1、考研數學考點與題型歸類分析總結1高數部分1.1 高數第一章函數、極限、連續求極限題最常用的解題方向:1.利用等價無窮小;k'SiiUL,xtanx, xonctaiu xlrUl+nhc1 - - x2.利用洛必達法則0型和一型直接用洛必達法則00 0 ：0、：-、1 型先轉化為一型或一型，再使用洛比達法則;0 03.利用重要極限，包括xUmsn;lima(1 X)lim(1 £_e ；X J：:1#4.夾逼定理。1.2 高數第二章導數與微分、第三章不定積分、第四章定積分第三章不定積分提醒： 不定積分.f (x)dx二F(x) C中的積分常數 C容易被忽略，而考試時如 果在答

2、案中少寫這個 C會失一分。所以可以這樣加深印象：定積分 .f(x)dx的結果可以寫為 F(x)+1 , 1 指的就是那一分，把它折彎后就是 .f (x)dx = F(x) C中的那個c,漏掉了 C也就漏掉了這1分。第四章定積分及廣義積分解題的關鍵除了運用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差 異一一出題人在定積分題目中首先可能在積分上下限上做文章:aa對于J f (x)dx型定積分，若f(x)是奇函數則有J f (x)dx=0 ；33aa若f(x)為偶函數則有.f (x)dx=2 f (x)dx ；31t = x的代換是常用方法。20對于.0 f(x)dx型積分，f(x) 一般含三角函數

3、，此時用 所以解這一部分題的思路應該是先看是否能從積分上下限中入手，對于對稱區間上的積分要同時考慮到利aaa用變量替換x=-u和利用性質.a奇函數=0、.a偶函數=2。偶函數。在處理完積分上下限的問題后就 使用第三章不定積分的套路化方法求解。這種思路對于證明定積分等式的題目 也同樣有效。1.3 高數第五章中值定理的證明技巧用以下邏輯公式來 作模型：假如有 邏輯推導公式 A= E、(A B)= C、(C D E)= F,由這樣一組邏輯關系可以構造出若干難易程度不等的證明題，其中一個可以是這樣的：條件給出A、B、D，求證F。為了證明F成立可以從條件、 結論兩個方向入手， 我們把從條件入手證明稱之為

4、正方向，把從結論入手證明稱之為反方向。正方向入手時可能遇到的問題有以下幾類:1已知的邏輯推導公式太多，難以從中找出有用的一個。如對于證明F成立必備邏輯公式中的 A= E就可能有A= H、A= (I K)、(A B) = M等等公式同時存 在，有的邏輯公式看起來最有可能用到，如(A B) = M，因為其中涉及了題目所給的 3個條件中的2個,但這恰恰走不通；2.對于解題必須的關鍵邏輯推導關系不清楚，在該用到的時候想不起來或者弄錯。如對于模型中的(A B) = C,如果不知道或弄錯則一定無法得出結論。反方向入手證明時也會遇到同樣的問題。通過對這個模型的分析可以看出，對可用知識點掌握的不牢固、不熟練和

5、無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。so，解證明題時其一要靈活，在一條思路走不通時必須迅速轉換思路，而不應該再從頭開始反復地想 自己的這條思路是不是哪里出了問題；另外更重要的一點是如何從題目中盡可能多地獲取信息。“盡可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同時出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結論”中獲取信息有時也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做題時一開始就想到了公式(C D E) =' F再倒推想到 (A B) =' C、 A二E就可以證明了。如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發型”的證明題，那么主要靠“倒推結論

6、”入手的“結論啟發型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現。其中的規律性很明顯，甚至可以以表格的 形式表示出來。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型：條件欲證結論可用定理A關于閉區間上的連續函數，存在一個E滿介值定理(結論部分為：存在一個使得f(引k)常常是只有連續性已知足某個式子零值定理(結論部分為：存在一個E使得f (g) 0)B存在一個E滿費馬定理(結論部分為：f(勺)=0)足f(n)偲=0羅爾定理(結論部分為：存在一個E使得f(g) 一 0)條件包括函數在閉區間上連續、在開區間上可導存在一個名滿中 £ (n)足 f (0 =k拉格朗日中值定理(結論部分為：存在一個E使得f

7、f(b)f(a)%) 一b-a)C柯西中值定理(結論部分為：存在一個名使得f(2f(b)(a)-g(b)_g(a)丿g(忌另還常用構造輔助函數法，轉化為費馬或羅爾定理。面對這一部分的題目時， 如果把欲證結論與可能用到的幾個定理的的結論作一比較，會比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處一一so要“牢記定理的結論部分”。綜上所述，針對包括中值定理證明在內的證明題的大策略應該是“盡一切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結論的提示作用，正推和倒推相結合；同時保持清醒理智，降 低出錯的可能”。不過僅僅弄明白這些離實戰要求還差得很遠，因為在實戰中證明題難就難在答案中用到的 變形

8、轉換技巧、性質甚至定理我們當時想不到；我們需要做的就是靠足量、高效的練習來透徹掌握定理性 質及熟練運用各種變形轉換技巧，最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解決。1.4 高數第六章常微分方程歷年真題中對于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現的，也經常以大題的形式出現，一般是通過函數在某點處的切線、法線、積分方程等問題來引出；從歷年考察情況和大綱要求來看，高階部分不 太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很復雜。解題套路：“辨明類型T套用對應方法求解”先討論一階方程部分。這一部分結構清晰，對于各種方程的通式必須牢記，還要能夠對易混淆的題目做出準確判斷。各種類型的方法最后的目的

9、都是統一的，就是把以各種形式出現的方程都化為 f(x)dx=f(y)dy的形式，再積分得到答案。對于可分離變量型方程fi(x)gi(y)dx +f2(x)g2(y)dy =0變形為fl(x)dx二g2(y)dy，再積分求解 f2 (x)gi(y)齊次方程y - f (x)y* du做變量替換u = ，則y化為u x dx原方程就化為關于 u 和 x的可分離變量方程，變形積分即可解對于一階線性方程 y + p(x) y = q(x)y = Ce Jp(xF ( Je卜 q(x )dx+C )全微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy遜jN因為其有條件矽次，而且解題時直接套用通解公式xyf M

10、(x, y°)dx+ J N(x, y )dy = C.x0y0所以，對于一階方程的解法有規律可循，不用死記硬背步驟和最后結果公式。對于求解可降階的高階方程也有類似的規律。對于y(n)二f (x)型方程，就是先把 y(n4當作未知函(n)”(n -2)(n-3)數乙則 y('二Z 原方程就化為 dz二f (x)dx的一階方程形式，積分即得；再對y 、依次做上述處理即可求解；W r /FFnry二f(x, y)叫不顯含y的二階方程，解法是通過變量替換y = p、y二p (p為x的函數)將原方程化為一階方程；y、f (y,y )叫不顯含x的二階方程，變量替換也是令 ，二p (但此

11、中的p” dp dydp-為y的函數)，貝y y = dy dx = pdy pp，也可化為一階形式。y所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換_ U ”，“求解貝努利方程1 ny p(x)y二q(x) yn就用變量替換 z = y”一樣，在這里也要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換y = p、y二p ”、“求解不顯含x的二階方程就用變量替換 y = p、y = pp ”。大綱對于高階方程部分的要求不高，只需記住相應的公式即可。其中二階線性微分方程解的結構定理與線性代數中線性方程組解的結構定理非常相似，可以對比記憶:若yi(x)、y2 (x)是齊次方程y" +

12、p(x) y"十q(x) y = 0的兩個線性無關的特解，則該齊次方程的通解為 ®(x) =Ci%(x) +qy2(x)右齊次方程組Ax=0的基礎解系有(n-r)個線性無 關的解向量，則齊次方程組的通解為xkpi + k?y2 + " ky.一非齊次方程y + p(x)y +q(x)y f(x)的通 解為 y = Ciy!(x)+ c2y2(x)+yf(x)，其中 y(x) 是非齊次方程的一個特解， Ci yi (x) + C2 y2(x)是 對應齊次方程y +p(x)y +q(x)y0的通解非齊次方程組Ax=b的一個通解等于 Ax-b的一個特解與其導出組齊次方程

13、Ax=0的通解之和若非齊次方程有兩個特解 yi( 成“ f(t)dt =s”的形式，在兩邊求導得到微分方程后套用相關方程的對應解法求解。*a對于導數應用，有以下一些小知識點：1.禾U用導數判斷函數的單調性和研究極、最值。其中判斷函數增減性可用定義法或求導判斷，判定極、最值時則須注意以下兩點：A.極值的定義是：對于X。的鄰域內異于 Xo的任一點都有f (x) > f (Xo)或f (x) V f(x0)，注意是或v而不是或w；B.極值點包括圖1、圖2兩種可能，) y2(x)，則對應齊次方程的一個解為 y(x) _ yi(x) _ y2(x)若i、2是方程組Ax-b的兩個特解，則(i -2

14、)是其對應齊次方程組 Ax-0的解可以說本章難就難在記憶量大上。1.5 高數第七章一元微積分的應用本章包括導數應用與定積分應用兩部分，其中導數應用在大題中出現較少，而且一般不是題目的考察重點；而定積分的應用在歷年真題的大題中經常出現，常與常微分方程結合。典型的構題方式是利用變區x間上的面積、體積引出積分方程，一般需要把積分方程中的變上限積分f(t)dt單獨分離到方程的一端形'-a所以只有在f（X）在X0處可導且在Xo處取極值時才有 f（X）二0。討論方程根的情況。這一部分常用定理有零點定理（結論部分為fq =0 ）、羅爾定理（結論部分為f（：=0）；常用到構造輔助函數法；在作題時，畫輔

15、助圖會起到很好的作用，尤其是對于討論方程根 個數的題目，結合函數圖象會比較容易判斷。2.理解區分函數圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件：A.若函數f（X）在 區間I上的f（X）”： 0，貝U f （x）在I上是凸的；若f （x）在I上的f （x） 0，則f （x）在I上是凹的；B若 f（x）在點 X0處有 f（x） =0且 f“（X0）= 0，則當（X。）”： 0時 f（x°）為極大值，當 f”（x。）-0 時f （x°）為極小值。其中，A是判斷函數凸凹性的充要條件， 根據導數定義，f（X）是f（X）的變化率，f （x）是（X） 的變化率。f（x） 0可以說明函數是增函

16、數；f （x） < 0可以說明函數f（x）的變化率在區間I上是遞減的，包括以下兩種可能：8#同樣，f （x） 0也只有兩種對應圖像:#所以，當f "(X)： 0時，對應的函數圖像，是凸的;當(x) 0時，對應的函數圖像，是凹的。相比之下，判斷函數極大極小值的充分條件 比判斷函數凸凹性的充要條件多了“f(x)二0且(X)f “(X。)式0”，這從圖像上也很容易理解：滿足f "(x) v 0的圖像必是凸的，即，當f(x)= 0且f “(Xo) = 0時不就一定是j*的情況嗎。對于定積分的應用部分，首先需要對微元法熟練掌握。關于定積分的應用，以下補充列出了定積分各種應用的公

17、式表格:求平面圖形面積求旋轉體體積(可用微元法也可用公式)bs f(x)dx*ab 2繞x軸旋轉體的體積 Vxf (x) dx，"ab繞y軸旋轉體得體積Vy二2-xf (x)dx_a繞x軸旋轉體的體積Vx=jrj f22(x) _f；(x)dx，繞y軸旋轉體得體積Vy =2二f2 (xf1 (x)dx已知平行截面面積求立體體積bV s(x)dxa求平面曲線的弧長101.6 高數第八章無窮級數本章在考研真題中最頻繁出現的題型包括“判斷級數斂散性”、“級數求和函數”和“函數的幕級數展開”。其中判斂是大、小題都常考的，在大題中一般作為第一問出現，求和與展開則都是大題。對于級數判斂部分，主要

18、用的方法是比較法、級數斂散性的定義和四則運算性質。其中比較判斂法有 一般形式和極限形式，使用比較判斂法一般形式有以下典型例子：1.已知級數a2n收斂，判斷級數 V 史 的斂散性。其判斂過程的核心是找到不等式<n U；n|囲（an &）,再應用比較法的一般形式即可判明。其實這種“知一判一”式的題目是有局限性的一 若已知級數收斂，則所要求判斂的級數只能也是收斂的，因為只有“小于收斂級數的級數必收斂”這一 條規則可用，若待判斂級數大于已知收斂級數，則結果無法判定。所以考研真題中一般只會出成選擇題“已知某級數收斂，則下列級數中收斂的是（）”。2 .上一種題型是“知一判一”，下面的例子則是

19、給出級數某些性質要求判斷斂散性，方法是通過不 等式放縮與那些已知斂散性的級數建立起聯系，再應用比較法一般形式判斷。舉例如下：已知單調遞減數 列an滿足liman二a, a 0，判斷級數（詁"n的斂散性。關鍵步驟是：由1得到X-0"（右）n %占）“，再利用比較判斂法的一般形式即得。對于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會超出“知一判一”和“知性質判斂”這兩種形式。幕級數求和函數與函數的幕級數展開問題是重點內容，也是每年都有的必考題。在復習過程中對于具有“淺看復雜、深究簡單、思路巧妙、出法靈活”的知識點要倍加注意，對于無窮級數這樣必出大題的章 節中間的“求和、展開”這樣必出

20、大題的知識點，更是要緊抓不放。因為這種知識點對“復習時間投入量” 的要求接近于一個定值，認認真真搞明白以后，只要接著做適量的題目鞏固就行了，有點“一次投入，終 生受益”的意思，花時間來掌握很劃算。另外，“求和與展開”的簡單之處還在于：達到熟練做題程度以后會發現其大有規律可循。這種規律 是建立在對6個關鍵的函數展開式“熟之又熟”的掌握上的。對此6個展開式的掌握必須像掌握重要定理一樣，對條件、等式的左端和右端都要牢牢記住，不但要一見到三者中的任意一個就能立刻寫出其他兩部 分，而且要能夠區別相似公式，將出錯概率降到最小。公式如下：1. 代二1 U 亠 亠 二、un ( -1，1)n蘭oO1., 2八

21、 nn.lx 八 nn2. 訐=1 - U +u -U + +(-1) U + 二送(一1) U( -1，1)n=03.1 n(1u)=u-；u 3_(11)爲.1 u' (1) n 1 (二廠二)n -0od4. eu =1 +u +骯2 + +召un + =£ 烏 (一=°,+處)n =03C-1 2丄丄/ 八n 12n41丄寸 / 八u2n +5. sin u = u - 3! u(- 0 (2n 1)! u=( T) (2n 1)!(：，：)n=0od1214n 1 2nn u2n6. COSu=1u +4!u 1)碩u + 一 =無(1)碩 (亠廣之)這六

22、個公式可以分為兩個部分，前3個相互關聯，后3個相互關聯。1式是第一部分式子的基礎。1 u u不就是一個無窮等比數列嗎，在|u卜:1時的1 1求和公式S=匕正是函數展開式的左端。所以這個式子最好記，以此為出發點看式子2 : 1式左端是，1nn°02式左端是 喬u ； 1式右端是J，2式右端也僅僅是變成了交錯級數7 (_1)nun ,故可以通過這種比較來n £n £A記憶式子2 ；對于3式來說，公式左端的In(1 u)與2式左端的 訂 存在著關系“ In(1 u)二代”，Q0故由 丘 的展開式可以推導出In(1 +u)的展開式為 云(-1)n需。這三個式子中的 涉，相

23、互之間存在n=0著上述的清晰聯系。后3個式子的u ( ： /：)，相互之間的聯系主要在于公式右端展開式形式上的相似性。這一部分的基本式是公式4:0Q0u unn 2 n 1eun?與之相比，sinu的展開式是' (-1) (2n 1!， cosu的展開式是n =0n=0n 2nuu(-1)n (2n)!。一個可看成是將e展開式中的奇數項變成交錯級數得到的，一個可看成是將e展開式中n £的偶數項變成交錯級數而得到。像這樣從“形似”上掌握不費腦子，但要冒記混淆的危險，但此處恰好都是比較順的搭配：sinu、cosu習慣上說“正余弦”，先正后余；而sinu的展開式對應的是奇數項，co

24、su的展開式對應的是偶數項，習慣上也是說“奇偶性”，先奇后偶。在已知幕級數求和函數時，最佳途徑是根據各個公式右端的形式來選定公式：第一部分（前3式）的展1開式都不帶階乘，其中只有 口的展開式不是交錯級數；第二部分（后 3式）的展開式都帶階乘，其中只有eu的展開式不是交錯級數。由題目給出的幕級數的形式就可以看個八九不離十了，比如給出的幕級數帶階乘而不是交錯級數，則應該用公式4，因為幕級數的變形變不掉階乘和 （-1）n ；若題目給出的幕級數不帶階乘而且是交錯級數，則必從 2、3兩式中選擇公式，其它情況也類似。對于函數的幕級數展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手，相對來說更為簡單。在判

25、斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數的幕級數展開）、四則運算（用于展開、求和）、逐項微積分（用于展開、求和）對于數項級數求和的題目，主要方法是構造幕級數法，即利用變換£ an =lim£ anxn求得幕級數oO、anXn的和函數s（x）以后代入極限式即可。其中的關鍵步驟是選擇適當的xn，一般情況下如果n、（2n -1）n 0這樣的項在分子中，則應該先用逐項積分再用逐項求導，此時的xn應為x（J的形式，如x（n）A、x（2n），以方便先積分；若題目有莎石、厲R這樣的項，貝yxn應為x（J的形式，如x（2nJ）、x（3n&#

26、39;1），便于先求導。這些經驗在做一定量的題目后就會得到。1.7 高數第十章多元函數微分學復習本章內容時可以先將多元函數各知識點與一元函數對應部分作對比，這樣做即可以將相似知識點區別開以避免混淆，又可以通過與一元函數的對比來促進對二元函數某些地方的理解。二元函數相似一元函數二元函數的極限要求點日（x,y）以任何方向、任何路徑趨向p（xo, y。）時均有一元函數的極限與路徑無關，極限不同由等價式 忸f（X）二A即可判斷。ximjo f (x, y) f (x, y) t A( xt xo、yT y。)。如果沿不同路徑的f (xo 4(xo Alim f (x, y) xo0不相等，則可斷定不存

27、在。連續性二元函數z = f (x, y)在點P(xo, y0)處連續性判斷條件為：lim f(x, y)存在且等于 f(xo,yo)yP相似一元函數y = f (x)在點X。處連續性判斷條件為ximi f (x)且等于f兇)(偏)導數二元函數 z=f(x,y)的偏導數定義：|im 庫 |im f (xp+g,y°) _f(xp, y°)分段函數在分界點處求偏導數要用偏導數的定義相似一元函數y = f (x)的導數定義：內f (x0 + 蟲)_f (x0 )Ijm lim分段函數在分界點處求導數需要用導數定義全微分簡化定義為：對于函數Z = f (x, y)，若其在點P(x

28、p, yp)處的增量心z 可表示為Az = A也x十By + o( P)，其中o(巴為P的高階無 窮小，則函數f (x, y)在P(xp, yp)處可微，全微分為AAx + By， 一般有dz =晉dx +嚕dy相似簡化定義為：若函數y = f (x)在點x處的增 量右y可表示為也y = Ax + d，其中d是x的高階無窮小，則函數在該點可微，即dy = AAx，般有 dy = f "(x)dx可微、 可導、 連續連續可導 /可微不同連續一可導 /可微全導數設 z = f(u,v,w)，U=g(t)，V=h(t)，w = k(t)且都可導， 則z對t的全導數dz苕du +凸dv+廳d

29、wdtSu dttV dttw dt不同一元函數沒有“全導數”這個概念，但是左邊多元 函數的全導數其實可以從“一元復合函數”的角度 理解。一元復合函數是指y = f (u)、u = g(x)時 有dy ”dydu。與左邊的多元函數全導數公式比較dx -du dx就可以將二式統一起來。復合函數微分法鏈式求導相似一元復合函數求導公式如上格所示，與多元復合函 數求導公式相似，只需分清式子中 衛z與養 的不dx &同即可隱函數微分法求由方程F(x, y,z) =0確定的隱含數Z =Z(x, y)的偏導數，可用公式：zFx(x,y,z)，奩Fy(x,y,z)&Fz(x, y,z)住Fz(

30、x, y, z)r對于由方程組* F(X, y,z) =0確定的隱含數y =y(x)、z = z(x)可套用 G(x, y, z) =0方程組 f/+Fz =0y dxdxGx"乜；乎4Gz"dz =0Ldxdx不僅“形 似” 且在 相當 大程 度上 相通一元復合函數、參數方程微分法對一元隱函數求導常采用兩種方法：1. 公式史fx(x, y)dxF；(x, y)2. 將y視為x的函數，在方程兩邊同時對x求導一元參數方程微分法：若有|x=x(t)則dy y (t) y =y(t) dx x"(t)極值極值定義：函數z = f (x, y)在點P(x0,y0)的鄰域內

31、有定義，且對于其中異于p點的任一點Q(x, y)，恒有f (x, y) >f (x0,y0)或相似極值定義：函數y = f(x)在點x0的鄰域內有定義且對于其中異于該點的任一點恒有f (x, y) < f (x0,y0)，則稱 f (x0, y0)為 f (x,y)的極小/大值，方程 組：fx(x, y) =Q的解稱為函數的駐點。f(x, y)山f (x) >f(x° ) 或 f(x) £f(x°)，則稱 f(x ) 為y = f (x)的極小/大值，方程f "(x) = 0的 解稱為函數的駐點。函數z = f (x, y)在點P(x0

32、, y0)的鄰域內有連續二階偏導，且滿足函數y = f (x)在點x0的鄰域內可導，且滿足2fxy。)=0' fylx。)4、fx,(X0,y0)fxTx0,y0)f,(X0,y0)>0，取極值f (x) =0、f "(x)H 0，則：的充分若 fx(x0,y0)>0或 fy"(X0,y0)>0則 P(x°,y0)為極小值點；相似條件若 fx(xo,y°) c0或 fy“(x°, y°) v0則 P(x°, y°)為極大值點。若f "(x) > 0，則f (x0)為極小值；

33、大綱對于多元函數條件極值的要求為“會用拉格朗日乘數法求條件極值”，是若f "(x) V 0，貝U f (x0)為極小值一種比較簡單而且程式化的方法。一元函數則無對應的內容。1.8 高數第十章重積分大綱對于本章的要求只有兩句：1.理解二重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定 理。2掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)在做二重積分的題時常用的是更換積分次序的方法與幾個變換技巧2 線性代數部分2.1線代這門課的特點線性代數與高數和概率相比，特點之一是知識點比較細碎。如矩陣部分涉及到了各種類型的性質和關系， 記憶量大而且容易混淆的地方較多；但線代更重要的特點在于知識點間的

34、聯系性很強。這種聯系不僅僅是 指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關知識，更重要的是在于不同章節中各種性質、定理、判定 法則之間有著相互推導和前后印證的關系。所以我們在復習線代的策略中，有必要考慮一下怎樣才能做到“融會貫通”。“融會”可以理解為設法找到不同知識點之間的內在相通之處；“貫通”可以理解為掌握前后知識點之間的順承關系。這樣做的目的就在于一一當看到題目的條件和結論、推測出其中涉及到的知識點時立刻就能想到與之有關聯的其他知識 點隊列，從而大大提高解題效率、增加得分勝算。出題專家在編制題目時常常利用這些聯系將兩部分的內容結合起來出題，比如在歷年真題中出現頻率很高的性質“齊次方程組是否有

35、零解對應于A的列向量組是否線性相關；非齊次方程組Ax=b是否有解對應于向量 b 是否可由 A 的列向量線性表示”。再如一個貌似考察向量組線性無關的題目，做起來以后才發現實際考的是矩陣秩或行列式的內容，題眼就在于性質“方陣 A可逆 |A|=0 A的列向量組線性無關r（A）=n ”，依靠這一性質建立起了線性無關和矩陣秩兩個知識點間的聯系。2.2 線代第一章行列式、第二章矩陣第一章行列式、第二章矩陣是線性代數中的基礎章節，有必要熟練掌握。第一章行列式的核心內容是求行列式（具體行列式的計算低階 n階<應用行列式按行列展開定理化為上下三角行列式求解行列式的定義、|A|=花'注、行列式的性質

36、抽象行列式的計算考點不在求行列式，而在于 A、A”、A-1等的相關性質第二章矩陣中的知識點很細碎，但好在每個小知識點包括的內容都不多，沒有什么深度。由歷年考研真題可見，矩陣部分出題很靈活，頻繁出現的知識點包括矩陣運算的運算規律、AT、A、AJ的性質、矩陣可逆的判定條件、矩陣秩的性質、某些結構特殊的矩陣和矩陣初等變換技巧等。所以復習本章的難度主要在于如何保證復習的全面細致，一些做題時用到的性質和方法結合具體的題目就題論題才有最佳的效果:行列式性質特征值性質（人為矩陣A的特征值）運算性質秩的性質轉置矩陣at|AT Fl A|T T(A ) =A(kA)T =kAT(AB)t =BtAt(a+b)t

37、 =bt + atr(AT) = r(A) r(AT) =r(ATA) r(ATA) =r(A)逆矩陣A丄1八111I A 1 |A|有特征值丄伴隨矩陣A*|a%a有特征值|A|at、A*、A-三者之間有一個即好記又好用的性質 （AT）-=（A-）T（A*p=（A 丄）* （at）*=（a*）t"n. r(A) = n r(Aj =<1. r(A) = n 1O.r(A)< n_1數乘矩陣kA、矩陣之積AB及矩陣之和A + B|kAknAI AB 冃 A|B|kA有特征值kh，aA+bE有特征值a& +br(A + B)蘭 r(A) +r(B) r(AB)蘭 mi

38、nr(A), r(B) AB=O 則有：r(A)+r(B)n 若A可逆則有r(AB)=r(B)；同樣，若B可逆則有r(AB) = r(A)2.3 線代第三章向量、第四章線性方程組線代第三章向量、第四章線性方程組是整個線性代數部分的核心內容，相比之下，前兩章行 列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節，后兩章特征值、特征向量、二次型的內容則相對獨立，可以看作是對第三、四章核心內容的擴展。向量與線性方程組兩章的內容聯系很密切，很多知識點相互之間都有或明或暗的相關性。復習這兩章 最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內在聯系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理

39、解, 同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。解線性方程組可以看作是這兩章內容的出發點和目標。線性方程組anX1Q2X2aXn 二 ba21x1a22x2a2nx b?的系數am1X1 am2X2 amnx = bn矩陣是m行n列的，其有兩種形式，一種是矩陣形式Ax二b ；其中A是系數矩陣a11a21ai2a22ain Ia2 n;另一種是向量形式x1a1 ' x2a2xnan = b，其中aia.a2i =1,2 n。am1am2bn19#向量就這樣被引入了。#x-ia-i x2a2 宀山xnan=O 可以先討論其次線性方程組與線性相關、無關的聯系。齊次線性方程組 直接看出是一定有解的，因

40、為當 為=x2二=xn =0式等式一定成立，印證了第三章向量部分的一條性 質“ 0向量可由任何向量線性表示”，即當2 k-a- k?a2亠 亠k“an中的一：=0時一定存在一組數 k1,k kn使等式成立，至少在 k全為0時可以滿足。齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：1.有唯一零解；2.有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式x-a- x2ax“an =0中的醬只能全為0才能使等式成立，而第三章向量部分中判斷向量組a-,a an是否線性相關 無關也正是由這個等式定義出的。線性相關的定義為：設 a-,a an為一組向量，如果存在一組不為零的數k1, kkn使得等式k-a- k?a

41、2，knan = 0成立，則稱向量組 a-,a2a.線性相關；如果等式當且僅當k-二k?二二心=0時成立，則稱向量組a-,a an線性無關。故向量與線性方程組在此又產生了聯系：齊次線性方程組 Ax二0是否有非零解對應于系數矩陣 A的列向量組是否線性相關。假如線性相關 無關的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的，那同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是“極大線性無關組中的向量個數”，向量組a-,a an組成的矩陣A有r(A) =n說明向量組的極大線性無關組中有n個向量，即a-,a2 a*線性無關，也即等式k-a- +k2a2 + ""kn

42、an =0只有0解。所以，經過“秩卜線性相關無關宀線性方程組解的判定”帀邏輯鏈條，由r(A)=門就可以判定齊次方程組 x-a- X2a2亠 亠x“an =0只有0解。當r(A): n時，按照 齊次線性方程組解的判定法則，此時有非零解，且有n-r個線性無關的解向量。這又與另一條性質相和：如果齊次線性方程組方程個數小于未知量個數則必有非零解。若方程組Ax = 0的系數矩陣是 m行n列的,則方程個數小于未知量個數時有m<n ；因為矩陣的秩等于行秩也等于列秩，所以必有|r(A)空m空n，根據齊次方程組解的判定定理有非零解。對于非齊次方程組來說，其解的判定定理與 “線性表示”的概念前后聯系：非齊次

43、方程組 Ax = b是否有解對應于向量b是否可由A的列向量線性表示。線性表示的定義為：對于向量組a-,a an若存在一組數kk2kn使等式kiai kza?亠亠k.an =b成立，則稱向量 b可由向量組aa2a“線性表示。而使上述等式成立的 ki就是非齊次方程組 Ax二b的解，故齊次方程組有性質“齊次線性方程組 Ax =0是 否由非零解對應于系數矩陣 A的列向量組是否線性向關”,非齊次方程組也由對應性質“非齊次線性方程組 Ax二b是否有解對應于向量 b是否可由的列向量線性表示”。當非齊次線性方程組 Ax二b與對應齊次線 性方程組Ax =0滿足r(A) =r(A)二n時，根據線性方程組解的判定法

44、則，齊次方程組有零解， 非齊次方程組有唯一解。這一點也正好印證了一個重要定理：“若ai,a2 an線性無關，而ai,a an,b線性相關，則向量b可由向量組aa2an線性表示，且表示方法唯一”。以上討論了線性相關、線性表示的概念與齊次、非齊次線性方程組之間的內在聯系，這樣做不僅僅是為了透徹理解知識點，更是為了有效應對考試題。線代部分的題目難就難在考點的跨度大，而我們如果僅僅掌握零散知識點，那怕對這些孤立的點掌握的再透徹，在作題時也會被題目給弄的暈頭轉向。矩陣t線性方程組t向量解T線性相關/無關T秩三個雙重定義：1. 秩的定義a矩陣秩的定義：矩陣中非零子式的最高階數b.向量組秩定義：向量組的極大

45、線性無關組中的向量個數2. 線性相關無關的定義：a. 對于一組向量ai an,若存在不全為零的數 ki,k2 kn使得k1a1 k2a 亠knan =0成立，則相量組線性相關，否則向量組線性無關，即上述等式當且僅當ki全為0時才成立。b. 向量組ai,a2a.線性相關 向量組中至少存在一個向量可由其余n-1個向量線性表出；線性無關向量組中沒有一個向量可由其余的向量線性表出。2. 線性方程組的兩種形式：a. 矩陣形式：Ax = bb. 向量形式： x)a1 X2a2亠 亠xnan二b兩條性質:1.對于方陣An翅有：方陣A可逆 存在方陣B使得AB=BA = E | A£ 0 A的行列向量

46、組均線Ax = 0僅有零解，Ax = b有唯一解。性無關 r(A) =n Ax=b可由克拉默法則判斷有唯一解，而Ax = O僅有零解。對一般矩陣A咖則有：r( A) = n A的列向量組線性無關2齊次線性方程組Ax =0是否有非零解對應于系數矩陣A的列向量組是否線性相關，而非齊次線性方程組Ax =b是否有解對應于b是否可以由A的列向量組線性表出。以上兩條性質可視為是將線性相關、行列式、秩、線性方程組幾部分知識聯系在一起的橋梁:行列式線性相關性質1中的“|A|豐0 A的列向量組線性無關”一線性方程組性質222#性質1中的“ r(A)=n A的列向量組線性無關”另外，線性代數部分在考試時會經常直接

47、考一些“雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推 論推導出來”的性質和結論，所以有必要擴大一些知識面，說不定在考試時就會有意外收獲:1. 一個線性無關的向量組不可能由一個所含向量個數比它少的向量組線性表示。如果向量組aa2am可由向量組 匚、冷線性表示，則有r1,a2am) - r(r,“用n)。等價的向量組具有 相同的秩，但不一定有相同個數的向量;任何一個向量組都與它的極大線性無關組等價。2.常見的線性無關組：齊次方程組的一個基礎解系;_01010、 1、0這樣的單位向量組；不同特征值對應的特征向量。3. 關于秩的一些結論:r(Am n) min m, n；r(A ) =1= r(A)

48、= n -1 ；r(AT) =r(A) =r(ATA)；r(AB)乞 min r(A), r(B)；r(A B)汀(A) r(B)；若有 Am n、Bns滿足 AB=O，則 r(A) r(Bp n ;若A是可逆矩陣則有r(AB)寸(B)；同樣若B可逆則有r(AB) =r(A)。非齊次線性方程組 Ax二b有唯一解則對應齊次方程組Ax =0僅有零解，若Ax = b有無窮多解則 Ax = 0有非零解；若 Ax二b有兩個不同的解則 Ax = 0有非零解；若A是m n矩陣而r(A)二m則Ax二b 定有解，而且當m = n時是唯一解，當m”：n時是無窮多解， 而若r(A)二n則Ax二b沒有解或有唯一解。2

49、.4 線代第五章特征值和特征向量相對于前兩章來說，本章不是線性代數這門課的理論重點，但卻是一個考試重點，歷年考研真題都有 相關題目，而且最有可能是綜合性的大題。特征值和特征向量之所以會得到如此青睞，大概是因為解決相關題目要用到線代中的大量內容一一即有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關，“牽一發而動全身”；著重考察這樣的知識點，在保證了考察面廣的同時又有較大的出題靈活性。本章知識要點如下：1.特征值和特征向量的 定義及計算方法。記牢一系列公式如 Ax =(x = 0)、，x - Ax = 0、( E - A)x = 0 和 | '-A 尸 0。歷年真題中常用到下列性質：若n階矩陣A有n

50、個特征值'1 '2n ，則有|AF'i2-'n；2i2若矩陣A有特征值1，則kA、A、aA bE、f (A)、A -、A”分別有特征值 k、 . a- b、f()、丄.LAI，且對應特征向量等于所對應的特征向量，而若'1、2分別為矩陣a、b的特征值，則不一定為A B的特征值。2. 相似矩陣及其性質。定義式為 |b二PAP，需要區分矩陣的相似、等價與合同：矩陣A與矩陣B等價(A = B )的定義式是PAQ =B，其中P、Q為可逆矩陣，此時矩陣 A可通過初 等變換化為矩陣 B，并有r(A) =r(B)；當PAQ =B中的P、Q互逆時就變成了矩陣相似( A飛)

51、的定義式，即有B二PAP，此時滿足r(A) =r(B)、I A|#B|、E-A|=E-B|，并且 A、B 有相同的特征值。矩陣合同的定義是 PTAP二B，其中P為可逆矩陣。由以上定義可看出等價、合同、相似三者之間的關系：若A與B合同或相似則 A與B必等價，反之不成立；合同與等價之間沒有必然聯系。3. 矩陣可相似對角化的條件。包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件：n階矩陣A有n個線性無關的 特征向量 A的任意k重特征根對應有k個線性無關的特征向量； 充分條件:1是A有n個互不相同的 特征值；充分條件2是A為實對稱矩陣。4. 實對稱矩陣極其相似對角化。1tn階實對稱矩陣 A必可正交、相似于對角

52、陣 上，即有正交陣P使得P AP二P AP二上而且正交陣 P由A對應的幾個正交的特征向量組成。其實本章的內容從中也可以找到類似于第三章向量與第四章線性方程組之間的那種前后印證、相互推導 的關系：以求方陣的幕 Ak作為思路的起點，直接乘來求 Ak比較困難，但如果有矩陣 P使得A滿足ik_1_1_1k 1P AP(對角陣)的話就簡單多了，因為此時A二PPP：.PPP = P P，而對pl. khk角陣b 的幕A 就等于 bk代如上式即得 A。而矩陣相似對角化的定義式正是 J.ckJ1P AP二一I。所以可以認為討論矩陣的相似對角化是為了方便求矩陣的幕，引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的

53、相似對角化。因為，不但判斷矩陣的相似對角化時要用到特征值和特征向量，而且PaAP=上中的P、上也分別是由A的特征向量和特征值決定的。求AnT相似對角化T特征值和特征向量2.5 線代第六章二次型本章內容較少，大綱要求包括掌握 二次型及其矩陣表示 和掌握用正交變換化二次型為標準型 的方法。 在理年真題中本章知識點出現次數不多，但也考過大題。本章所講的內容從根本上講是第五章特征值和特征向量的一個延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為“對于實對稱矩陣A存在正交矩陣P使得A可以相似對角化”，其過程就是上一章相似對角化在A為實對稱矩陣時的應用。將本章與上一章中相似對角化部分的內容作比較會有助于理解記憶“化

54、二次型為標準型”的步驟及避免前后混淆，但因為大綱對本章要求不高，所以不必深究。3 概率部分3.1 概率這門課的特點概率這門課如果有難點就應該是“記憶量大”。對于概率部分相當多的內容都只能先死記硬背，然后通過足量做題再來牢固掌握，走一條“在記憶的基礎上理解”的路。記牢公式性質，同時保證足夠的習題量，考試時概率部分20%的分值基本上就不難拿到了。3.2 概率第一章隨機事件和概率本章內容在歷年真題中都有涉及，難度一般不大。雖然對于本章中的古典概型可以出很難的題目，但大綱的要求并不高，考試時難題很少。填空、選擇常考關于事件概率運算的題目，大多圍繞形如P(AB) =P(AB)、P( B | A) =P(B|A)、P(A B C)這樣的式子利用各種概率運算公式求解；其它內容如全概率公式和貝葉斯公式在小題中和大題中都有可能考到。在“概率事件的關系及運算”部分有很多公式可以借助畫集合運算圖來輔助做題。區別互斥、互逆、對