1、MATLAB在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用總結(jié)、統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征一簡單的數(shù)學(xué)期望和幾種均值mea n(x)平均值函數(shù)當(dāng)x為向量時，得到它的元素平均值；當(dāng) x為矩陣時，得到一列向量，每一行值為矩陣行元素的平均值，舉例1 :求矩陣A的平均值。D=74.001 74.005 74.003 74.001 74.00 73.998 74.006 74.02Mea n(d)E(x)的值：x=-2,0,2,pk=0.4,0.3,0.3 sum(x.*pk)E(3x 2+5)的值。x=-2,0,2,pk=0.4,0.3,0.3z=3*x.A2+5sum(z.*pk)» K- -2,sumX =-2 02pk *

2、0.40000.30000,3000z 17517ans 13.40002舉例2:設(shè)隨機(jī)變量x的分布規(guī)律如下表，求 E(x)和E(3x +5)的值E(x)的值X-202pkmax二數(shù)據(jù)比擬最大值min最小值media n中值sort由小到大排序三求和與積sum求向量或矩陣的元素累和prod :求當(dāng)前兀素與所有前面»元素的積ed.舉例：prad 卜面的程序用來求向量各兀素的之和prod=1231varx=2,3,4=for x=varxprod prod=prod+x4endgod Id四方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差函數(shù)Var Var(x) x為向量，返回向量的樣本方差；x為矩陣，那么返回矩陣 各

3、列的 Var(x,1) 返回向量矩陣x的簡單方差即置前因子為丄的方差n Var(x,w) 返回向量矩陣x即以w為權(quán)的方差。Std標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)Std(x)返回向量或矩陣x的樣本標(biāo)準(zhǔn)差置前因子為 ?-1Std(x,1)返回向量或矩陣x的標(biāo)準(zhǔn)差置前因子為-?舉例：d=74.001,74.005,74.003,74.001,74.00,73.998,74.006,74.02mea n(d)var(d,1)%方差var(d)%樣本方差std(d,1)%標(biāo)準(zhǔn)差std(d)% 羊本標(biāo)準(zhǔn)差五協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)cov(x) : x為向量，返回向量的方差，x為矩陣時返回矩陣的協(xié)方差矩陣，其 中協(xié)方差矩陣的對角元素是

4、x矩陣的列向量的方差值。cov(x,y):返回向量x.,y的協(xié)方差矩陣，且x，y的維數(shù)必須相同。cov(x,1):返回向量x的協(xié)方差矩陣，置前因子為 S?.corrcoef(x,y):返回列向量x,y的相關(guān)系數(shù)。corrcoef(x):返回矩陣x的列元的相關(guān)系數(shù)矩陣舉例：a=1,2,1,2,2,1x1=var(a) %向量的方差y1=cov(a) %向量的方差d=ra nd(2,6)cov1=cov(d) %矩陣D的樣本協(xié)方差c=ran d(3,3)x2=cov(c) %矩陣C的樣本協(xié)方差y2=corrcoef(c) %矩陣C各列元的相關(guān)系數(shù)0.4324OrlS'?*D0x131Du4

5、 "TX"0414砒阿7 0244寸丄50>M時4 0。-QpZ1Q3-0.02<4-0,2103D14S0-0,0718一 gOOMQ-o.ai住 a QL330 £>口0 IQouia*i右口D037 QQ2Q0.Q01Q0.030o - 31 a n0.217-9o.id»i. a j dD . 3 3G5fl,9512O.L419I0S22 .4BS.40.431*© -B0O3D-&157-«557Q口-On>l«3口 assa4.口1«3O_ LB 35-0.034G右.

6、生0 GJ3111MM-0*1733口.fllSiY 139丄0©右一D£839-O.«*S4-C 5 3 91 - 口g、常用的統(tǒng)計(jì)分布量一期望和方差函數(shù)名調(diào)用方式參數(shù)說明函數(shù)注釋Betasta tM, V=betastat A, BM為期望值V為方差值A(chǔ)、B為卩分布參數(shù)卩分布的期望方差Bi nosta tM, V=binostat(N,P)N主實(shí)驗(yàn)次數(shù)P為二次分布概率二項(xiàng)式分布的期望和方差Chizsta tM，v=Chi2stat(nu)nu為卡方分布參數(shù)卡方分分布的期望和方差ExpstatM，V=expstat(mu)mu為指數(shù)分布的特征參數(shù)指數(shù)分布的期望和

7、方差FstatM1 ,V=fstat(v1,v2)V和W為F分布的 兩個自由度F分布的期望和方差GamstatM，v=gamstat(A 1,B)A,B為丫分布的參 數(shù)丫分布的期望和方差GeostatM，v=geostat(P)P為幾何分布的幾何概率參數(shù)幾何分布的期望和方差Hygesta tMN,V=hygestat(M 1,K1,N)M,K,N為超幾何概 分布參數(shù)超幾何分布的期望和方差Lon statM, ,V=logstat(mu,sigma)mu為對數(shù)分布的均 值,sigma為標(biāo)準(zhǔn)差Poissta tM,V=Poisstat(<LAMBDA)LAMBDA泊松分布參數(shù)Normsta

8、tM1,V=normstat(mu,sig na)Mu為正態(tài)分布的均值sinma為標(biāo)準(zhǔn)差正態(tài)分布的期望和方差TstatM, ,V=tstat(nu)Nu為T分布參數(shù)Un ifsta tM1,V=u nifstat(A,B)A,B為均分布區(qū)間 端點(diǎn)值二概率密度函數(shù)1.離散型隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征1根本概念如果隨機(jī)變量X的所有可能取值為有限個或無窮可列個，那么稱X為離散型隨機(jī)變量設(shè)X的所有可能值為 X, %,并且X取這些值的概率為：PX=X<= °,k=1, 2,那么稱其為隨機(jī)變量 X的概率分布它滿足以下性質(zhì)： Pk> 0,k=1, 2，(2) Pk 1.k 1稱F (x

9、)pk為累積概率分布xk x2常見類型二項(xiàng)式分布假設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0, 1,，n,其概率分布為PX k C；pkqnk, k 0,1,2, ,n其中q=1- p,那么稱X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作 XB(n, p).顯然，兩點(diǎn) 分布是二項(xiàng)分布的特例二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望為E(X)= np,方差為D(X)= npq.在 MATLAB提供有二項(xiàng)分布的統(tǒng)計(jì)函數(shù)：binopdf() 、binocdf() 、binoinv()bin ornd()以及計(jì)算二項(xiàng)分布均值和方差的函數(shù)bino stat()，其使用格式為：binopdf(XNP)二項(xiàng)分布的密度函數(shù)binocdf(X NP)二項(xiàng)分布

10、的累積分布函數(shù)binoinv(Y NP)二項(xiàng)分布的逆累積分布函數(shù)binornd(N P, m n)產(chǎn)生服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)bino stat(N, P)求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差其中X為隨機(jī)變量；N為獨(dú)立試驗(yàn)的重復(fù)數(shù)；P為事件發(fā)生的概率；m和n分別是所 產(chǎn)生隨機(jī)矩陣的行數(shù)和列數(shù). 假設(shè)不指定m和n,那么返回一個隨機(jī)數(shù)，否那么返回一個 服從二項(xiàng)分布的 mx n階隨機(jī)矩陣.舉例：不同試驗(yàn)重復(fù)數(shù)n=50和不同概率p=0.7下二項(xiàng)分布的函數(shù)分布圖和累積分 布函數(shù)圖，且產(chǎn)生1萬個隨機(jī)數(shù)。程序如下：,n um=10000;k=0:1:100;pdf=b ino pdf(k ,n ,p);cdf=b ino

11、 cdf(k ,n ,p);M V=bi nostat( n,p);sample=b inornd(n,p,nu m,1);x=mi n(sample):1:max(sample);subplot(1,3,1);plot(k,pdf,'* 'title( The probability den sity fun cti on'subplot(1,3,2);plot(k,cdf,'* 'title( Distributi on function ' subplot(1,3,3);hist(sample,x);title('Ramdom si

12、gnals of binomial distribution');» M. VD35v =10.5030泊松分布如果隨機(jī)變量的概率分布為kPX k exp( ), k 0,1,2,k!其中0為常數(shù)，那么稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記作 XP()，泊松分布的數(shù)學(xué)期望E(X)=，方差D(X)=在MATLA中，提供如下有關(guān)泊松分布的統(tǒng)計(jì)函數(shù)，使用格式為：poisspdf(X,LMD)泊松分布的密度函數(shù)poisscdf(X丄MD)泊松分布的累積分布函數(shù)poiss in v(Y,LMD)泊松分布的逆累積分布函數(shù)poissrnd(LMD,M,N)產(chǎn)生服從泊松分布的隨機(jī)數(shù)poissstat(

13、LMD)求泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差其中X為隨機(jī)變量；Y為顯著概率值；LM助參數(shù)，M和N為產(chǎn)生隨機(jī)矩陣的行數(shù)和列 數(shù)例如類似于二項(xiàng)分布可用下述程序繪出服從泊松分布的密度函數(shù)和累積分布函數(shù)0246圖(見圖2):0 0246圖2泊松分布的概率密度與累積概率分布圖舉例：產(chǎn)生1000個隨機(jī)數(shù)，=，求期望方差并繪制直方圖。代碼：nu m=1000,lam=70;k=0:100;pdf=poisspdf(k,lam);cdf=poisscdf(k,lam);M V=poisstat(lam);sample=poissr nd(lam ,nu m,1);x=mi n(sample):1:max(sample)

14、;subplot(1,3,1);plot(k,pdf,'* 'title( The probability den sity function'subplot(1,3,2);plot(k,cdf,'* 'title(Distributi on function 'subplot(1,3,3);hist(sample,x);title('Ramdom signals of poission distribution');» K V cis stat (lajL)70V =70Ejgure 1如旳 MIEMKV1 AiT u

15、rn 珂曲 KjfWi «ICHJoXJ ; d d 1k '、*VW 日 63 右2.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征(1)根本概念設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，假設(shè)存在非負(fù)函數(shù)f (x)，使對任意實(shí)數(shù)x， 有xF (x) P X < x f (x)dx那么稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱f (x)為X的概率密度，它滿足以下性質(zhì)： f(x)> 0, - XVXV + 8; f (x)dx 1; Pa<x<b=F(b)-F(a)=bf (x)dx ; P x=a=0 .2常見的三種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布常用的三種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布是均勻分布、指數(shù)

16、分布和正態(tài)分布.均勻分布假設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)1,a x b; b a0, 其它MATLAB提供的有關(guān)均勻分布的函數(shù)如下:unifpdf( X, A B)unifcdf( X, A, B) unifinv(P, A, E)unirnd( A B mi n) unifstat( A B)均勻分布的密度函數(shù) 均勻分布的累積分布函數(shù) 均勻分布的逆累積分布函數(shù)均勻分布的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 均勻分布的數(shù)學(xué)期望與方差其中X為隨機(jī)變量,P為概率值，A, B為均勻分布參數(shù),m和 n為生成隨機(jī)數(shù)矩陣a=5,b=4求其概率密度函數(shù)，期望方差，并繪制的行數(shù)和列數(shù).00510舉例：產(chǎn)生100萬個隨機(jī)數(shù)，令

17、 直方圖。代碼：num=1000000,a=2,b=4;k=0:0.001:10;pdf= un ifpdf(k,a,b);cdf=uni fcdf(k,a,b);M V=u ni fstat(a,b);sample=ra nd(nu m,1);x=min( sample):0.02:max(sample); subplot(1,3,1);plot(k,pdf,'r.');title('The probability den sity fun cti on') subplot(1,3,2);plot(k,cdf,'b.');title('

18、Distributi on function');subplot(1,3,3);hist(sample,x);title('Ramdom sig nals of uniform distributi on');» M V=inif3t at J t>)0.3333葉*1- x衛(wèi) 口舊flfllE， 他抵A 僭 Ulm <B(t» 腳_ d a $ -總'*.#； U | 0 U I口指數(shù)分布如果隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)exp( x),0,x 0;x 0其中 為常數(shù)，那么稱X服從參數(shù)為MATLAB提供的有關(guān)指數(shù)分布的函數(shù)如下:

19、exppdf( X, L)expcdf( X, L)expinv( P, L)exprnd( X, L, m n) expstat( L)其中X為隨機(jī)變量，L為參數(shù)舉例：產(chǎn)生100萬隨機(jī)數(shù)，令 方差，繪制直方圖。的指數(shù)分布，記作 Xe ().指數(shù)分布的密度函數(shù) 指數(shù)分布的累積分布函數(shù) 指數(shù)分布的逆累積分布函數(shù) 產(chǎn)生服從指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù) 求指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望與方差,P為顯著概率，m和n為隨機(jī)數(shù)矩陣的行數(shù)和列數(shù)=0.25，求其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)，并求其均值和代碼：num=1000000,lam=0.25,mu=1/lam;k=-1:0.001:3;pdf=exppdf(k,lam);cdf=e

20、xpcdf(k,lam);M V=expstat(lam);sample=expr nd(m u,nu m,1);x=min( sample):0.02:max(sample);subplot(1,3,1);plot(k,pdf,'r.');title('The probability den sity fun cti on')subplot(1,3,2);plot(k,cdf,'b.');title('Distributi on function');subplot(1,3,3);hist(sample,x);title(

21、9;Ramdom signals of index distribution');>> V -expsti* (lair.|H -25000.062SQ =ur* 1彷1*舊MiV)稻貞個 IB(T)直曲di列腔Hl一口冥 0 | A X -'耳|囲 1 口標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布如果隨機(jī)變量X的概率密度為:f(X)(X )21其中 和 均為常數(shù)，且>0,那么稱X服從參數(shù)為和2的正態(tài)分布，記作 XN( , 2) 當(dāng) =0,=1時，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作 XN(0,1)MATLAB供的有關(guān)正態(tài)分布的函數(shù)如下：n ormpdf(XMC正態(tài)分布的密度函數(shù)n ormcdf(K

22、MC正態(tài)分布的累積分布函數(shù)n orm inv(P,MC正態(tài)分布的逆累積分布函數(shù)n ormr nd(M C m n)產(chǎn)生服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)normstat(MC)求正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差其中X為隨機(jī)變量，M為正態(tài)分布參數(shù)，C為參數(shù) ，P為顯著概率，m和n為隨機(jī)矩陣的行數(shù)和列數(shù).繪制標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)及累積分布函數(shù)圖圖5-7上和一般正態(tài)分布的密度函數(shù)及累積分布函數(shù)圖圖 5-7下的程序如下：值，繪制直方圖。代碼：num=1000000,a=0,b=1;k=-4:0.001:4;pdf= normpdf(k,a,b);cdf=n ormcdf(k,a,b);M V=n ormstat(a,b);sample=ra ndn(nu m,1);x=min( sample):0.02:max(sample); subplot(1,3,1);plot(k,pdf,'r.');title('The probability den sity fun cti on