1、專題三 數列 對于(1)，利用換元法求f(x)的最小值；對于(2)，利用數列單調性求S的范圍 2* ( )()161(sin3cos )()31 ( )122)1)31332.31)3429)00 f xxax ayfxx xRf xnnanNSf nf nnnSfnfn已知二次函數若函數的最大值為，求的最小值；【例】浙江當時，設，（，杭州第一求證：（次質檢R 22222sin3cos2sin()322.()24162024233111( )()( ).3991620242.3311( )()3 ( )( ) 19txxxxRtaaytattatyaaf xxf xatyaaf xx 最大值最

2、小值最大值令因為，所以所以，當，時，解得，此時，所以當，時，解得此時，1( ).91( ).9xf xf 最小值，所以綜上所述，的最小值時，為條件滿足 1313)1)31)3 )1111 2331321111( )2331321111(1)3434351111(1)( )-333435231 -3252nnnnSf nf nfnfnnnnnS nnnnnS nnnnnS nS nnnnnnn證明：（，設，則，10.(35)(2)nn ( )*47453( )1.6060411112331322134232222S nnNSS nSnnnnnSnSn所以在時單調遞增，所以又，所以，綜上有成立 第

3、(2)問的證明采用了數列的單調性，把函數的性質與數列結合在一起 11111*1 1()12()11.71112 2333()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnCxyCA xykCAxxyAxxxxbbxcbnNnNcc 【變式訓練 已知曲線 ：，過 上一點，作一斜率為的直線，交曲線 于另一點，點列的橫坐標構成數列，其中求 與的關系式；令，求證：數列是等比數列；若為非零整數，試確定 的值，使得對任意，都有】成立 211()11()221()211()1022122.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnA xyyyxxxxyyxxxxyxyxyxxxx xxxxx 依題意知，過點，且斜率

4、為的直線方程為，聯立，得方程組，消去 ，得，所以，即 111111111111233(2)323(2)2323(2)223232 11 2223 2 330232nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxbxxxbxxbxbbqxbcccc 所證明：，所以，由知，要使恒成立以是，的等即比數列恒成立，11111*1131( )23( )23( )11.23( )2333( )22232.10nnnnnnnnnnNcnc 即恒成立當 為奇數時，即恒成所以立又的最小值為，所，使以當 為偶數時，即恒成立又的最大值為，所以，即，又， 為整數得對任意，都有 21 (2)22( )3122 5 0%n

5、anannnan甲、乙兩大超市同時開業，第一年的全年銷售額均為 萬元，由于經營方式不同，甲超市前 年的總銷售額為萬元，乙超市第 年的銷售額比前一年的銷售額多萬元求甲、乙兩超市第 年銷售額的表達式；若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的銷售額的，則該超市將被另一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，將會出現在【例 】第幾年？ 根據條件，得出第n年銷售額，利用累加法求bn. 21221(2)(2)122(2)(1)(1)222(1) (1)(1) ( 12)nnnnnnnnnabnSaSnnnnaanaaaSSnnnanananna n故設甲、乙兩超市第 年銷售額分別為 ， ，又設甲

6、超市前 年總銷售額為 ，則，且時，所以當時，11112113212121*122( )3()()()222 ( )( )333222 232 1( )( )33321 ( )23 32 ( )23( ) ()3131nnnnnnnnnnnnbanbbabbbbbbbbaaaaaaanba nN 又因為，時，故，顯然也適故合， 2222333111512321913239243314212(1)32 ( )2322164 ( )74 ( )332nnnnnnnnaabaabnaabaabnaabanabnaann 故乙超市有當時，有，時，有，當時可能被收購，而，當時，令，則，即，即，112704

7、 ( )132*774 (37)nnnnNnn 即第 年乙超市的年銷售額不足甲超市的一又當時，故當，且半，乙超市將被甲超時，必有，市收購 用數列語言表述題意，完成建模過程，然后由累差法求得bn，易知bnbn，只需解不等式1/2anbn即可，而n=2,3時，單獨討論這種具體問題具體分析的能力是在復習中需要加強的【變式訓練】某企業投資1000萬元于一個高科技項目，每年可獲利25%.由于企業間競爭激烈，每年年底需要從利潤中取出資金200萬元進行科研、技術改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率，問經過多少年后，該項目資金可以達到或超過翻兩番(4倍)的目標？(取lg2=0.3)123*1111*111

8、25% -200()5-200.4551-(- )-444120080045-800(-800)()45-800 -8004nnnnnnnnnnnnaaaaaanNaaaxaxaaxxxaanNaa設該企業逐年的項目資金數依次為 ， ， ， ，則由已知得，即令，即，由，得，所以故是以為首項，為公比的等比數列1-11-1-11000 125% -20010505-800250-800250( ).45800250( )(*)4400055800250( )4000( )16445lglg161 3lg24lg2.4lg20.30.11.22.211nnnnnnnaaaanNannnn因為，所以，

9、所以所以由題意，所以，即，所以，即因為，所以，即經過年后，該項目資金可以達故到或超過翻兩番的目標 11111()22012212313.6(1)(1)2nnnnnnnnkkkanSanaSxyaSnkaa 設數列的前 項和為 ，且對任意正整數 ，點，在直線上求數列的通項公式；是否存在實數 ，使得數列為等差數列？若存在，求出 的值；若不存在，則說明理由求證：【例 】 (1)利用an=Sn-Sn-1消去Sn；(2)利用等差數列的定義an+1-an=d(d為常數)；(3)先求和，再利用函數的單調性證明不等式 111112121220.2220.1220(2)211,22.2 1( ).22111 n

10、nnnnnnnnnnnaSnaSaaaanaaaaaaa由題意可得，當時，得，因為，解得所以是首項為，公比為 的等比數列所以， 11232321311-122121-222322293252()4283937252()1.2.24248222222222221nnnnnnnnnSSnSSSSSSnSnnnS 因為，若為等差數列，則，成等差數列，即，解得又時，顯然成等差數列故存在實數，使方，得數列成法 ：等差數列1111-122121-212222 2ln (2).202.2222nnnnnnnnnnnSSnnlSSnnl因為，所以欲使成等差數列，故存方法 ：在實數，使得數列成等只須，即差數列

11、11-1111-12-11111(1)(1)(1)(1)2211 2 ()111122211()11(1)(1)1122111111()()()111111 11111122222112111 1212123kkkkkkknnkkkkkknnnnnaakaa 因為，所以，1111211)12112222121111212132212121.6(1)(122)xxxnnnknkknkaxay 又函數在，上為增函數，所以，所以， 若求證的不等式一邊可以看成是關于某個變量的函數關系，那么利用函數的單調性有時是解決問題的良好途徑 1112221232()()()135342112(01)nnnnnnn

12、nnnnnnP xyPxyP xynPyxPxPccccxncPDncD在直角坐標平面上有一點列， ，對一切正整數 ，點 位于函數的圖象上，且 的橫坐標構成以為首項， 為公差的等差數列求點 的坐標；設拋物線列 ， ， ， ， 中的每一條的對稱軸都垂直于 軸，第 條拋物線 的頂點為 ，且過點，設與【變式訓拋物線 相切】于練 的直12231.111nnnkk kk kkk線的斜率為求的值； 11032,* |4*265125nnnnnSx xx nNTy yynNaaSTaSTaa 設，等差數列的任一項，其中 是中的最大數，求的通項公式 53 (1)1221353341435(3)24nnnnxn

13、nPnnyxn ，所，以，所以 22220112231.23125()2(01)1(23)1.|2311111(),(21)(23)2 212311111111(2)()25779nnnnnnnnnxnnnncxPnncya xDnacyxnxnkynkknnnnk kk kkk 因為 的對稱軸垂直于 軸，且頂點為所以設 的方程為，把，代入上式，得，所以 的方程為，所以所以111 11()().21232 511104623nnnn 110 |(23)* |(125)* |2(61)3*717.179( 265125)24812912 (24 ()3*)24*nnnSx xnnNTy ynnNy ynnNSTTTaadaddaTan ndm mNdN ，所以， 中最大數設數列的公差為 ，則，由此得，又因為，所所，所以以，以1數列的定義與性質，通項的求法，求和的常用方法等是數列綜合應用的基礎2以函數、