1、精選優質文檔-傾情為你奉上一、           填空題1玻爾-索末菲的量子化條件為：，2德布羅意關系為： 。3用來解釋光電效應的愛因斯坦公式為：，4波函數的統計解釋：代表t時刻，粒子在空間處單位體積中出現的概率，又稱為概率密度。這是量子力學的基本原理之一。波函數在某一時刻在空間的強度，即其振幅絕對值的平方與在這一點找到粒子的幾率成正比，和粒子聯系的波是概率波。5波函數的標準條件為：連續性，有限性，單值性  。6 ， 為單位矩陣，則算符 的本征值為： 。7力學量算

2、符應滿足的兩個性質是 實數性和正交完備性 。8厄密算符的本征函數具有： 正交性，它們可以組成正交歸一性。即 。9設 為歸一化的動量表象下的波函數，則 的物理意義為：表示在所描寫的態中測量粒子動量所得結果在范圍內的幾率。10. ； ； 0。11如兩力學量算符 有共同本征函數完全系，則 _0_。12坐標和動量的測不準關系是： 。自由粒子體系，_動量_守恒；中心力場中運動的粒子_角動量_守恒13量子力學中的守恒量A是指:不顯含時間而且與對易，守恒量在一切狀態中的平均值和概率分布都不隨時間改變。14隧道效應是指：量子力學中粒子在能量E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現象稱為隧

3、道效應。15 為氫原子的波函數， 的取值范圍分別為：n=1,2,3, ；l=0,1,n-1；m=-l,-l+1,0,1,l。16對氫原子，不考慮電子的自旋，能級的簡并為:         ，考慮自旋但不考慮自旋與軌道角動量的耦合時，能級的簡并度為       ，如再考慮自旋與軌道角動量的耦合，能級的簡并度為      。17設體系的狀態波函數為 ，如在該狀態下測量力學量 有確定的值 ，則力學量算符

4、 與態矢量 的關系為：。18力學量算符 在態 下的平均值可寫為 的條件為：力學量算符的本征值組成分立譜，并且是歸一化波函數。19希爾伯特空間：量子力學中Q的本質函數有無限多個，所以態矢量所在的空間是無限維的函數空間。20設粒子處于態 ， 為歸一化波函數， 為球諧函數，則系數c的取值為： ， 的可能值為：， 本征值為 出現的幾率為： 。 21原子躍遷的選擇定則為： 。22自旋角動量與自旋磁矩的關系為：；式中是自旋磁矩，是自旋角動量，是電子的電荷，是電子的質量。23 為泡利算符，則 3   0 ，。24 為自旋算符，則 

5、0;，   0   ， 。25烏倫貝克和哥德斯密脫關于自旋的兩個基本假設是:（1）每個電子具有自旋角動量，它在空間任何方向上的投影只能是兩個數值：；（2）每個電子具有自旋磁矩，它和它的自旋角動量的關系式是：，式中是電子的電荷，是電子的質量。在空間任意方向上的投影只能取兩個數值：。26軌道磁矩與軌道角動量的關系是：。27證明電子具有自旋的實驗有：斯特恩-革拉赫實驗。28費米子所組成的全同粒子體系的波函數具有_反對稱性_，玻色子所組成的全同粒子體系的波函數具有_對稱性_。29 考慮自旋后，波函數在自旋空間表示為 （已歸一化），則在態 下，自旋算符

6、對自旋的平均可表示為：；對坐標和自旋同時求平均的結果可表示為:。30 考慮自旋后，波函數在自旋空間表示為 （已歸一化），則 的意義為:表示在t時刻，在（x,y,z）點周圍單位體積內找到自旋的電子的幾率。_1_。31.量子力學中的態是希爾伯特空間的_矢量_；算符是希爾伯特空間的_算符_。力學量算符在自身表象中的矩陣是 對角的 32、的物理意義： 發現粒子的幾率密度與之成正比 。33、表示 在rr+dr單位立體角的球殼內發現粒子的幾率 。34、在量子力學中，微觀體系的狀態被一個 波函數 完全描述；力學量用 厄密算符 表示。二、      

7、     問答題1. 你認為Bohr的量子理論有哪些成功之處？有哪些不成功的地方？試舉一例說明。(簡述波爾的原子理論，為什么說玻爾的原子理論是半經典半量子的？)答：Bohr理論中核心的思想有兩條：一是原子具有能量不連續的定態的概念；二是兩個定態之間的量子躍遷的概念及頻率條件。首先，Bohr的量子理論雖然能成功的說明氫原子光譜的規律性，但對于復雜原子光譜，甚至對于氦原子光譜，Bohr理論就遇到了極大的困難（這里有些困難是人們尚未認識到電子的自旋問題），對于光譜學中的譜線的相對強度這個問題，在Bohr理論中雖然借助于對應原理得到了一些有價值的結果，但不能提供

8、系統解決它的辦法；其次，Bohr理論只能處理簡單的周期運動，而不能處理非束縛態問題，例如：散射；再其次，從理論體系上來看，Bohr理論提出的原子能量不連續概念和角動量量子化條件等，與經典力學不相容的，多少帶有人為的性質，并未從根本上解決不連續性的本質。2. 什么是光電效應？光電效應有什么規律？愛因斯坦是如何解釋光電效應的？答：當一定頻率的光照射到金屬上時，有大量電子從金屬表面逸出的現象稱為光電效應；光電效應的規律：a.對于一定的金屬材料做成的電極，有一個確定的臨界頻率，當照射光頻率時，無論光的強度有多大，不會觀測到光電子從電極上逸出；b.每個光電子的能量只與照射光的頻率有關，而與光強無關；c.

9、當入射光頻率時，不管光多微弱，只要光一照，幾乎立刻觀測到光電子。愛因斯坦認為：(1)電磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那樣散布在空間中，所以電子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以對應弛豫時間應很短，是瞬間完成的。(2)所有同頻率光子具有相同能量，光強則對應于光子的數目，光強越大，光子數目越多，所以遏止電壓與光強無關，飽和電流與光強成正比。(3)光子能量與其頻率成正比，頻率越高，對應光子能量越大，所以光電效應也容易發生，光子能量小于逸出功時，則無法激發光電子。3簡述量子力學中的態疊加原理，它反映了什么？答：對于一般情況，如果和是體系的可能狀態，那么它們的線性疊加：（是復數）也是這個體系的

10、一個可能狀態。這就是量子力學中的態疊加原理。態疊加原理的含義表示當粒子處于態和的線性疊加態時，粒子是既處于態，又處于態。它反映了微觀粒子的波粒二象性矛盾的統一。量子力學中這種態的疊加導致在疊加態下觀測結果的不確定性。4. 什么是定態？定態有什么性質？答：體系處于某個波函數所描寫的狀態時，能量具有確定值。這種狀態稱為定態。定態的性質：（1）粒子在空間中的概率密度及概率流密度不隨時間變化；（2）任何力學量（不顯含時間）的平均值不隨時間變化；（3）任何力學量（不顯含時間）取各種可能測量值的概率分布也不隨時間變化。5. 簡述力學量與力學量算符的關系？答：算符是指作用在一個波函數上得出另一個函數的運算符

11、號。量子力學中采用算符來表示微觀粒子的力學量。如果量子力學中的力學量F在經典力學中有相應的力學量，則表示這個力學量的算符由經典表示式中將換為算符而得出的，即：。量子力學中的一個基本假定：如果算符表示力學量F，那么當體系處于的本征態時，力學量F有確定值，這個值就是在中的本征值。6.經典波和量子力學中的幾率波有什么本質區別？答：1）經典波描述某物理量在空間分布的周期性變化，而幾率波描述微觀粒子某力學量的幾率分布；（2）經典波的波幅增大一倍，相應波動能量為原來的四倍，變成另一狀態，而微觀粒子在空間出現的幾率只決定于波函數在空間各點的相對強度，幾率波的波幅增大一倍不影響粒子在空間出現的幾率，即將波函數

12、乘上一個常數，所描述的粒子狀態并不改變；7. 能量的本征態的疊加一定還是能量本征態。答：不一定，如果，對應的能量本征值相等，則還是能量的本征態，否則，如果，對應的能量本征值不相等，則不是能量的本征態8.什么是表象？不同表象之間的變換是一種什么變換？在不同表象中不變的量有哪些？答：量子力學中態和力學量的具體表示方式稱為表象。不同表象之間的變換是一種幺正變換。在不同表象中不變的量有：算符的本征值，矩陣的跡即矩陣對角元素的和。9. 簡述量子力學的五個基本假設。答：（1）微觀體系的狀態被一個波函數完全描述，從這個波函數可以得出體系的所有性質。波函數一般應滿足連續性、有限性和單值性三個條件；（2）力學量

13、用厄密算符表示。如果在經典力學中有相應的力學量，則在量子力學中表示這個力學量的算符，由經典表示中的將動量換為算符得出。表示力學量的算符具有組成完全系的本征函數。（3）將體系的狀態波函數用算符的本征函數展開：，則在態中測量力學量F得到結果為的幾率為，得到結果在范圍內的幾率是；（4）體系的狀態波函數滿足薛定諤方程：，是體系的哈密頓算符。（5）在全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互調換不改變體系的狀態（全同性原理）。10.波函數歸一化的含義是什么？歸一化隨時間變化嗎？答：粒子既不產生也不湮滅。根據波函數的統計解釋，在任何時刻，粒子一定在空間出現，所以在整個空間中發現粒子是必然事件，概率論中認為必然事

14、件的概率等于1。因而粒子在整個空間中出現的概率即對整個空間的積分應該等于1.即式中積分表示對整個空間積分。這個條件我們稱為歸一化條件。滿足歸一化條件的波函數稱為歸一化波函數。波函數一旦歸一化，歸一化常數將不隨時間變化。11.量子化是不是量子力學特有的效應？經典物理中是否有量子化現象？答： 所謂量子化，就是指某個力學量可取數值具有離散譜。一般來說，這不是量子力學的特有效應。經典物理中，例如聲音中的泛音，無線電中的諧波都是頻率具有離散譜。經典波在束縛態形成駐波時，頻率也是量子化的，但經典波的頻率量子化并不對應能量量子化。有時量子化用了專指能量量子化，在這種意義上它就是量子力學特有的效應。12.什么

15、是算符的本征值和本征函數？它們有什么物理意義？答：含有算符的方程稱為的本質方程，為的一個本質值。而則為的屬于本征值的本征函數。 如果算符多代表一個力學量，上述概念的物理意義如下：當體系處于的本征態時，測量F的數值時確定的，恒等于。當體系處于任意態時，單次測量F的值必等于它的本征值之一。13.算符運算與一般代數運算有什么異同之處？答：（1）相同點:都滿足加法運算中的加法交換律和加法結合律。（2）不同點：a.算符乘積一般不滿足代數乘法運算的交換律，即；b.算符乘積定義，運算次序由后至前，不能隨意變換。14.什么是束縛態和定態？束縛態是否必為定態？定態是否必為束縛態？答：定態是概率密度和概率流密度不

16、隨時間變化的狀態。若勢場恒定，則體系可以處于定態。當粒子被外力（勢場）束縛于特定的空間區域內，及在無窮處波函數等于零的態叫做束縛態。束縛態是離散的。例如一維諧振子就屬于束縛定態，具有量子化能級。但束縛態不一定是定態。例如限制在一維箱子中的粒子，最一般的可能態是以一系列分立的定態疊加而成的波包。這種疊加是沒有確定值的非定態。雖然一般情況下定態多屬束縛態，當定態也可能有非束縛態。15.（1）在量子力學中，能不能同時用粒子坐標和動量的確定值來描寫粒子的量子狀態？（2）將描寫的體系量子狀態波函數乘上一個常數后，所描寫的體系量子狀態是否改變？（3）歸一化波函數是否可以含有任意相因子（是實常數）？（4）已

17、知F為一個算符，當F滿足如下的兩式時，a. ,b. ,問何為厄米算符，何為幺正算符？（5）證明厄米算符的本征值為實數。量子力學中表示力學量的算符是不是都是厄米算符？答：（1）不能；因為在量子力學中，粒子具有波粒二象性，粒子的坐標和動量不可能同時具有確定值。（2）不改變；根據Born對波函數的統計解釋，描寫體系量子狀態的波函數是概率波，由于粒子必定要在空間中的某一點出現，所以粒子在空間各點出現的概率總和等于1，因而粒子在空間各點出現概率只決定于波函數在空間各點的相對強度。（3）可以；因為，如果對整個空間積分等于1，則對整個空間積分也等于1.即用任意相因子（是實常數）去乘以波函數，既不影響體系的量

18、子狀態，也不影響波函數的歸一化。（4）滿足關系式a的為厄密算符，滿足關系式b的為幺正算符；（5）證明：以表示F的本征值，表示所屬的本征函數，則因為F是厄密算符，于是有，由此可得，即為實數。16.薛定諤方程應該滿足哪些條件？答：（1）它必須是波函數應滿足的含有對時間微商的微分方程；（2）方程是線性的，即如果和都是方程的姐，那么和的線性疊加也是方程的解，這是因為根據態疊加原理，如果和是體系的可能狀態，那么它們的線性疊加：（是復數）也是這個體系的一個可能狀態；（3）這個方程的系數不應該包含狀態的參量，如動量、能量等，因為方程的系數如含有狀態的參量，則方程只能被粒子的部分狀態所滿足，而不能被各種的狀態

19、所滿足。17. 量子力學中的力學量用什么算符表示？為什么？力學量算符在自身表象中的矩陣是什么形式？答：量子力學中表示力學量的算符都是厄密算符。因為所有力學量的數值都是實數，既然表示力學量的算符的本征值是這個力學量的可能值，因而表示力學量的算符，它的本征值必須是實數。力學量算符在自身表象中的矩陣是一個對角矩陣。18.簡述力學量算符的性質？答：（1）實數性：厄密算符的本征值和平均值皆為實數；（2）正交性：屬于不同本征值的本征態彼此正交。即；（3）完備性：力學量算符的本征態的全體構成一完備集，即。19.在什么情況下兩個算符相互對易？答：如果兩個算符和有一組共同本征函數，而且組成完全系，則算符和對易。

20、20.請寫出測不準關系?答：設算符和的對易關系為：，則測不準關系式為：，如果不為零，則和的均方偏差不會同時為零，它們的乘積要大于一正數。21.量子力學中的守恒量是如何定義的？守恒量有什么性質？量子力學中的守恒量和經典力學的守恒量定義有什么不同，并舉例說明？答：量子力學中不顯含時間，且其算符與體系的哈密頓算符對易的力學量稱為守恒量；量子體系的守恒量，無論在什么態下，平均值和概率分布都不隨時間改變；量子力學中的守恒量與經典力學中的守恒量概念不相同，實質上是不確定度關系的反映。a.量子體系的守恒量并不一定取確定值，及體系的狀態并不一定就是某個守恒量的本征態。如對于自由粒子，動量是守恒量，但自由粒子的

21、狀態并不一定是動量的本征態（平面波），在一般情況下是一個波包；b.量子體系的各守恒量并不一定都可以同時取確定值。例如中心力場中的粒子，的三個分量都守恒，但由于不對易，一般說來它們并不能同時取確定值（角動量的態除外）。22.定態微擾理論的適用范圍和適用條件是什么？答：適用范圍：求分立能級及所屬波函數的修正；適用條件是：。23.什么是自發躍遷？什么是受激躍遷？答：在不受外界影響的情況下，體系由高能級躍遷到低能級，這種躍遷稱為自發躍遷；體系在外界（如輻射場）作用下，由低能級躍遷到高能級，這種躍遷稱為受激躍遷。24.什么是嚴格禁戒躍遷？角量子數和磁量子數的選擇定則是什么？答：如果在任何級近似中躍遷幾率

22、均為零，這這種躍遷稱為嚴格禁戒躍遷。角量子數和磁量子數的選擇定則是：。25. 誰提出了電子自旋的假設？表明電子有自旋的實驗事實有哪些？自旋有什么特征？答：烏倫貝克和高斯密特提出了電子自旋的假設。他們主要根據的兩個實驗事實是：堿金屬光譜的雙線結構和反常的Zeeman效應。他們假設的主要內容為：a.每個電子具有自旋角動量，它在空間任何方向上的投影只能是兩個數值：；b.每個電子具有自旋磁矩，它和它的自旋角動量的關系式是：，式中是電子的電荷，是電子的質量。表明電子有自旋的實驗事實：斯特恩-蓋拉赫實驗。其現象：K射出的處于S態的氫原子束通過狹縫BB和不均勻磁場，最后射到照相片PP上，實驗結果是照片上出現

23、兩條分立線。解釋：氫原子具有磁矩，設沿Z方向：；如在空間可取任何方向， 應連續變化，照片上應是一連續帶，但實驗結果只有兩條, 說明 是空間量子化的，只有兩個取向 ，對S 態 , ,沒軌道角動量，所以原子所具有的磁矩是電子固有磁矩，即自旋磁矩。自旋的特點：（1）電子具有自旋角動量這一特點純粹是量子特性，它不可能用經典力學來解釋。它是電子的本身的內稟屬性，標志了電子還有一個新自由度。（2）電子自旋與其它力學量的根本區別為，一般力學量可表示為坐標和動量的函數，自旋角動量與電子坐標和動量無關，不能表示為 ，它是電子內部狀態的表征，是一個新的自由度。（3）電子自旋值是 ， 而不是的整數倍。（4）， 而

24、兩者在差一倍。自旋角動量也具有其它角動量的共性，即滿足同樣的對易關系：。 它是個內稟的物理量，不能用坐標、動量、時間等變量表示； 它完全是一種量子效應，沒有經典對應量。也就是說，當時，自旋效應消失。 它是角動量，滿足角動量最一般的對應關系。而且電子自旋在空間任何方向上的投影只取兩個值。26. 什么是斯塔克效應？答：當原子置于外電場中，它發射的光譜線將發生分裂，這稱為Stark效應。27. 什么是光譜的精細結構？產生精細結構的原因是什么？考慮精細結構后能級的簡并度是多少？答：由于電子自旋與軌道角動量耦合，是原來簡并的能級分裂成幾條差別很小的能級，稱為光譜的精細結構；當n和l給定后，j 可以取，即

25、具有相同的量子數n，l的能級有兩個，它們的差別很小，這就是產生精細結構的原因。考慮精細結構后能級的簡并度為28. 什么是塞曼效應？什么是反常的塞曼效應？對簡單塞曼效應，沒有外磁場時的一條譜線在外磁場中分裂為幾條？答：把原子（光源）置于強磁場中，原子發出的每條光譜線都分裂為三條，我們把這稱為正常的塞曼效應。而反常的塞曼效應是指在弱磁場中原子光譜線的復雜分裂（分裂成偶條數）。對簡單塞曼效應，沒有外磁場時的一條譜線在外磁場中分裂為三條。29什么是全同性原理和泡利不相容原理？答：全同性原理：由全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態的改變。描寫全同粒子體系狀態的波函數只能是對稱的或反對

26、稱的，它們的對稱性不隨時間改變。泡利不相容原理：不能有兩個或兩個以上的費米子處于同一狀態。30.寫出泡利矩陣的形式及其對易關系。請用泡利矩陣定義電子的自旋算符，并驗證它們滿足角動量對易關系。 答：泡利矩陣：；對易關系為：；自旋算符；對易關系為。驗證過程如下：即：31.請寫出兩個電子體系的波函數。答：按空間態和自旋態組合可有四種反對稱態：；其中；。32.請簡述微擾論的基本思想。答：將復雜的體系的哈密頓量 分成 與 兩部分。 是可求出精確解的，而 可看成 的微擾。只需將精確解加上由微擾引起的各級修正量，逐級迭代，逐級逼近，就可得到接近問題真實的近似解。確定 時，先確定 ，再用 確定 。33. 什么

27、是玻色子和費米子？答：由電子，質子，中子這些自旋為 的粒子以及自旋為 的奇數倍的粒子組成的全同粒子體系的波函數是反對稱的，這類粒子服從(Fermi) (Dirac) 統計，稱為費米子，由光子（自旋為1）以及其它自旋為零，或 整數倍的粒子所組成的全同粒子體系的波函數是對稱的，這類粒子服從玻色(Bose)統計，稱為玻色子。34.什么是隧道效應？請舉例說明隧道效應的應用。答：粒子在其能量小于勢壘高度時，仍然會有部分粒子穿過勢壘的現象叫隧道效應，又叫隧穿效應。隧道效應的應用：1.掃描隧道顯微鏡（STM）是電子隧道效應的重要應用之一。掃描隧道顯微鏡可以顯示表面原子臺階和原子排布的表面三維圖案。在表面物理

28、、材料科學和生命科學等諸多領域中，掃描隧道顯微鏡都能提供十分有價值的信息。2.隧道二極管是一種利用隧道效應的半導體器件，也是隧道效應的重要應用之一。由于隧道效應而使其伏安特性曲線出現負陽區，因而隧道二級管具有高頻、低噪聲的特點。隧道二級管是低頻放大器、低頻噪聲振蕩器和超高速開關電路中的重要器件。35. 厄米算符具有哪些性質？厄米算符的平均值、本征值、本征函數具有哪些性質？答：厄米算符具有下列性質：a.兩厄米算符之和仍為厄米算符；b.當且僅當兩厄米算符 和 對易時，它們之積才為厄米算符。因為。只有在時，才有，即仍為厄米算符；c.無論厄米算符、是否對易，算符及 必為厄米算符，因為 ；d.任何算符總

29、可分解為。令 、，則和均為厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函數具有下列性質：厄米算符的平均值是實數；厄米算符的本征值為實數。厄米算符在本征態中的平均值就是本征值。厄米算符的簡并的本征函數可以經過重新組合后使它正交歸一化；厄米算符的本征函數系具有完備性；厄米算符的本征函數系具有封閉型。36. 簡單討論一下相對論情形和非相對論情形下的德布洛意關系式。答：對于非相對論情形：,;相對論情形：; ;所以當時，即得到非相對論情形下的公式：由于能量只有相對變化才有意義（即能量的絕對值在物理上是沒有意義的，它依賴于“零能量值”的選取），可將常數項抵消，此時相對論形式的關系退化為非相對論情形：，就是非相

30、對論粒子的動能。德布洛意頻率本身不是一個可觀測量，因此只有德布洛意波長具有物理意義。37. 為什么物質的波動性在宏觀尺度不顯現？答：由于，原因是普朗克常數太小（），而宏觀尺度的運動動量太大,導致波長太小，難以引起可以觀察的物理效應。因為,要減小宏觀尺度運動的動量，必須減小動能E，但從物理上考慮E不可能減小到比熱運動能量kBT 更小，所以必須減小質量。質量的減小對應于尺度的減小。只有把物體尺度減小到微觀尺度，才可能出現較大的物質波波長。從而引起可以觀察到的物理效應。38.相對論粒子德布洛意波對應的相速度，群速度分別是多少？（相速度,代表相位傳播的速度。波包是指波動在有限空間中分布。群速度對應波包

31、運動的速度）答：由德布洛意關系：，所以：波矢；，所以，則相速度：。又因為：，所以，群速度：，即在相對論情形下粒子運動速度也對應于波包的群速度。39. 自由粒子非相對論情形的相速度和群速度分別為多少？答：，則群速度：（對應的才是粒子運動的速度）。而相速度：（不是粒子運動速度）。40.什么是希爾伯特空間？波函數與希爾伯特空間的關系？答：希爾伯特空間是定義在復數域上的一個有限維或無限維的完備矢量空間。波函數對應于希爾伯特空間中的態矢。41.試舉例有哪些實驗揭示了光的粒子性質？哪些實驗揭示了粒子的波動性質？答：黑體輻射、光電效應、康普頓散射實驗給出了能量分立、光場量子化的概念，從實驗上揭示了光的粒子性

32、質。電子楊氏雙縫實驗、電子在晶體表面的衍射實驗、中子在晶體上的衍射實驗從實驗上揭示了微粒的波動性質。三、證明題1. 試證明是線性諧振子的波函數，并求此波函數對應的能量。證：線性諧振子的S-方程為： 把代入上式，有： 把代入式左邊，得 當時，左邊 = 右邊。 n = 3 ，是線性諧振子的波函數，其對應的能量為。2. 證明氫原子中電子運動所產生的電流密度在球極坐標中的分量是；。證：電子的電流密度為：在球極坐標中為：，式中為單位矢量 中的和部分是實數。 可見， ； 3. 試以基態氫原子為例證明：的本征函數，而是的本征函數。； ；所以：由于 ；可見，可見，是的本征函數。4證明：的氫原子中的電子在的方向

33、上被發現的幾率最大。解： ； 的電子，其中 當時：為最大值。即在方向發現電子的幾率最大。在其它方向發現電子的幾率密度均在之間。5試證明：處于1s，2p和3d態的氫原子的電子在離原子核的距離分別為的球殼內被發現的幾率最大(為第一玻爾軌道半徑 )。證：對1s態， 令 易見 ，當不是最大值。 為最大值，所以處于1s態的電子在處被發現的幾率最大。 對2p態的電子 令 易見 ，當為最小值。 為幾率最大位置，即在的球殼內發現球態的電子的幾率最大。 對于3d態的電子 令 易見 ，當為幾率最小位置。 為幾率最大位置，即在的球殼內發現球態的電子的幾率最大。6.指出下列算符哪個是線性的，說明其理由。 ； ； 解：

34、是線性算符； 不是線性算符； 是線性算符； 7. 指出下列算符哪個是厄米算符，說明其理由。 （1） ； （2）， ；。 。（2） 因為 ； 不是厄米算符。 是厄米算符。9.下列函數哪些是算符的本征函數，其本征值是什么？ ， ， ，解：； 不是的本征函數。 ； 不是的本征函數，其對應的本征值為1。； 可見，是的本征函數，其對應的本征值為1。 是的本征函數，其對應的本征值為1。 是的本征函數，其對應的本征值為1。10說明：如果算符和都是厄米的，那么 (+)也是厄米的。 證： +也是厄米的。11. 在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：，證明粒子的定態波函數具有確定的宇稱。證：在一維勢場中運動的粒

35、子的定態S-方程為： 將式中的代換，得： 利用，得： 比較、式可知，都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態的波函數。由于它們描寫的是同一個狀態，因此之間只能相差一個常數。方程、可相互進行空間反演 而得其對方，由經反演，可得， 由再經反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。 乘 ，得： 可見，；即 當時，具有偶宇稱； 當時，具有奇宇稱，所以，當勢場滿足時，粒子的定態波函數具有確定的宇稱。12. 證明以下諸式成立：(1) (證明)根據坐標分角動量對易式： 為了求證 該矢量關系式，計算等號左方的矢量算符的x分量。 以及看到 由于輪換對稱性，得到特征的公式。(2) （證明）證法與（1）類似，但需

36、先證 分量與 分量的對易律同理可證明其他輪換式，由此得普通式取待證的公式等號左方的x 分量，并用前一式加以變形：根據輪換對稱性，證明待證式成立。(3)注意 與x沒有共同坐標。(4) 注意沒有共同坐標，因此可以對易即，故13.設算符A，B與它們的對易式A，B都對易。證明：； (甲法）遞推法，對第一公式左方，先將原來兩項設法分裂成四項，分解出一個因式，再次分裂成六項，依次類推，可得待證式右方，步驟如下：按題目假設重復運算n-1次以后，得14. 求證在的本征態下（證明）角動量分量算符滿足對易關系：兩邊取平均值，設是本征態波函數，用標乘積運算符號 前面的連等式中利用了標乘積分配律以及算符的厄密性，這樣證明 利用對易關系： 。可以類似的證明。附帶指出，雖然，在本征態中平均值是零，但乘積的平