1、超級狩獵者2005年數學二試題分析、詳解和評注填空題 (本題共6 小題，每小題4 分，滿分24 分 . 把答案填在題中橫線上)1) 設 y (1 sin x)x，則 dyx3(1 x) 22)曲線 y ( x) 的斜漸近線方程為x3)xdx(2 x2) 1 x21( 4)微分方程xy 2y xln x 滿足 y(1) 的解為95) 當 x 0時， (x) kx2與(x)1 xarcsinx cosx 是等價無窮小，則k= .( 6) 設 1 , 2 , 3 均為 3 維列向量，記矩陣A ( 1, 2, 3)， B ( 123, 12 24 3,13 29 3)，如果 A 1 ，那么 B二、選擇

2、題(本題共8 小題，每小題4 分，滿分32 分 . 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內)( 7) 設函數 f (x) lim n 1 x3n ，則 f(x) 在 (,) 內n(A) 處處可導.(B) 恰有一個不可導點.(C) 恰有兩個不可導點.(D) 至少有三個不可導點.( 8) 設 F(x)是連續函數f(x)的一個原函數， M N 表示 “ M 的充分必要條件是N”，則必有(A) F(x)是偶函數f(x)是奇函數.(B) B)F(x)是奇函數f(x)是偶函數.(C) F(x)是周期函數f(x) 是周期函數.(D) F(x)是單調函數f(x) 是單調

3、函數.9) 設函數 y=y(x) 由參數方程軸交點的橫坐標是1(A)ln 2 3.8(C)8ln 2 3.x t 2t確定，則曲線y=y(x) 在 x=3 處的法線與xy ln(1 t)1(B) ln 2 3 .8(D) 8ln 2 3.2210) 設區域 D ( x, y) x y 4, x 0, y 0 ， f(x) 為 D 上的正值連續函數，a,b為常數，則f(x) b f (y) f (x) f (y)aba b(A) ab .(B).(C) (a b) .(D).xy11) 設函數 u(x, y) (x y) (x y) (t)dt , 其中函數具有二階導數，xy具有一階導數，則必有

4、(A)2 u2 x2 u2 x(C)2uxy2u2y(D)xy2112) 設函數 f (x) x , 則 ex1 1(A)x=0,x=1 都是 f(x)的第一類間斷點.(B) B)x=0,x=1 都是 f(x)的第二類間斷點.(C) x=0 是 f(x) 的第一類間斷點，x=1 是 f(x) 的第二類間斷點.x=0 是 f(x) 的第二類間斷點，x=1 是 f(x) 的第一類間斷點.13) 設 1 , 2是矩陣 A 的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為1 , 2，則1，A( 12 ) 線性無關的充分必要條件是(A)10 .(B)20. (C)10 .(D)20.14) 設 A 為 n( n

5、 2 )階可逆矩陣，交換A 的第 1 行與第 2 行得矩陣B, A* , B* 分別為 A,B 的伴隨矩陣，則*(A) 交換 A 的第*1 列與第 2 列得 B .*(B) 交換 A 的第 1 行與第2 行得*B.*(C) 交換 A 的第*1 列與第 2 列得 B .*(D) 交換A* 的第 1 行與第 2 行得 B*三 、解答題(本題共9 小題，滿分94 分 .解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .)15) (本題滿分11 分)x(x t)f(t)dt設函數 f(x) 連續，且f (0) 0 ，求極限lim 0 x.x 0 x0 f(x t)dt( 16) (本題滿分11 分)1如圖，C

6、1 和 C2分別是y (1 ex) 和 yex的圖象，過點 (0,1)的曲線C3是一單調增函數的圖象. 過 C2上任一點M(x,y) 分別作垂直于x 軸和 y 軸的直線lx和ly . 記 C1,C2與 lx所圍圖形的面積為S1 (x)； C2,C3與 l y所圍圖形的面積為S2(y). 如果總有S1(x)S2(y) ，求曲線 C3的方程 x (y).( 17) (本題滿分11 分)如圖，曲線C 的方程為y=f(x) ，點(3,2)是它的一個拐點，直線l1 與 l 2分別是曲線C 在點 (0,0)與 (3,2)處的切線，其交點為(2,4). 設函數 f(x) 具有三階連續導數，計算定積分30 (

7、x2x) f (x)dx.( 18) (本題滿分12 分)2用變量代換x cost(0 t ) 化簡微分方程(1 x2 )y xy y 0，并求其滿足y 1, y 2 的特解 .x0x0( 19) (本題滿分12 分)已知函數f(x) 在 0， 1上連續，在(0,1)內可導，且f(0)=0,f(1)=1. 證明：( I)存在(0,1), 使得 f ( ) 1；( II )存在兩個不同的點,(0,1) ，使得 f ( ) f ( ) 1.( 20) (本題滿分10分)已知函數z=f(x,y) 的全微分dz 2xdx 2ydy ，并且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y) 在橢圓域2D ( x,

8、 y) x2y 1 上的最大值和最小值.4( 21) (本題滿分9 分)計算二重積分x2 y2 1d ，其中 D (x,y)0 x 1,0 y 1.D( 22) (本題滿分9 分)確 定 常 數 a,使 向 量 組 1(1,1,a)T,2(1,a,1)T,3(a,1,1)T 可 由 向 量 組1(1,1,a)T, 2( 2,a,4)T , 3( 2,a,a)T線性表示，但向量組1, 2, 3不能由向量組 1 , 2 , 3 線性表示 .( 23) (本題滿分9 分)123已知 3階矩陣 A 的第一行是(a, b, c), a,b,c不全為零，矩陣 B 2 4 6 ( k 為常數) ，36k且

9、AB=O, 求線性方程組Ax=0 的通解 .05 年考研文登數學輔導班中講過1. 【 分析 】 本題屬基本題型，冪指函數的求導(或微分)問題可化為指數函數求導或取對數后轉化為隱函數求導.詳解 】 方法一：y (1 sinx)x=exln(1 sinx)，于是xln(1 sin x)cosxexln(1 sin x) ln(1 sin x) x，1 sin x從而dy= y ( )dx dx.x方法二：兩邊取對數，ln y x ln(1 sin x)，對 x 求導，得ln(1 sinx)xcosx1 sin x于是 y (1 sin x)x ln( 1 sin x) x cosx ，故1 sin

10、 xdy = y ( )dx dx. x【 評注 】 冪指函數的求導問題，既不能單純作為指數函數對待，也不能單純作為冪函數，而直接運用相應的求導公式.2.【 分析 】 本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式進行計算即可詳解 】a=xlim f (xx)3(1 x)2xlim1,x xx33(1 x) 2x23b lim f (x) ax lim，xxx23于是所求斜漸近線方程為y x 3.2【 評注 】 如何求垂直漸近線、水平漸近線和斜漸近線，是基本要求，應熟練掌握。這里應注意兩點：1 )當存在水平漸近線時，不需要再求斜漸近線；2)若當x 時，極限f (x)a lim 不存在，則應進一步討論x

11、 或 x 的情形，即在右或左側是否存xx在斜漸近線，本題定義域為x0，所以只考慮x 的情形 .3.【 分析 】 作三角代換求積分即可【 詳解 】 令 x sint ，則1 xdx0 (2 x2) 1 x22 sin t cost0 (2 sin2 t)costdt2 d cost0 1 cos2 tarctan(cost)評注 】 本題為廣義積分，但仍可以與普通積分一樣對待作變量代換等4.【 分析 】直接套用一階線性微分方程y P(x)y Q(x)的通解公式：P(x)dxP(x)dxy e Q(x)e dx C，再由初始條件確定任意常數即可.【 詳解 】 原方程等價為y y lnx，x2dxy

12、 e x ln x2dx1e x dx C 2x2 x ln xdx C=1xlnx 1x39C 12 ，x111由 y(1) 得 C=0，故所求解為y xln x x.939. 另外，本題也【 評注 】 本題雖屬基本題型，但在用相關公式時應注意先化為標準型可如下求解：原方程可化為x2y 2xy x2 ln x ，即x2yx2 ln x，兩邊積分得x2yx2ln xdxx3 ln x x3 C ，3911再代入初始條件即可得所求解為y xln x x.39(x)5 【 分析 】 題設相當于已知lim1 ，由此確定k 即可 .x 0(x)詳解 】lim (x)x 0 (x)1 xarcsinx

13、cosx limx 0kxlim xarcsinx 1 cosxx 0 kx2 ( 1 xarcsinx cosx)1 x arcsin x 1 cosx 3= lim21 ，得2k x 0x24kk 3.4【 評注 】.無窮小量比較問題是歷年考查較多的部分，本質上，這類問題均轉化為極限6 【 分析 】 將 B 寫成用 A 右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質進行計 算即可 .【 詳解 】B ( 123,12 24 3, 13 29 3)111=( 1, 2, 3)3，91 2 2.評注 】本題相當于矩陣B 的列向量組可由矩陣A 的列向量組線性表示，關鍵是將其轉化為用矩陣乘積形式表示。

14、一般地，若1a11 1a12 2a1n n，a21 1a22 2a2n n ，則有am1 1 am2 2amn n，a11a21am1a12a22am2a1na2namnm 1, 2, n7.【分析 】 先求出 f(x) 的表達式，再討論其可導情形超級狩獵者詳解 】x 1 時，3nf (x) lim n 1 x 1 ；f (x) lim n 1 11 ；n即 f (x)【 評注】8 .【 分析】本題綜合考查了數列極限和導數概念兩個知識點詳解 】x 1 時，f (x)3x , x 1,1,1 x 1,3x , x 1.可見 f(x) 僅在13n11)nx= 1 時不可導，故應選(C).本題可直接

15、推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.x方法一：任一原函數可表示為F(x) f (t)dt C ，且 F (x) f (x).F(x)為偶函數時，有 F ( x) F (x)， 于是F ( x) ( 1) F (x) ， 即 f ( x) f (x) ，x也即 f ( x) f (x) ，可見 f(x)為奇函數；反過來，若f(x)為奇函數，則f (t)dt為偶函xF(x) f(t)dt C 為偶函數，可見(A) 為正確選項.方法二： 令 f(x)=1, 則取 F(x)=x+1, 排除 (B) 、 (C); 令 f(x)=x, 則取 F(x)= x22 , 排除 (D);故應選 (A

16、).【 評注 】 函數 f(x) 與其原函數F(x)的奇偶性、周期性和單調性已多次考查過考 f(x) 與其原函數F(x)的有界性之間有何關系？. 請讀者思9.【 分析 】 先由 x=3 確定 t 的取值，進而求出在此點的導數及相應的法線方程，從而 可得所需的橫坐標.詳解 】 當 x=3 時，有 t2 2t3，得t 1, t 3(舍去，此時y無意義) ，于是dydx11tt 1 2t 21，可見過點x=3( 此時 y=ln2) 的法線方程為：t1 8y ln 28(x 3)，令 y=0, 得其與x 軸交點的橫坐標為：【 評注 】注意本題法線的斜率應為特別小心，稍不注意答案就可能出錯.1ln 2

17、3, 故應 (A).8-8. 此類問題沒有本質困難，但在計算過程中應10 【 分析 】 由于未知f(x) 的具體形式，直接化為用極坐標計算顯然是困難的. 本題.詳解 】 由輪換對稱性，有a f (x) b f (y)df(x) f(y)a f (y) b f(x)dD f(y) f(x)1 a f(x) b f(y) 2 D f(x) f(y)a f (y) b f(x)f(y) f (x)d f (x, y) f (y, x) dxdy.D11 【 分析 】先分別求出2 u2x2uxyabab1 2 a b=d2. 應選 (D).2D 242【 評注 】 被積函數含有抽象函數時，一般考慮用對

18、稱性分析. 特別，當具有輪換對稱性( x,y 互換， D 保持不變)時，往往用如下方法：1f (x, y) dxdy f (y, x) dxdy2u詳解 】 因為(x y) (x y) (x y) (x y) ，xu2u2 x(x y) (x y) (x y) (x y) ，y(x y) (x y) (x y) (x y) ，2(x y) (x y) (x y) (x y) ，xy22 (x y) (x y) (x y) (x y)，y2u2 ，應選(B).y2可見有u2x評注 】 本題綜合考查了復合函數求偏導和隱函數求偏導以及高階偏導的計算。作為做 題 技 巧 ， 也 可 取 (t) t2

19、, (t) 1 ， 則 u(x, y) 2x2 2y2 2y， 容 易 驗 算 只 有2u2 x成立，同樣可找到正確選項(B).且 lim f (x) ，所以 x=0 為第二類間斷點；l i mf (x) 0， lim f(x) 1 ，所以 x=1 為第一類間斷點，故應選(D).x1x1x評注 】 應特別注意：lim x ，x1x 1xxlim. 從而 lim ex 1，x1x 1x1xlim ex 10.x113 .【 分析 】 討論一組抽象向量的線性無關性，可用定義或轉化為求其秩即可詳解 】 方法一：令k1 1 k2A( 12) 0 ，則k1 1 k2 1 1k2 2 20，(k1 k2

20、1 ) 1 k2 2 2 0 .1, 2線性無關，于是有k1k2 10,k2 20.當 20時，顯然有k10, k20，此時1， A( 12) 線性無關；反過來，若 1 ， A( 12) 線性無關，則必然有20(,否則，1 與 A( 12) = 1 1線性相關)，故應選 (B).11方法二：由于 1, A( 12) 1, 1 12 2 1 , 2，0211可見 1 ， A( 12 ) 線性無關的充要條件是20. 故應選 (B).02【 評注 】 本題綜合考查了特征值、特征向量和線性相關與線性無關的概念.14 【 分析 】 本題考查初等變換的概念與初等矩陣的性質，只需利用初等變換與初等矩陣的關系

21、以及伴隨矩陣的性質進行分析即可.【 詳解 】 由題設，存在初等矩陣E12(交換n 階單位矩陣的第1 行與第 2行所得) ，使1得E12AB ，于是B*(E12A)*A*E*12A*E12E12 1A*E12，即A E12B ,可見應選(C).【 評注 】 注意伴隨矩陣的運算性質：超級狩獵者AA* A*A AE ，當 A可逆時，A* AA 1,(AB)* B*A*.15【 分析 】 此類未定式極限，典型方法是用洛必塔法則，但分子分母求導前應先變形xxtu0x【 詳解 】 由于 f(x t)dt f (u)( du)f (u)du ,于是xxx0(x t) f(t)dt x0 f(t)dt 0tf

22、(t)dtlim xlim xx 0 x0 f(x t)dt x 0 x 0 f(u)duxf (t)dt xf (x) xf (x)limxx0 f (u)du xf (x)x0 f(t)dtf (u)du xf (x)x0 f (t)dt=lim xx 0 0 f (u)duf(0)f (0) f(0)f (x)評注 】 本題容易出現的錯誤是：在利用一次洛必塔法則后，繼續用洛必塔法則lxim0 xx0 f (t)dtf(x)f (u) du xf (x)f (x) f (x) xf (x)2錯誤的原因：f(x) 未必可導.S2(y)16 .【 分析 】 利用定積分的幾何意義可確定面積S1(

23、x), S2 (y)， 再根據S1(x)建立積分等式，然后求導引出微分方程，最終可得所需函數關系【 詳解 】 如圖，有x11S1(x)0et2(1 et)dt 2(ex x 1)，S2(y)1y(lnt(t)dt，1y由題設，得(e x 1) (ln t (t)dt，x1y而 y e ，于是 (y ln y 1) (ln t (t)dt11兩邊對 y 求導得(1) ln y ( y) ，2y故所求的函數關系為：x (y) ln y y .2y【 評注 】 本題應注意點M(x,y) 在曲線 C2上，因此滿足y ex.17【 分析 】 題設圖形相當于已知f(x) 在 x=0 的函數值與導數值，在x

24、=3 處的函數值及一階、二階導數值.【 詳解 】 由題設圖形知，f(0)=0, f (0)2; f(3)=2, f (3)2, f (3) 0.3300 f (x)(2x 1)dx330 (x x)f (x)dx 0 (x x)df (x) (x x) f (x)333=0(2x 1)df (x)(2x 1)f (x) 0 20 f (x)dx=16 2 f(3) f(0)20.【 評注 】 本題 f(x) 在兩個端點的函數值及導數值通過幾何圖形給出，題型比較新穎，綜合考查了導數的幾何意義和定積分的計算. 另外，值得注意的是，當被積函數含有抽象函數的導數時，一般優先考慮用分部積分.完全類似例題

25、見數學復習指南(理工類)P.118【例4.36,4.30】18.【 分析 】 先將 y , y 轉化為dydtd2ydt2解即可 .dy dt 1 dy【 詳解 】 y，dt dxsin t dtdy dtcost dy 1 d 2y 1dt dxsin2t dtsint dt2sintdy代入原方程，得d 2y y 0 .dt2解此微分方程，得y C1 cots C2 si nt C1x C2 1 x2 ，將 初 始 條 件 y 1, y 2 代 入 ， 有 C12,C21 . 故 滿 足 條 件 的 特 解 為x0x0y 2x1 x2.【 評注】本題的關鍵是將y , y 轉化為 dy ,

26、d2y ，而這主要是考查復合函數求一、二dt dt2階導數 .完全類似例題見數學復習指南(理工類)P.52【例2.8】19 【. 分析 】 第一部分顯然用閉區間上連續函數的介值定理；第二部分為雙介值問題，.【 詳解 】 ( I) 令 F(x) f (x) 1 x， 則 F(x)在 0， 1上連續， 且 F(0)=-10,(0,1), 使得 F( ) 0，即 f ( ) 1.f (1) f ( )1II ) 在 0, 和 ,1 上對 f(x)分別應用拉格朗日中值定理，知存在兩個不同的點(0, ),(,1)，使得 f( ) f( ) 0f(0)， f( )f()f( )f( ) 1 f( )11.

27、1【 評注 】 中值定理的證明問題是歷年出題頻率最高的部分，而將中值定理與介值定理或積分中值定理結合起來命題又是最常見的命題形式.完全類似例題見數學復習指南(理工類)P.128【例5.4】 ,P.151【例5.25】20【 分析 】 根據全微分和初始條件可先確定f(x,y) 的表達式. 而 f(x,y) 在橢圓域上的最大值和最小值, 可能在區域的內部達到，也可能在區域的邊界上達到，且在邊界上的最值又轉化為求條件極值.ff.【 詳解 】 由題設，知2x，2y，xy于是 f (x, y)x2 C(y) ，且 C (y) 2y，從而 C(y) y2 C ，再由 f(1,1)=2，得 C=2, 故 f

28、(x,y)x2y2 2.ff令 f 0, f 0 得 可 能 極 值 點 為 x=0,y=0. 且 xy2fx2(0,0)2 ，2f Bxy0， C 22f(0,0)y2(0,0)2，2B 2 AC 4 0 ，所以點(0,0) 不是極值點，從而也非最值點2再考慮其在邊界曲線x2 y 1 上的情形：令拉格朗日函數為42F(x, y, ) f (x, y) (x2 y 1) ，4fFx 2 x 2(1 )x 0, xF f y 2y 1 y 0,y y222F x2 y 1 0,4得 可 能 極 值 點 x 0, y 2,4 ； x 0, y 2,4 ； x 1,y 0,1 ；x 1,y 0,1.

29、 代入 f(x,y) 得 f(0, 2)2, f ( 1,0) 3，可見 z=f(x,y) 在區域2 2yD ( x, y) x21 內的最大值為3，最小值為-2.4【 評注 】 本題綜合考查了多元函數微分學的知識，涉及到多個重要基礎概念，特別是通過偏導數反求函數關系，要求考生真正理解并掌握了相關知識.完全類似例題見數學復習指南(理工類)P.279【例10.33】21 .【 分析 】被積函數含有絕對值，應當作分區域函數看待，利用積分的可加性分區域積分即可.詳解 】 記 D1 ( x, y) x2 y2 1, (x, y) D ，D2 ( x,y)x2y21,(x,y) D，222222x y

30、1d = (x y 1)dxdy (x y1) dxdyDD1D2122222=02 d 0 (r 1)rdr (x y 1) dxdy (x y 1)dxdyDD1=+80dx 0(22 xy121)dy02 d 0 (r 1)rdr = 4評注】形 如 積 分 f (x, y)d 、 max f (x, y), g(x, y)dDDmin f(x, y),g(x,y)d 、 f (x, y)d 、 sgn f (x,y) g(x,y)d 等的被積函DDD數均應當作分區域函數看待，利用積分的可加性分區域積分.完全類似例題見數學復習指南(理工類)P.295【例11.16】22【 分析 】向量組

31、1 , 2, 3可由向量組1 , 2 , 3線性表示，相當與方程組：ix1 1x2 2x3 3 ,i 1,2,3.均有解，問題轉化為r( 1, 2, 3) = r( 1, 2, 3 i ),i1,2,3是否均成立？這通過初等變換化解體形討論即可. 而向量組1 , 2 , 3 不能由向量組1 , 2 , 3 線性表示，相當于至少有一個向量j (j1,2,3)不能由1, 2, 3 表示，即至少有一方程組jx1 1x2 2x3 3 , j 1,2,3，無解 .詳解 】 對矩陣 A ( 1, 2, 31, 2, 3) 作初等行變換，有11a1a1a11122A ( 1, 2, 31, 2, 3)= 1 a aa4 a1220 a2a20 4 2a 3a11a0a1001a1a1220a2a200 a411 a0 a1 00 3(1 a) 1 a122a=-2 時， A 000006112030 , 顯然 2 不能由1, 2, 3線性表033示，因此a 2 ；當 a=4 時，122