1、微積分rxdtdx微微 積積 分分微積分第一章第一章 函數(shù)函數(shù)第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)第三章第三章 導數(shù)與微分導數(shù)與微分第四章第四章 中值定理中值定理, ,導數(shù)的應用導數(shù)的應用第五章第五章 不定積分不定積分第六章第六章 定積分定積分第七章第七章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)( (不要求不要求) )第八章第八章 多元函數(shù)多元函數(shù)第九章第九章 微分方程微分方程復習微積分第一章第一章 函數(shù)函數(shù) 集合集合 函數(shù)概念函數(shù)概念 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性 反函數(shù)反函數(shù) 復合函數(shù)復合函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù) 微積分函數(shù)函數(shù)-集合集合是指具有特定性質(zhì)的一些事集合是指具有特定性質(zhì)的一些事物的總體物的總體. .組成

2、這個集合的事物稱為該集合的元素組成這個集合的事物稱為該集合的元素. . 通常用大寫拉丁字母表示集合，小寫字母表示元素.a是集合M的元素,記作aM(讀作a屬于M)；a不是集合M的元素,記作aM (讀作a不屬于M).集集合合定定義義微積分函數(shù)函數(shù)-集合例子例子1. 19901. 1990年年1010月月1 1日在南寧市出生的人。日在南寧市出生的人。2. 2. 彩電、電冰箱、彩電、電冰箱、VCDVCD。3. 3. x x2 2-5x+6=0-5x+6=0的根。的根。集合具有確定性，即對某一個元素是否屬于某個集合具有確定性，即對某一個元素是否屬于某個集合是確定的，是或不是二者必居其一。集合是確定的，是

3、或不是二者必居其一。由有限個元素構(gòu)成的集合由有限個元素構(gòu)成的集合，稱為有限集合。，稱為有限集合。由無限多個元素構(gòu)成的集合由無限多個元素構(gòu)成的集合，稱為無限集合；，稱為無限集合；4. 4. 全體偶數(shù)全體偶數(shù)。微積分函數(shù)函數(shù)-集合集合的表示法集合的表示法1. 列舉法列舉法：按任意順序列出集合的所有元素,并用括起來。例例： 由x2-5x+6=0的根所構(gòu)成的集合A，可表示為：A=2,3注注：必須列出集合的所有元素，不得遺漏和重復。微積分函數(shù)函數(shù)-集合2.描述法描述法：設P(a)為某個與a有關的條件或法則，A為滿足P(a)的一切a構(gòu)成的集合，記為：A=a|P(a)例例： 由x2-5x+6=0的根所構(gòu)成的

4、集合A，表示為：A=x|x2-5x+6=0例例：全體實數(shù)組成的集合通常記作R，即：R=x|x為實數(shù)微積分函數(shù)函數(shù)-集合子集如果集合A的元素都是集合B的元素，即若 xA則必xB，就說A是B的子集，記作AB(讀作A包含于B)或BA(讀作B包含A)如果A B且或AB，則稱A與B相等。1. AA即集合A是其自己的子集。2. 傳遞性 AB、B C 則A C。3. A，即空集是任何集合A的子集。微積分函數(shù)函數(shù)-集合全集與空集全集與空集所研究的所有事物構(gòu)成的集合稱為全集所研究的所有事物構(gòu)成的集合稱為全集, ,記為記為: :U U。不含任何元素的集合稱為空集，記為：不含任何元素的集合稱為空集，記為： 。例例1

5、 1：x x2 2+1=0+1=0實數(shù)根集合為空集。實數(shù)根集合為空集。例例2 2：平面上兩條平行線的交點集合為空集。：平面上兩條平行線的交點集合為空集。注：注： 0 0 及及 都不是空集，前者有元素都不是空集，前者有元素0 0，后者，后者有元素有元素。微積分函數(shù)函數(shù)-集合集合的運算集合的運算集合的并：集合的并：A A B=x|x B=x|x A A 或或x x B B 集合的交：集合的交：A A B=x|x B=x|x A A 且且x x B B 集合的差：集合的差：A A- -B=x|x B=x|x A A 且且x x BB 微積分函數(shù)函數(shù)-集合區(qū)區(qū)間間 在一條直線上指定了一點作為在一條直線

6、上指定了一點作為原點原點OO，再指，再指定了定了正向正向，此外又規(guī)定了，此外又規(guī)定了單位長度單位長度，這條直，這條直線就稱為數(shù)軸。線就稱為數(shù)軸。 數(shù)軸上的點與實數(shù)之間可以建立一一對應數(shù)軸上的點與實數(shù)之間可以建立一一對應的關系。有時為了形象化起見，把的關系。有時為了形象化起見，把數(shù)數(shù)x x稱為點稱為點x x，就是指數(shù)軸上與數(shù)，就是指數(shù)軸上與數(shù)x x對應的那個點。對應的那個點。1 1-1-10 0OOx x微積分函數(shù)函數(shù)-集合閉區(qū)間： a,b=x|axba,b=x|axb開區(qū)間：( (a,b)=x|axba,b)=x|axb左閉右開區(qū)間： a,b)=x|axba,b)=x|axb左開右閉區(qū)間：(

7、(a,b=x|axba,b=x|axb有有限限區(qū)區(qū)間間OOx xa ab bOOx xa ab bOOx xa ab bOOx xa ab b微積分函數(shù)函數(shù)-集合a, + a, + )=x|ax)=x|ax(- (- ,b=x|xb ,b=x|xb(- (- ,b)=x|xb ,b)=x|xb無無限限區(qū)區(qū)間間實數(shù)集實數(shù)集(- (- ,+ ,+) )=x | - =x | - x+ x+ OOx xa aOOx xb b(a, +(a, +)=x|ax)=x|axOOx xb bOOx xa a微積分函數(shù)函數(shù)-集合鄰鄰域域(a,)=x| |x-a| =x|a-xa+=(a-,a+)稱為點a的鄰域

8、鄰域。a稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑。xaa- a+ 例例：(2 ,1 )= x | |x-2|1 =x | 1x3 =( 1, 3)x213=1=1微積分函數(shù)函數(shù)-集合空空心心鄰鄰域域( a , )= x | 0|x-a| = x | a- xa 或或 axa+ =(a- , a)U(a , a+ )稱為點a的空心鄰域空心鄰域。xaa- a+ 例例：U(2,1)=x|0|x-2|1=x|1x2或或2x03x-2 1x2/3x 1D=(2/3,1) (1,+)例例2：確定函數(shù)y=arcsin 的定義域。25-x21x-15+解：解：解：解：x-15 125-x2 025-x2 0-4x 6

9、|x-1| 525-x2 0-5x0tgx 0tgx1x ( k , k + )解：解：xk +2 2x (k + , k + )42x (k + , k + ), k=0, 1, 2, 3, 為所求的定義域4 2微積分函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX .)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)XxfM-Myxoy=f(x)X有界有界M-MyxoX0 x無界無界存在存在任意任意微積分函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例例1:f(x)=sinx在(-,+)內(nèi)是有界的。因為|sinx| 1。例例2:f(x)=1/x在(0 ,1)內(nèi)是無

10、界的。在1,+)內(nèi)有界。例例3:內(nèi)有界在),(1)(2xxxf),(211) 1(11)(222122xxxxxxxxf微積分函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù),2121時時當當及及上任意兩點上任意兩點如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxI ),()()1(21xfxf 恒有恒有;)(上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI微積分函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì),2121時時當當及及上任意兩點上任意兩點如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有;

11、)(上是單調(diào)減少的上是單調(diào)減少的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù)微積分例如例如, 函數(shù)函數(shù) y x 3 在在( , )內(nèi)單調(diào)增加。內(nèi)單調(diào)增加。3xy xyo微積分 而函數(shù)而函數(shù) y x 2 在區(qū)間在區(qū)間( , 0)內(nèi)單調(diào)減少；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少；在區(qū)間(0, )內(nèi)單調(diào)增加。內(nèi)單調(diào)增加。2xy xyo微積分函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例例1: 1:判斷函數(shù)y=y=x x3 3的單調(diào)性。解：解：對于任意的xl、x2 ，設xlx2x23 -x130,所以x23 x13 ，故 y=x3在(- ,+)是單調(diào)增加的。

12、當 x1 x2 0 時 x12 + x1 x2 + x22 0 所以f(x2)-f(x1)0f(x2)-f(x1)=x23 - x1 3 =(x2 - x1)(x12 + x1 x2 + x22)當 x1 x2 0所以f(x2)-f(x1)0微積分函數(shù)函數(shù)-函數(shù)的性質(zhì)例例2:2:判斷函數(shù)y=2y=2x x2 2+1的單調(diào)性。解：解： xl、x2 R ，設xlx2(x1+x2)0f(x1)f(x2)f(x)單調(diào)減少單調(diào)減少(x1+x2)0當當 xl、x2 0,+ )f(x1)-f(x2)0f(x1)1時，函數(shù)單調(diào)增加；時，函數(shù)單調(diào)增加；當當0a1 時時, 函數(shù)單調(diào)增加；函數(shù)單調(diào)增加；當當 0a0

13、,a1)對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) y=logax (a是常數(shù),a0,a1)三角函數(shù)三角函數(shù) y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx,y=secx, y=cscx;反三角函數(shù)反三角函數(shù) y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx . 0,過(0,0),(1,1),在(0, +)遞增 1遞增,0a1遞增,0a1遞減由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次的復合所構(gòu)成并可以用一個式子表示的函數(shù)，叫次的復合所構(gòu)成并可以用一個式子表示的函數(shù)，叫初等函數(shù)初等函數(shù)。微積分函數(shù)函數(shù)-初等函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)

14、y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx,y=secx, y=cscx;函數(shù)定義域值域周期奇偶單調(diào)y=sinx(-, +)-1,12奇(-/2+2k, /2+2k)遞增(/2+2k, 3 /2+2k)遞減y=cosx(-, +)-1,12偶(+2k, 2 +2k)遞增(2k, +2k)遞減y=tgxx/2+k(-, +)奇(-/2+k, /2+k)遞增y=ctgxxk(-, +)奇(k, +k)遞減y=secxx /2+k (-, -1U1, +)2偶(2k, /2+2k),(/2+2k, +2k) 遞增(-/2+2k,2k),(+2k,3/2+2k)遞減y=cscxxk(-

15、, -1U1, +)2奇(-/2+2k,2k),(2k, /2+2k)遞增(/2+2k,+2k),(+2k, 3/2+2k)遞減微積分函數(shù)函數(shù)-初等函數(shù)y=cscxy=secxy=ctgxy=tgxy=cosxy=sinx微積分函數(shù)函數(shù)-初等函數(shù)y=arcsinxy=arccosxy=arcctgxy=arctgx微積分 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算或復由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算或復合運算得到的一切函數(shù)統(tǒng)稱為合運算得到的一切函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)初等函數(shù). . 二、初等函數(shù)二、初等函數(shù)例如，例如，21xy ，xy2sin ，)sin1ln(xy 等等。等等。本課程討論的函數(shù)絕大多數(shù)都

16、是初等函數(shù)本課程討論的函數(shù)絕大多數(shù)都是初等函數(shù). .微積分例例1 1xxysin 是初等函數(shù)嗎？是初等函數(shù)嗎？利用對數(shù)恒等式利用對數(shù)恒等式,logxaxa ,eelnsinlnsinsinxxxxxxy 解解是初等函數(shù)。是初等函數(shù)。一般地，一般地，冪指函數(shù)冪指函數(shù))()(xgxfy )0)( xf也是初等函數(shù)：也是初等函數(shù)：)()(xgxfy .)(log)(xfxgaa 微積分例例2 2分段函數(shù)是初等函數(shù)嗎？分段函數(shù)是初等函數(shù)嗎？解解不是初等函數(shù)；不是初等函數(shù)； 010001sgnxxxxy當當當當當當符號函數(shù)符號函數(shù) 0000|xxxxxxy當當當當當當是初等函數(shù)，因為是初等函數(shù)，因為.|2xxy 分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是。分段分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是。分段只是一