , ),討論函數(shù)當(dāng)時(shí)是否存在極限取直線則讓動(dòng)點(diǎn)沿直線無限趨近于由于顯然的取值不同的值也不同這意味著當(dāng)沿不同方向無限趨近于時(shí)與不同的數(shù)無限接近xyxyxyf x yx yxykykx kf x yf x kxx yykxkkkf x ykx ykkf x y7.1.3例解( , )0,0.因此在處不存在極限f x y第 14 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念00000000000,0000( , ),(),lim,lim( , ),.( ,( ,

10、 ),( , ),( , ).),( , ).設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 包括點(diǎn)本身如果或則稱函數(shù)在處連續(xù) 稱 為函如果函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù) 則稱函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)連續(xù) 又稱函數(shù)是 內(nèi)連續(xù)函數(shù)二元連續(xù)數(shù)的點(diǎn)函連續(xù)x yxyPPzf x yPxyPfx yfxyf x yfxyf xzf x yDzf x yDfyPxyPf xxDyy7.1.3定義.,().數(shù)的圖形是一個(gè)沒有任何空隙和裂縫的曲面根據(jù)極限四則運(yùn)算法則及有關(guān)復(fù)合函數(shù)的極限定理 可以證明 二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商 分母為零的點(diǎn)除外 及二元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)都是連續(xù)的使二元函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)二元函數(shù)的連續(xù)性3第

11、15 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念12121200.( , ),.,.在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)必有最大值和最小值在有界閉區(qū)域 上連續(xù)的二元函數(shù)若為 中任意兩點(diǎn) 且則對任何滿足不等式的實(shí)數(shù)必存以上關(guān)于二元函數(shù)極限與連續(xù)的討論完全可以推廣在點(diǎn)使得到三元以及三元以上的函數(shù)Df x yP PDf Pf Pf Pf PPDf P()()12最大值和最小值定理介值定理性質(zhì)性質(zhì)二元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的性質(zhì)4第 16 頁偏導(dǎo)數(shù)第七章 第二節(jié) 7.2.1 偏導(dǎo)數(shù)概念與計(jì)算 7.2 7.2 偏函數(shù)偏函數(shù) 7.2.2 高階偏導(dǎo)數(shù)第 17 頁偏導(dǎo)數(shù)第七章 第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)概念與計(jì)算1 2,.:1:,d,

12、2;d2:,d,.d常數(shù)常數(shù)上述問題中 當(dāng)?shù)装霃?和高 兩個(gè)因素同時(shí)變化時(shí) 體積 的變化較復(fù)雜 通常先考慮兩種特殊情況等高過程 當(dāng)高 不變時(shí) 體積是半徑 的一元函數(shù)關(guān)于 的變化率是關(guān)于 的一階導(dǎo)數(shù) 即等半徑過程 當(dāng)半徑 不變時(shí) 體積是高 的一元函數(shù)關(guān)于 的變化率是關(guān)于 的一階導(dǎo)數(shù) 即hrrhVhVrVrVVrrhrrVhVhVVhrr第 18 頁偏導(dǎo)數(shù)第七章 第二節(jié)00000000000000000000,( , ),.,.lim(,),( , ),( , ),設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義當(dāng)自變量 保持定值 時(shí)成了自變量 的一元函數(shù)如果存在 則稱函數(shù)在處對 的偏導(dǎo)數(shù)存在 并稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)

13、處對 的偏導(dǎo)數(shù) 記作、或xxyxyzf x yPxyyyzxzfx yf xx yfxyxzf x yxyxzf x yxyxfzfx xyxx 17.2.1.偏導(dǎo)數(shù)的概念定義00,.xzxy第 19 頁偏導(dǎo)數(shù)第七章 第二節(jié)232,1222,1( , )32,1.,23 1023 .223 17.,031333.323 13.求函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為了求把 看做常數(shù) 對 求導(dǎo) 得所以為了求把 看做常數(shù) 對 求導(dǎo) 得所以f x yxxyyffyxxyxyxxfxffxyxyxyyyfy 22.7. 1例偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算解第 20 頁偏導(dǎo)數(shù)第七章 第二節(jié)10.,.,ln .( , )sin,.,si

14、n2.,coscos1求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為了求把 看做常數(shù) 對 求導(dǎo) 得為了求把 看做常數(shù) 對 求導(dǎo) 得設(shè)求 及為了求把 看做常數(shù) 對 求導(dǎo) 得為了求把 看做常數(shù) 對 求導(dǎo) 得yyxyxyxyxxyxyxyyzxy xzzyxy xxxzzxyxxyyf x yxyyefffyxfyy efxyfxyeyexxy7.2.27.2.3例解例解.xyxy e第 21 頁偏導(dǎo)數(shù)第七章 第二節(jié)2sin 2,.,sin 22cos 2.sin 2cos 2.(),:1.,;,求為了求把 看做常數(shù) 對 求導(dǎo) 利用一元函數(shù)求導(dǎo)的乘法公式 得同理已知?dú)鈶B(tài)方程是常數(shù) 求證由得由得xyxyxyxyxyzzzexyxy

15、zyxxzzyexyexyxexyexyxyPVTPVRT RVTPRTPRTRTPVVVPV 7.2.47.2.5例解例證2;,.:1.:,.由得把以上三式代入等式左邊得這個(gè)例子說明 偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個(gè)整體 不能看成與之商VRPVTVTTPRPRPVTRTR VRTRTVTPPRVPRTVzzxx 第 22 頁偏導(dǎo)數(shù)第七章 第二節(jié)222222200000,0( , ),0,0 ,0,0 .0,000(0,0)0,00,0limlimlim0;,0,00.:( , )0,0.,( , ),設(shè)求 同理在上一節(jié)中已指出在處不連續(xù)因此 對于二元函數(shù)而言在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在 并不能保證函數(shù)xyxxxxx

16、yxyxyxyf x yffxyxfxfzxfxxxff x yzf x yxy 7.2.6例解.在該點(diǎn)處連續(xù)第 23 頁偏導(dǎo)數(shù)第七章 第二節(jié)0000000000000000001,( , ),( , ):,tan.,( , )( , ):tan(設(shè)為曲面上一點(diǎn) 過作平面截此曲面得曲線于是偏導(dǎo)數(shù)就是該曲線在點(diǎn)處的切線對于 軸的斜率同理 偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線上點(diǎn)處的切線對于 軸的斜率如圖所yxyPxyf xyzf x yPyyzf x ylfxyyyPPTxfxyzf x yzf x yxxlxxxPPTy3.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義).示第 24 頁偏導(dǎo)數(shù)第七章 第二節(jié)222222( ,

17、)( , ),( , ).,( , ).:()( , );()( , );()( , );()由于二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍然是自變量 、 的函數(shù) 如果這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于 、 的偏導(dǎo)數(shù)也存在 則說函數(shù)具有二階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有如下四種情形xyxxyyxyzf x yfx yfx yxyxyzf x yzzzzfx yfx yxxyyxyzzzzfx yyxx yxyy x 22( , ).,( , ),( , ).(),;()( , ).其中稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)表示先 后 的求導(dǎo)次序表示先 后 的求導(dǎo)次序yxxyyxxyyxfx yzzfx yfx yfx yxyyxx yzzfx yyxxyy

18、x 高階偏導(dǎo)數(shù)2第 25 頁偏導(dǎo)數(shù)第七章 第二節(jié)33322333322233332.,3.:();()3;()33;()39.求函數(shù)的四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)因?yàn)樗远A偏導(dǎo)數(shù)為xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyzezzeexyzzzzeeeexxxx yyxyxzzzzeeeey xxyxyyyy 7.2.7例解第 26 頁偏導(dǎo)數(shù)第七章 第二節(jié)22222222222222222222222222222arctan.,.:2()();()();()();求函數(shù)的四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)因?yàn)樗远A偏導(dǎo)數(shù)為yzxyzzxxyxyxyyxyyxyzzzzxxxx yyxyxxyxyxyxyxyzzxzy x

19、xyx xyyxy 7.2.8例解00000022222(2()(, )( ,).,.若和都在點(diǎn)連續(xù) 則xyyxxyyxfx yfxyzxyyy xyx yxyfxyfxxyy7.2.1定理第 27 頁全微分第七章 第三節(jié) 7.3 7.3 全微分全微分 7.3.1 全微分的定義 7.3.2 全微分在近似計(jì)算方面的應(yīng)用第 28 頁全微分第七章 第三節(jié)全微分的定義122(,)0,0,()().71,:,;:,0,0,.()(),lim0.0,上述問題中 面積的增量如圖所示由兩部分構(gòu)成第一部分是關(guān)于的線性函數(shù) 是影響面積增量的主要部分第二部分當(dāng)時(shí) 這部分面積可以忽略不計(jì)以表示自變量改變量的總體大小

20、則即是當(dāng)xySxxyyxyy xx yx ySy xx yxyx yxyx yxyx yxy 0,( ).,71( ).時(shí)比 更高階的無窮小量 即且所以能表示為xyxyx yoSy SxSSxSyo 第 29 頁全微分第七章 第三節(jié) 0000000022( , ),(,),( ).72, ,0,()() ,( , )0,72,( , )設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義 如果 在點(diǎn)處的全增量可以表示為其中是僅與點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)是較 高階的無窮小量則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微 并稱式中關(guān)于的線性函數(shù)為 在點(diǎn)zf x yPxyzPzzf xx yyf xyA xB yoA BPxyozf x yPxyA xB yzf

21、x yP 7.3.1定義0000,dd,.73處的全微分 記作Pzf xyA xB y 第 30 頁全微分第七章 第三節(jié)00000000(0,)0,0(,)0,0(,)0,0( , )0,00( , ),( ).74limlim (,),lim( )0.lim( , ),.若函數(shù)在其定義域內(nèi)一點(diǎn)處可微 則它在按函數(shù)在處可微的定義 有于點(diǎn)處即必連續(xù)是xyxyxyx yxyzf x yxyzA xB yozf xx yyfxzf x yxyxyyA xB yof x 7.3.1證定理0000, ),.( , ),.因此函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)yfxyzf x yxy第 31 頁全微分第七章 第三節(jié)00000

22、000000000000( , ),.( , ),740,(,),().,0,m.li若是函數(shù)的間斷點(diǎn) 則函數(shù)在處不可微若函數(shù)在其定義域內(nèi)一點(diǎn)處可微則它在該點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)在中取則上式兩邊除以再令于數(shù)是有都存在 并有xyxyxPzf x yPzf x yxyfxyfxyAfxyyzf xx yfBfxyAxxyxoxx ()7.3.2可微的必要條證件推論定理000000000(,),()lim.,.,740,.根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義 說明存在且等于 同理 在中取可證存在且等于xxyf xx yfxyA xoxAxxfxyAxfxyB 第 32 頁全微分第七章 第三節(jié)000000( , ),( , ),

23、.,( , , ),dddd.類似地 上述二元函數(shù)全微分的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) 例如 若三若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)元函數(shù)的三個(gè)偏導(dǎo)的某鄰域內(nèi)存在 且數(shù)都存在且連續(xù) 則它的全微分存在點(diǎn)處連續(xù) 則函數(shù)在處可微在 有xyuzf x yxyffxyzf xf x y zuuuuxyzxzyxyy()7.3.3可微的充分條件定理第 33 頁全微分第七章 第三節(jié)3223232322221,2.6,22 .d6d22d .d1,26 12d2 12 2 d 12d6d .arcsind .,dddd1 ()1 ()1()1求函數(shù)在點(diǎn)處的全微分因?yàn)樗郧蠛瘮?shù)的全微分所以zx yyzzx yxyzx y xx

24、yyxyzxyxyzxyzzyyzxzzxzxyxxyxyxyxyxy7.3.17.3.2例解例解2d .().,1,ddddd(1)d()d .求函數(shù)的全微分所以yzyzyzyzyzyzyzyxyuxeezyuuuexzexyeezxyzuuuuxyzexxzeyxyeezzxyz7.3.3例解第 34 頁全微分第七章 第三節(jié)000000000000000( , )( , ),( , ),d,75,.76當(dāng)二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在處連續(xù) 并且都較小時(shí) 將有或xyxyxyzf x yfx yfx yPxyxyzzfxyxfxyyf xx yyf xyfxyxfxyy 全微分在近似計(jì)算方面的應(yīng)用2

25、第 35 頁全微分第七章 第三節(jié)1003.020031.043.02.( , )( , ),( , )ln ,1,3,0.04,0.02,76:1.04(,)1,31,31,3130.0400.021.12.,1.( , )計(jì)算的近似值設(shè)且令由得證明當(dāng)很小時(shí)設(shè)yyyxyxyx yxf x yxfx yyxfx yxxxyxyf xx yyffxfyxyexyf x ye 7.3.47.3.5例解例證00,0,7510,00,0,.取則為自變量的改變量 則由得移項(xiàng)即得證明yx yxyxyx yfefxfyxy 第 36 頁全微分第七章 第三節(jié)2200330,60,3030.1,6059.5,.1

26、21( , ),d,33330,60,0.1,0.5,75:21d30600.19000.512015030(),33有一正圓錐體 其底面半徑 由增大到高 由減小到求體積 改變量的近似值圓錐體體積公式為且 令由得即rcmcmhcmcmVV r hr hVrh rrhrhrhVVcm 7.3.6例解330.此圓錐體的體積約減少了cm第 37 頁多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)第七章 第四節(jié) 7.4.1 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 7.4 7.4 多元復(fù)合函數(shù)與隱多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)函數(shù)的求導(dǎo) 7.4.2 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第 38 頁多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)第七章 第四節(jié)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1222222

27、2222()sin,:2sin2cos;(): , ,(sin ) 22sin;cos22cos.方法一 直接求導(dǎo)法利用求導(dǎo)的乘法公式可得方法二 利用一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)思想與自變量 有關(guān)的中間變量有兩個(gè)則xyxyxyuxyuxyzzexyyexyxexyxxu vzuzvevyyexyevxxexyuxvx1.分析二元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則第 39 頁多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)第七章 第四節(jié)( , ),:( , ),( , ).( , ),( , )( , ),( , )( , ), ( , ),( , )( , ),設(shè)函數(shù)是中間變量的函數(shù) 中間變量是變量的函數(shù)若在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)都存在在對應(yīng)點(diǎn)處可微 則

28、復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處關(guān)于的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在 且zf u vu vu vx yux y vx yux y vx yx yf u vu vzfx yx yx yx yzzuzvzzxuxvxyu7.4.1定理.77.此公式也稱為鏈?zhǔn)椒▌tuzvyvy78定理中函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為第 40 頁多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)第七章 第四節(jié)222222ln,32 ,.,1232 ln3ln 32.32,2 ln ()設(shè) 求依據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)圖 由 經(jīng)中間變量到達(dá)自變量 的途徑有兩條 所以由 經(jīng)中間變量到達(dá)自變量 的途徑有兩條 所以xzzzuv uvxyyxyzu vxzzuzvuxxuvxyxuxvxyvyyxyzu vyzzu

29、zvxuvyuyvyy7.4.1例解22232222ln 32.32uxx yxyvyxy 第 41 頁多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)第七章 第四節(jié)2 ,sin,.2 ,sin ,.1cos ,2sin .( , ),.設(shè)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 求令于是所以函數(shù)的關(guān)系式?jīng)]有具體給出就作為已知結(jié)果 不用計(jì)算uvuvuvzzzf xy yxfxyuxy vyxzf u vzzuzvffyxxuxvxzzuzvffxyuyvyzf u vff 7.4.2例解注意第 42 頁多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)第七章 第四節(jié), ,;,d,;d如上圖所示中 由 經(jīng)中間變量到達(dá)自變量 的途徑有三條到達(dá)自變量 的途徑有三條

30、 所以如中圖所示中 由 經(jīng)中間變量 到達(dá)自變量 的途徑有兩條 到達(dá)自變量 的途徑有一條 所以zu v wxyzzuzvzwzzuzvzwxuxvxwxyuyvywyzuxzzuzvzzuyxuxvxyuy, ,.dddd.dddd如下圖所示中 由 經(jīng)中間變量到達(dá)自變量 的途徑有三條且復(fù)合后的函數(shù)僅是自變量 的一元函數(shù)所以zu v wttzzuzvzwtutvtwt第 43 頁多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)第七章 第四節(jié)2,.,2,d.d,2 (), ,( , , )2.設(shè)求設(shè)則其函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為所以等號兩邊的是不同的 左端的是的二元復(fù)合函數(shù)對 求偏導(dǎo)數(shù)右端的是作為的三元函數(shù)對 求偏導(dǎo)數(shù)x yvx yv

31、zzy xyyuxy vxyzyuyzzzuzvyyyuyvyzzx yzy xyyyyzy u vzf y u vyuyy7.4.3例解第 44 頁多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)第七章 第四節(jié)1,d21212ln2(1ln )d21ln.為了防止混淆公式 上式可表示成vvvvx yfyyvzzuzvuyvuyuuuyuyyyuyvyuy xyxyyxyxy 第 45 頁多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)第七章 第四節(jié)22(,2 ,sin ),.,2 ,sin ,( , ,),()1coscos;1設(shè)求令則其函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為 所以uvwuvwuyzzzfxy yxxxyyuvxy wyxzf u v wxyz

32、zuzvzwfffyxxuxvxwxxyffyxfxzzuzvzwfyuyvywyx 7.4.4例解12sin2sin.vwuvwffxffxfx第 46 頁多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)第七章 第四節(jié)11d,.d,ddd1ln1ln1ln.ddd設(shè)求令則函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為所以xvvvxxxyyxxux vxyuyyyuvvuuvx xxxxxxuxvx 7.4.5例解第 47 頁多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)第七章 第四節(jié) 232332324222333,.,.,22.,33.設(shè)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 求設(shè)則在這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式中 乘法中有復(fù)合函數(shù) 所以用求導(dǎo)的乘法公式方程兩邊對 求偏導(dǎo) 可得方程兩邊對 求偏

33、導(dǎo) 可得zzzxyfx yfxyux yzxyf uzxyf uxyfuxyyf x yx y fuxzyxf uxyfux yxfx yx y fuy7.4.6例解第 48 頁多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)第七章 第四節(jié) ,.,.( , )0,( ,)0.d,0.dd0,.d在一元函數(shù)中 我們曾學(xué)習(xí)過隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法 但未能給出一般的求導(dǎo)公式現(xiàn)在根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 就可以給出一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式設(shè)方程確定了函數(shù)則將它代入方程變?yōu)楹愕仁絻啥藢?求導(dǎo) 把方程中的 視作中間變量 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 可得若則這就是一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式xyyxyF x yyy xF x y xyxyFFxyFF

34、 Fx 1.一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2第 49 頁多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)第七章 第四節(jié)2222d2 ,.dd221( , )2 ,22,2 .d2( , , )0( , ),0,.( , )( , , )0,設(shè)求令則所以設(shè)方程確定了隱函數(shù)若連續(xù) 且則可仿照一元隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 得出 對 、 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式將代入方程中 得恒xxyyxyzzyxyxxFyxxF x yxyxFxFyxFyyF x y zzz x yF FFFzxyzz x yF x y z 7.4.2.7二元隱函數(shù)的求導(dǎo)公例式解( , , ( , )0.,0;0.0,.等式上式兩端對 、求偏導(dǎo) 把方程中的

35、 作為中間變量 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 可得因?yàn)樗詙zyzzxzzF x y z x yxyzFzzzzxFFFFF FxyxyF 第 50 頁多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)第七章 第四節(jié)( , ),.( , , ),.設(shè)方程確定了隱函數(shù) 求令則所以zzzxyzyxzzzzzzexyzzz x yxyF x y zexyzFyzFxzFexyFFyzzzxzxFyFexyexy 7.4.8例解第 51 頁多元函數(shù)的極值和最值第七章 第五節(jié) 7.5.1 二元函數(shù)的極值 7.5 7.5 多元函數(shù)的極值和最值多元函數(shù)的極值和最值 7.5.2 多元函數(shù)的最值 7.5.3 二元函數(shù)的條件極值第 52 頁多元

36、函數(shù)的極值和最值第七章 第五節(jié)000000000( , ),( , ),(,),( , )0(),( , )().;.設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義 若對于該鄰域內(nèi)任一異于 的點(diǎn)都有或則稱函數(shù)在點(diǎn)取得極大 或極小 值 點(diǎn)稱為的極大 或極小 值點(diǎn)極大值和極小值統(tǒng)稱為極值 極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)zf x yPxyPP x yfx yfxyfx yfxyzf x yPPzf x y1.7.5.1二元函數(shù)的極值定義定義二元函數(shù)的極值1第 53 頁多元函數(shù)的極值和最值第七章 第五節(jié)000000000000000,00,00,00,0( , ),0,.,0,0,( , ).,00,0(0,0),設(shè)函數(shù)在

37、點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù) 且在處取得極值 則有滿足的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)但是駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) 例如是函數(shù)的駐點(diǎn)但不是xyxyzf x yPxyfxyPfxyfxyxyf x yfxyzzzxyyxxy(2.)7.5.1極值存在的必要極值存在的必件要條件條定理.函數(shù)的極值點(diǎn)第 54 頁多元函數(shù)的極值和最值第七章 第五節(jié) 000000000020000000,( , ),.,100,;00,;20,;30,設(shè)為函數(shù)的駐點(diǎn) 且函數(shù)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)令則當(dāng)且 時(shí)是極小值 當(dāng)且 時(shí)是極大值當(dāng)時(shí)不是極值當(dāng)時(shí) 不能肯定函數(shù)在點(diǎn)是否取得極xxxyyyPxyzf x yPAfxyBfxyCfxyACBAf xyA

38、f xyf xyP 3.()7.5.2極值存在的充分條件極值存在的充分條件定理.值第 55 頁多元函數(shù)的極值和最值第七章 第五節(jié)00000000002,( , ),:,0,;,0( , ),( , ),( , );,.綜上所述 若函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 我們可以按照下列步驟求該函數(shù)的極值第一步解方程組求出所有駐點(diǎn)第二步求三個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)第三步分別計(jì)算每個(gè)駐點(diǎn)處、的值及的符號 據(jù)此判定出極值點(diǎn) 并求出極值xyxxxyyyxxxyyyzf x yfxyfxyfx yfx yfx yAfxyBfxyCfxyACB 第 56 頁多元函數(shù)的極值和最值第七章 第五節(jié)32222( , )421.( , )38

39、20,0,02,2 .( , )220:,68,2,2.0,0,8,2,2,120,0,0;80,0,0求函數(shù)的極值解方程組得駐點(diǎn)及三個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)分別為在處 有故所以點(diǎn)是極值點(diǎn) 且因此 函數(shù)在點(diǎn)處有極xyxxxyyyf x yxxxyyfx yxxyfx yxyfx yxfx yfx yABCACBA 7.5.1例解20,01.2,2,4,2,2,120,2,2.大值在處 有故所以點(diǎn)不是極值點(diǎn)fABCACB 第 57 頁多元函數(shù)的極值和最值第七章 第五節(jié)2sin2.cos20,2.22cos20sin2,.sin2,2sin2,4sin2,4sin224sin220.7.求的極值點(diǎn)與極值 解方

40、程組得所以函數(shù)有無限多個(gè)駐點(diǎn) 這些駐點(diǎn)都分布在平行直線上所以對這無限多個(gè)駐點(diǎn)不能應(yīng)用定理xyxxxyyyzxyzxyxykkZzxyzxyzxyzxyzxyACBxyxy 7.5.2例解5.2.,( , )1,sin( )1;,2sin( )1.2判定他們是否是極值點(diǎn)事實(shí)上 因?yàn)楫?dāng) 是偶數(shù)必定是極大值 當(dāng) 是奇數(shù)必定是極小值因此所有的駐點(diǎn)都是極值點(diǎn)f x ykkkk 第 58 頁多元函數(shù)的極值和最值第七章 第五節(jié)多元函數(shù)的最值21232221231232222222222,0,01,00,1.( , ),:1133222.33222.6在坐標(biāo)面上找出一點(diǎn) 使它到三點(diǎn)、距離的平方和最小設(shè)為所求的

41、點(diǎn) 為 到 、 、 三點(diǎn)距離的平方和 即由兩點(diǎn)間的距離公式得題目就轉(zhuǎn)化為求二元函數(shù)的最小值問題解方程組xxyPPPPP x ylPPPPlPPPPPPlxyxyxyxyxylxyxylx7.5.3例解201 1,( , ).6203 3,1 1( , ).3 3得駐點(diǎn)為由問題的實(shí)際意義 到三點(diǎn)的距離的平方和最小的點(diǎn)一定存在 函數(shù) 可微又只有一個(gè)駐點(diǎn)因此即為所求之點(diǎn)ylyl第 59 頁多元函數(shù)的極值和最值第七章 第五節(jié)2332,?, , ,2().,2()0,0 .20,2,2.20,要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為 的長方體無蓋水箱 問水箱的長、寬、高各等于多少時(shí) 其表面積最小設(shè)水箱的長 寬 高分別為則箱子的

42、表面積為由于所以題目就轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的最小值問題解方程組得駐點(diǎn) 由問題的實(shí)際意義可知xyVx y zVxyzSxyxzyzVVVzSxyxyxyyxVSyxVVVSxy7.5.4例解3330,0,2 ,2 ,.4面積 在時(shí)的最小值是存在的 又因?yàn)?可微又只有一個(gè)駐點(diǎn) 所以取長寬高時(shí) 長方體無蓋水箱的表面積最小SxySVVxVyVzxy第 60 頁多元函數(shù)的極值和最值第七章 第五節(jié)二元函數(shù)的條件極值3( , )( , )0,( , ),( , ),( , )( , )0,:( , )( , )( , );( , )( , )( , )0( , )( , )( , )0( , )0設(shè)二元函數(shù)和在所

43、考慮的區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) 且不同時(shí)為零 求函數(shù)在約束條件下的極值 可用下面步驟來求第一步構(gòu)造輔助函數(shù)第二步組成方程組xxyyyzf x yx yx x yy x yzf x yx yL x yf x yx yL x yfx yx x yLx yfx yx yx y0000;,(),( , )( , )0.,.,( , ),.第三步解方程組 得解解可能多于一組 則點(diǎn)就是函數(shù)約束條件下的極值點(diǎn)在實(shí)際問題中 往往就是所求的極值點(diǎn)這個(gè)方法稱為拉格朗日乘數(shù)法 其中輔助函數(shù)稱為拉格朗日函數(shù)稱為拉格朗日乘數(shù)xxyyxyzf x yx yL x y第 61 頁多元函數(shù)的極值和最值第七章 第五節(jié)7.5.4

44、.2()0.( , , )2()(),20202222,.22002用拉格朗日乘數(shù)法求例所要解決的問題就是求函數(shù)在條件 下的最小值設(shè)組成方程組由方程組的前三式 易得 由xyzSxyxzyzxyzVL x y zxyxzyzxyzVLyzyzLxzxzyzxyxzyzxzxyLxyxyxyzVy 7.5.5例解333332222,2 .2 ,:2 ,.,4,2.,44.可得由可得所以把它代入方程組的最后一個(gè)方程中 得實(shí)際上 由于本問題確實(shí)存在最小值 且可能的極值點(diǎn)只有一個(gè) 所以當(dāng)長為、寬為、高為時(shí) 長方體表面積最小zxyxzxzxyyzyzxzxzxyVxyzxyV zVVV 第 62 頁多元函

45、數(shù)的極值和最值第七章 第五節(jié)2222222222222221.( , , ),.,( , , )010., ,拋物面被平面截成一個(gè)橢圓求這個(gè)橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長與最短距離設(shè)橢圓上的點(diǎn)為根據(jù)兩點(diǎn)距離公式 點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為的平方最小一定最小 故問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在條件及下的最大、最小值問題作輔助函數(shù)xyzxyzM x y zMdxyzddf x y zxyzxyzxyzL x y zxyzxyz 7.5.6例解1 ,xyz第 63 頁多元函數(shù)的極值和最值第七章 第五節(jié)2222022020,0101313,23,23,22,13131313(,23)95 3,(,23)95 3,222295 3,9

46、組成方程組解得兩組解或由于實(shí)際問題確實(shí)存在最大值與最小值 且所以該橢圓到原點(diǎn)的最長距離為最短距離為xyzLxxLyyLzxyzxyzxyzxyzff 5 3.第 64 頁二重積分的概念與性質(zhì)第七章 第六節(jié) 7.6.1 二重積分的概念 7.6 7.6 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì) 7.6.2 二重積分的性質(zhì)第 65 頁二重積分的概念與性質(zhì)第七章 第六節(jié),( , ),“”.,( , ),.,.( , ),我們知道 對于平頂柱體 即當(dāng)其高是不變的 它的體積用公式底面積高來計(jì)算現(xiàn)在柱體的頂是曲面 它的高在 上是變量 它的體積就不能用上面的公式來計(jì)算但是我們可以仿照求曲邊梯形面積的思路 把

47、分成多個(gè)小閉區(qū)域由于在 上連續(xù)因此它在每個(gè)小區(qū)域上的變化就很小 因而相應(yīng)每個(gè)小區(qū)域上的小曲頂柱體的體積就可用平頂柱體的體積來近似替代 且區(qū)f x yhVf x yDDf x yD.1曲頂柱體的體積,.:域 分割得越細(xì) 近似值的精度就越高于是通過求和、取極限就能算得整個(gè)曲頂柱體的體積具體作法如下D二重積分的概念1第 66 頁二重積分的概念與性質(zhì)第七章 第六節(jié) 121:,(1,2, ),.(2):(,)(1,2,),(,)(,)分割 把區(qū)域 任意分成 個(gè)小閉區(qū)域并以表示第個(gè)小區(qū)域的面積 然后分別以這些小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線 作母線平行于 軸的柱面 這些柱面就把原來的曲頂柱體分成 個(gè)小曲頂柱體近似

48、在每個(gè)小曲頂柱體的底上任取一點(diǎn)用以為高、為底的平頂柱體的體積近似替代第niiiiiiiiiiDninizninffi 1101,(,).(3):,(,).(4):,lim(,).,(個(gè)小曲頂柱體的體積 即求和 將這 個(gè)小平頂柱體的體積相加 得到原曲頂柱體體積的近似值 即取極限 將區(qū)域 無限細(xì)分且每個(gè)小閉區(qū)域趨向于縮成一點(diǎn) 這個(gè)近似值就趨向于原曲頂柱體的體積 即其中是這 個(gè)小區(qū)域的最大直徑 有界閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域中任意兩點(diǎn)間iiiinniiiiiiniiiiVfnVVfDVfn ).距離的最大值第 67 頁二重積分的概念與性質(zhì)第七章 第六節(jié)1( , ).(1,2, ),.(,),(,).,(

49、, ),( , )d ,( , )設(shè)二元函數(shù)定義在有界閉區(qū)域 上將區(qū)域 任意分成 個(gè)小閉區(qū)域并以表示第 個(gè)小區(qū)域的面積在上任取一點(diǎn)作和如果當(dāng)各個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值 趨于零時(shí) 此和式的極限存在 則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域 上的二重積分 記作即iiiiiiniiiDzf x yDDniniff x yDf x yf x y 2.7.6.1二重積分的概念定義01dlim(,).niiiiDf 第 68 頁二重積分的概念與性質(zhì)第七章 第六節(jié)( , )0,( , )d,( , );( , )0,( , )d,( , );( , ),( , )d.當(dāng)被積函數(shù)時(shí)表示以區(qū)域 為底 以為頂?shù)那斨w的體積 當(dāng)

50、時(shí) 曲頂柱體在平面的下方表示以區(qū)域 為底以為頂?shù)那斨w的體積的相反數(shù) 當(dāng)在 上有正有負(fù)時(shí)表示各區(qū)域上曲頂柱體體積的代數(shù)和DDDf x yf x yDf x yf x yxoyf x yDf x yf x yDf x y3.二重積分的幾何意義第 69 頁二重積分的概念與性質(zhì)第七章 第六節(jié)2222222222:1.,1,1,1d ,:1.試以二重積分表示下列曲頂柱體的體積 旋轉(zhuǎn)拋物面與平面所構(gòu)成的鐘形體的體積由圖可見 該立體是以曲面為頂面上的圓所圍區(qū)域?yàn)榈椎那斨w 所以其中積分區(qū)域 為DzxyxOyzxyxOyxyVxyDxy 7.6.1例解第 70 頁二重積分的概念與性質(zhì)第七章 第六節(jié),(

51、, )d( , )d ()., ( , )( , )d ( , )d( , )d .常數(shù)因子可以提到積分號外 即為常數(shù)函數(shù)和、差的積分等于各個(gè)函數(shù)積分的和、差 即DDDDDkf x ykf x ykf x yg x yf x yg x y12性質(zhì)性質(zhì)二重積分的概念2第 71 頁二重積分的概念與性質(zhì)第七章 第六節(jié)1211212,(),( , )d( , )d( , )d .( , )1,dd.如果閉區(qū)域 被一條曲線分為兩個(gè)閉區(qū)域即如圖所示 則如果在區(qū)域 上有且 的面積為則DDDDDDD DDDDf x yf x yf x yDf x yD()34區(qū)域可加性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)第 72 頁二重積分的概念與性

52、質(zhì)第七章 第六節(jié)( , )( , ),( , ),( , )d( , )d .,( , ),( , )d.( , ),( , ),( , )d( , )若則設(shè) 分別是在有界閉區(qū)域 上的最大值和最小值是區(qū)域 的面積 則有不等式設(shè)在有界閉區(qū)域 上連續(xù)是區(qū)域 的面積 則在 上至少存在一點(diǎn)使得DDDDf x yg x yx yDf x yg x yMmf x yDDmf x yMf x yDDDf x yf ()()567估值定理二重積分的中值定理性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì).第 73 頁二重積分的概念與性質(zhì)第七章 第六節(jié) 222lndln d,1,0 , 1,1 , 2,0 .710,12.0lnln2ln1.ln

53、ln ,5:lndln d .37 d,:01,0比較二重積分與的大小 其中 是三角形閉區(qū)域 三頂點(diǎn)分別為如圖所示 在 上則所以由性質(zhì) 得估計(jì)二重積分的值 其中 為矩形閉區(qū)域DDDDDxyxyDDxyxyexyxyxyxyxyDx7.6.27.6.3例解例2.,73714,2,6:1437 d28.因?yàn)樵?上而 的面積由性質(zhì) 可得DyDxyDxy解第 74 頁二重積分的計(jì)算與應(yīng)用第七章 第七節(jié) 7.7.1 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 7.6 7.6 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì) 7.7.2 極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 7.7.3 二重積分的應(yīng)用第 75 頁二重積分的計(jì)算與應(yīng)用第七章

54、第七節(jié),( , ),.,(),dd d .( , )d( , )d d .( , )( , )0,由二重積分的定義可知 若在區(qū)域 上的二重積分存在 則二重積分的值與區(qū)域的分法無關(guān)因此 在直角坐標(biāo)系中 可以用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)把區(qū)域 分成若干個(gè)矩形小區(qū)域 如圖所示 則矩形小區(qū)域的面積并且可記為其二重積分可以寫成設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域 上連續(xù)且下面我們用微元法來iDDf x yDDDxyx yf x yf x yx yzf x yDf x y ( , )d d.計(jì)算二重積分所表示的曲頂柱體的體積Df x yx y直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算1第 76 頁二重積分的計(jì)算與應(yīng)用第七章 第七節(jié) 1212:,

55、( ),( ),:,.(712)., ,d, .,ddd .,( ,積分區(qū)域 由連續(xù)曲線圍成 即這樣的區(qū)域稱為型區(qū)域 如圖所示選 為積分變量 任取子區(qū)間過點(diǎn) 作垂直于 軸的平面 此平面截曲頂柱體得一截面 用表示該截面的面積 則曲頂柱體體積 的微元為據(jù)定積分知識 可得Dxa xb abyxyxDx yxyxaxbXxx xxa bxxA xVVVA xxVf x1.設(shè)積分區(qū)域 為型 DX )d dd .79baDyx yA xx第 77 頁二重積分的計(jì)算與應(yīng)用第七章 第七節(jié)21( )( ),;,.,.710()().( , )d dd( , )d以上公式把二重積分的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為兩次定積分的計(jì)算

56、 第一次積分時(shí) 把看作常數(shù) 對變量 積分 它的積分限一般地講是 的函數(shù) 第二次是對變量 積分 它的積分限是常量這種先對一個(gè)變量積分 然后再對另一個(gè)變量積分的方法 稱為累次積分法公式稱為先積也稱內(nèi)積分對后積也稱外積分對 的累次積分公式通常也可寫成bxaxDxyxxyyxxf x yx yxf x yy.711第 78 頁二重積分的計(jì)算與應(yīng)用第七章 第七節(jié) 211212( )( ):,( ),( ),:,().,( , )d d .712712,( , )d dd積分區(qū)域 由連續(xù)曲線圍成 即這樣的區(qū)域稱為型區(qū)域 如圖所示則用垂直于 軸的平面截曲頂柱體 可類似地得到曲頂柱體的體積公式稱為先積 后積

57、的累次積分公式 通常也可寫成dycyDDyc ydcdxyxyDx yyxycydYyVf x yxyxyf x yx y 2.設(shè)積分區(qū)域 為型 DY21( )( )( , )d713dycyyf x yx第 79 頁二重積分的計(jì)算與應(yīng)用第七章 第七節(jié) 21111212( )( )( )( )( , )( )( ),( , )d dd( , )dd( , )d .714714.( , )d d,如果 既是型區(qū)域又是型區(qū)域那么公式常用來交換二重積分的積分次序若二重積分的積分區(qū)域 比較復(fù)雜 這時(shí)可以用平bxdyaxcyDDDXx yxyx axbYx yyxycydf x yx yxf x yyy

58、f x yxf x yx yD.3一般積分區(qū)域的情況123(),XY,.,.行于 軸 或平行于 軸 的直線 把 分成若干個(gè)型、型的小區(qū)域 應(yīng)用二重積分區(qū)域可加性性質(zhì)上二重積分就是這些小區(qū)域上二重積分的和如圖所示的區(qū)域可以用平行于 軸的直線把 分割成三部分yxDDDyDD DD第 80 頁二重積分的計(jì)算與應(yīng)用第七章 第七節(jié) ( , )d d.2,.,1,10,02,0 .1(),0,1 ,01.0,1,2,試將化為兩種不同次序的累次積分其中積分區(qū)域 是由和 軸圍成首先畫出積分區(qū)域 的圖形 并求出邊界曲線的交點(diǎn)、及若視 為型 如圖所示 則將 投影到 軸上 得到投影區(qū)間即在上任意找一點(diǎn) 過 畫一條與

59、 軸平行的直線 該直線與區(qū)域 的邊界交于兩點(diǎn) 其橫坐標(biāo)分別為 即Df x yx yDyx yxxDDYDyyyyxDxyxyy7.7.1例解1202,2,01 ,( , )d dd( , )d . 所以有yyDxyDx yyxyyf x yx yyf x yx第 81 頁二重積分的計(jì)算與應(yīng)用第七章 第七節(jié) 1212122(),0,2 ,02.0,2,0,1 , 1,2,0,01 ,02,12 .( , )d d( , )d d( , )d d若視 為型 如圖所示 則將 投影到 軸上 得投影區(qū)間即在上任意找一點(diǎn) 過 畫一條與 軸平行的直線 我們發(fā)現(xiàn)該直線在不同的區(qū)間上與區(qū)域 的邊界的交點(diǎn)不同 因

60、此需將區(qū)域 分成和且所以DDDDXDxxxxyDDDDDx yyxxDx yyxxf x yx yf x yx yf x yx y1220010d( , )dd( , )d .xxxf x yyxf x yy第 82 頁二重積分的計(jì)算與應(yīng)用第七章 第七節(jié)2222102d d .(),0,1 ,01.0,1,.( , ),01.d2計(jì)算二重積分其中 為由直線與拋物線所圍成的區(qū)域作出區(qū)域 的草圖若視 為型 如圖所示 則將 投影到 軸上 得投影區(qū)間即在上任意找一點(diǎn)過 畫一條與 軸平行的直線 該直線與區(qū)域 的邊界交兩點(diǎn) 其縱坐標(biāo)分別為即所以原積分Dxyx yDyxyxDDXDxxxxyDyxyxxyx