1、整式及整式的加減要點梳理及經(jīng)典例題一、整式的有關(guān)概念1.單項式(1)概念：注意：單項式中數(shù)與字母或字母與字母之間是乘積關(guān)系，例如： (可 以看成1 x ,所以x是單項式；而2表示2與x的商，所以x不是單項式，凡是分母22x2中含有字母的就一定不是單項式.1 C(2)系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù).例如：-x2y的系數(shù)是21-；2燈的系數(shù)是2n.2注意：單項式的系數(shù)包括其前面的符號；當(dāng)一個單項式的系數(shù)是1或-1時，“1”通常省略不寫，但符號不能省略.如：-xy,a2b3c等；n是數(shù)字，不是字母.(3)次數(shù)：一個單項式中，所有字母指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù).注意：計算單項式的次數(shù)時

2、，不要漏掉字母的指數(shù)為1的情況.如2xy3z2的次數(shù)為1+3+2 =6,而不是5;切勿加上系數(shù)上的指數(shù)，如25xy2的次數(shù)是3,而不是8;-2nx3y2的次數(shù)是5,而不是6.2 .多項式(1)概念：幾個單項式的和叫做多項式.其含義是：必須由單項式組成；體 現(xiàn)和的運算法則.(2)項：在多項式中，每一個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫常數(shù)項；一個多項式含有幾個單項式就叫幾項式.例如：2x2-3y-1共含有有三項，分別是2x2,-3y, -1 ,所以2x2-3y-1是一個三項式.注意：多項式的項包括它前面的符號，如上例中常數(shù)項是-1,而不是1.(3)次數(shù)：多項式中，次數(shù)最高項的次數(shù)，就是這個

3、多項式的次數(shù)注意：要防止把多項式的次數(shù)與單項式的次數(shù)相混淆，而誤認(rèn)為多項式的次數(shù)是各項次數(shù)之和.例如：多項式2x2y2 -3x4y+5xy2中，2x2y2的次數(shù)是4, -3x4y的次數(shù)是5, 5xy2的次數(shù)是3,故此多項式的次數(shù)是5,而不是4 + 5+3 = 12.3 .整式：單項式和多項式統(tǒng)稱做整式.4 .降幕排列與開幕排列(1)降幕排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來叫做 把這個多項式按這個字母的降幕排列.(2)把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來叫做把這個多項 式按這個字母的開幕排列.注意：降(升)幕排列的根據(jù)是：加法的交換律和結(jié)合律；把一個多項式按

4、 降(升)幕重新排列，移動多項式的項時，需連同項的符號一起移動；在進行多項 式的排列時，要先確定按哪個字母的指數(shù)來排列.例如：多項式 xy2 x4 y4 3x2y3 2x3y 按x 的開幕排列為：y4 +xy2 3x2y3 2x3y x4 ；按 y 的降幕排列為：-y4 -3x2y3 - xy2 -2x3y-x4 .二、整式的加減1 .同類項：所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項.注意：同類項與其系數(shù)及字母的排列順序無關(guān).例如：2a2b3與-3b3a2是同類項；而2a2b3與5a3b2卻不是同類項，因為相同的字母的指數(shù)不同.2 .合并同類項(1)概念：把多項式中相同的項合

5、并成一項叫做合并同類項.注意：合并同類項時，只能把同類項合并成一項，不是同類項的不能合并，如2a+3b =5ab顯然不正確；不能合并的項，在每步運算中不要漏掉 .(2)法則：合并同類項就是把同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和 字母的指數(shù)保持不變.注意：合并同類項，只是系數(shù)上的變化，字母與字母的指數(shù)不變，不能將字母 的指數(shù)相加；合并同類項的依據(jù)是加法交換律、結(jié)合律及乘法分配律；兩個同類 項合并后的結(jié)果與原來的兩個單項式仍是同類項或者是 0.3 .去括號與填括號(1)去括號法則：括號前面是“ + ”，把括號和它前面的“ 十 ”去掉，括號內(nèi)的 各項都不變號；括號前面是，把括號和它前面的“-

6、"去掉，括號內(nèi)的各項都 改變符號.注意：去括號的依據(jù)是乘法分配律，當(dāng)括號前面有數(shù)字因數(shù)時，應(yīng)先利用分配 律計算，切勿漏乘；明確法則中的“都”字，變符號時，各項都變；若不變符號，各項都不變.例如：a+(b-c)=a+b-c;a-(b-c)=a-b + c；當(dāng)出現(xiàn)多層括號時，一般由里向外逐層去括號，如遇特殊情況，為了簡便運算也可由外向內(nèi)逐層去括號.(2)填括號法則：所添括號前面是“ 十 ”號，添到括號內(nèi)的各項都不變號；所添 括號前面是”號，添到括號內(nèi)的各項都改變符號 .注意：添括號是添上括號和括號前面的“ + ”或，它不是原來多項式的 某一項的符號“移”出來的；添括號和去括號的過程正好相

7、反，添括號是否正確，可用去括號來檢驗.例如：a+bc = a+(bc);ab+c = a(bc).4 .整式的加減整式的加減實質(zhì)上是去括號和合并同類項，其一般步驟是：(1)如果有括號，那么先去括號；(2)如果有同類項，再合并同類項.注意：整式運算的結(jié)果仍是整式.經(jīng)典例題透析類型一：用字母表示數(shù)量關(guān)系。1 .土真空題：(1)香蕉每千克售價 3元，m千克售價元。(2)溫度由5c上升t C后是；C0(3)每臺電腦售價x元，降價10%后每臺售價為元。(4)某人完成一項工程需要a天,此人的工作效率為思路點撥：用字母表示數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是理解題意，抓住關(guān)鍵詞句，再用適當(dāng)?shù)?式子表達出來。舉一反三：變式某校學(xué)

8、生給“希望小學(xué)”郵寄每冊G元的圖書240冊，若每冊圖書的郵費 為書價的5%,則共需郵費元。類型二：整式的概念 2.指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。372)？(1) 2x+1; (2)a =2; (3)兀；(4)S=兀 R2; (5) 3 ; (6) 3 5總結(jié)升華：判斷是不是整式，關(guān)鍵是了解整式的概念，注意整式與等式、不等式的區(qū)別，等式含有等號，不等式含有不等號，而整式不能含有這些符號。舉一反三：變式把下列式子按單項式、多項式、整式進行歸類。2_£5x2y,2 ab, x +y2 5,2, 29, 2ax+9b 5, 600xz , 2 axy, xyz1-1,x+1 0分析：本

9、題的實質(zhì)就是識別單項式、多項式和整式。單項式 中數(shù)和字母、字母和 字母之間必須是相乘的關(guān)系，多項式必須是幾個單項式的和的形式。答案：單項式有：x2y, 2, 29,600xz , 2 axy2多項式有： 2 ab, x + y2 5,2ax + 9b5, xyz 1整式有：x2y, 2 ab, x + y2 5, 2, 29, 2ax+9b5,600xz , 2 axy,xyz 1 o類型三：同類項03 .若'與-3尸產(chǎn)b是同類項，那么a, b的值分別是()(A) a=2, b=1 o(B) a=2, b=1。(C) a=2, b= 1 o(D) a=2, b=1。思路點撥：解決此類問

10、題的關(guān)鍵是明確同類項定義，即字母相同且相同字母的指數(shù) 相同，要注意同類項與系數(shù)的大小沒有關(guān)系。解析：由同類項的定義可得：a 1= b,且2 a+b=3,解得 a=2, b=-1,故選Ao舉一反三：變式在下面的語句中，正確的有()21一3 a2b3與2 a3b2是同類項；I X/ x2yz與一zx2y是同類項；一1與5是同類項；字母相同的項是同類項。A 1個R 2個C、3個D 4個21解析：中一Ga2b3與1a3b2所含的字母都是a, b,但a的次數(shù)分別是2,3 , b的次數(shù)分別是3,2,所以它們不是同類項；中所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，所以I 2)x2yz與一zx2y是同類項；不含

11、字母的項(常數(shù)項)都是同類項，正確， 根據(jù)可知不正確。故選Bo 類型四：整式的加減4.化簡mi- n (m+n)的結(jié)果是()(A) 0o(B) 2m(C) -2n0(D) 2mH2n。思路點撥：按去括號的法則進行計算，括號前面是”號，把括號和它前面的”號去掉，括號里各項都改變符號。解析： 原式"mi- n mi- n=- 2n,故選(C)。舉一反三：變式 計算：2xy +3xy=?分析：按合并同類項的法則進行計算，把系數(shù)相加所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和 字母的指數(shù)不變。注意不要出現(xiàn) 5x2y2的錯誤。答案：5xy0e-225Hr 5.(化簡代入求值法)已知 x= 5 , y= 3 ,求

12、代數(shù)式(5x y 2xy 3xy)22、一(2xy + 5x y 2xy )思路點撥：此題直接把x、y的值代入比較麻煩，應(yīng)先化簡再代入求值。解析： 原式=5x2y 2xy2 3xy 2xy 5x2y + 2xy2 = 5xy1 ir iW 01當(dāng) x= 5 , y= 3 時，原式=一 5x l 5)I 3)3。總結(jié)升華：求代數(shù)式的值的第一步是“代入”，即用數(shù)值替代整式里的字母；第 二步是“求值”，即按照整式中指明的運算，計算出結(jié)果。應(yīng)注意的問題是：當(dāng)整式 中有同類項時，應(yīng)先合并同類項化簡原式，再代入求值。舉一反三：變式1當(dāng)x = 0, x=5, x = -2時，分別求代數(shù)式的2x2x+1的值。

13、解：當(dāng) x = 0 時，2x2 x+1=2X02 0+1 = 1;.2售-g+1=2k；T+1=1當(dāng) x=2 時，2x2 x+1=2xUJ 24 2；當(dāng) x = -2 時，2x2x+1 = 2X (-2) 2 (-2) +1=2X4+2+ 1 = 11。總結(jié)升華：一個整式的值，是由整式中的字母所取的值確定的，字母取值不同, 一般整式的值也不同；當(dāng)整式中沒有同類項時，直接代入計算，原式中的系數(shù)、指數(shù) 及運算符號都不改變。但應(yīng)注意，當(dāng)字母的取值是分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時，代入時，應(yīng)將分?jǐn)?shù) 或負(fù)數(shù)添上括號。變式2先化簡，再求值。13(2x2y 3xy2) (xy2 3x2y),其中 x= 2 , y= 1。解：

14、3(2x 2y 3xy2) (xy2 3x2y) = (6x 2y 9xy2) xy2 + 3x2y=6x2y 9xy2 xy2 + 3x2y = 9x2y 10xy2。ifir i.當(dāng) x= 2 , y= 1 時，原式=9X X( -1) - 10X 2x(- 1)2=-9 £ -5=44。總結(jié)升華：解題的基本規(guī)律是先把原式化簡為 9x2y-10xy2,再代入求值，化簡降 低了運算難度，使計算更加簡便，體現(xiàn)了化繁為簡，化難為易的轉(zhuǎn)化思想。變式3求下列各式的值(2x 2-x- 1) 1(2)2mn + ( 3m) 3(2n mn),其中 m+ n = 2, mn= 3。解析：(1)

15、(2x2-x-1)1 1=2x2 x 1 x2+ x + 3 + 3x2 3 3 =4x24j 30Yi=-當(dāng) x= 2 2 時，原式=4X12J -4 = 9-4=5(2) 2mn + ( 3m) 3(2n mn)= 2mn- 6m- 6n+ 3mn= 5mn- 6(m+ n)當(dāng) m+ n = 2, mn= 3 時原式=5X (-3) 6X2= 27。類型五：整體思想的應(yīng)用66,已知x2+ x + 3的值為7,求2x2+2x3的值。思路點撥：該題解答的技巧在于先求x2+x的值，再整體代入求解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中 的整體思想。解析：由題意得 x2 + x + 3= 7,所以 x2 + x = 4,所

16、以 2(x2+x) =8,即 2x2+2x = 8, 所以 2x2+ 2x 3 = 8 3 = 5。總結(jié)升華：整體思想就是在考慮問題時，不著眼于它的局部特征，而是將具有共 同特征的某一項或某一類看成一個整體的數(shù)學(xué)思想方法。運用這種方法應(yīng)從宏觀上進 行分析，抓住問題的整體結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征，全面關(guān)注條件和結(jié)論，加以研究、解決， 使問題簡單化。在中考中該思想方法比較常見，尤其在化簡題中經(jīng)常用到。舉一反三：變式1已知x2 + x1=0,求代數(shù)式x3+2x2 7的值。分析：此題由已知條件無法求出x的值，故考慮整體代入。解析：. x2+x1 = 0, . x2= 1-x, .x3+2x2 7= x(1 -x

17、) +2(1 -x) -7 = x-x2+2-2x-7-x -x-5 (-x -x+1 ) -6 = - 6o變式2當(dāng)x=1時，代數(shù)式px3+qx+1的值為2003,則當(dāng)x=1時，代數(shù)式 px3+qx+ 1 的值為()A、-2001B、-2002C、2003D 2001分析：這是一道求值的選擇題，顯然 p, q的值都不知道，仔細(xì)觀察題目，不難發(fā) 現(xiàn)所求的值與已知值之間的關(guān)系。解析：當(dāng) x= 1 時，px3+qx+1 = p+q+1 =2003,而當(dāng) x= 1 時，px3+qx+1 = -p- q+1,可以把p+q看做一個整體，由 p+q+1=2003得p+q = 2002,于是一pq=(p +

18、 q) = 2002,所以原式=2002+1 = 2001。故選 A變式3已知A= 3x3 2x+1, B= 3x22x+1, C= 2x2+ 1,則下列代數(shù)式中化簡 結(jié)果為3x3- 7x22的是()A A+ B+ 2CR A+ B 2CC、A- B 2CD A- B+ 2C分析：將A, B, C的式子分別代入A, B, C, D四個選項中檢驗，如：A- B- 20 3x3-2x + 1 -(3x2-2x+ 1) 2(2x2+ 1) =3x32x+ 1 3x2 + 2x 1 4x22= 3x37x2 2。故選C答案：C變式4化簡求值。(1)3(a +bc)+8(ab c) 7(a + b c)

19、 4(abc),其中 b=2(2)已知 ab = 2,求 2(a b) a+b+9 的值。分析：(1)常規(guī)解法是先去括號，然后再合并同類項，但此題可將 a+b-c, a-b c分別視為一個“整體”，這樣化簡較為簡便；(2)若想先求出a, b的值，再代入求 值，顯然行不通，應(yīng)視ab為一個“整體”。解析：(1)原式=3(a + b-c) -7(a + b-c) +8(a-b-c) -4(a-b-c)=4(a + b c) + 4(a b c)=4a 4b+ 4c+4a 4b 4c = 8b。因為b=2,所以原式=一 8X2=-16。(2)原式=2(a - b) - (a - b) +9=(a b) + 9因為ab=2,所以原式=2 + 9=11。類型六：綜合應(yīng)用C7.已知多項式3(ax2+2x1)(9x2 + 6x7)的值與x無關(guān)，試求5a2-2(a23a+ 4)的值。思路點撥：要使某個單項式在整個式子中不起作用，一般是使此單項式的系數(shù)為0即可.解析：3(ax2+ 2x-1) -(9x2+ 6x 7) = 3ax2 + 6x-3- 9x2- 6x+ 7= (3a 9)x2 + 4。因為原式的值與x無關(guān)，故3a- 9= 0,所以a=3。又因為 5a2 2(a2 3a