1、大理知新教育導數應用一選擇題（共12小題）1（2015安徽）函數f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（）Aa0，b0，c0，d0 Ba0，b0，c0，d0Ca0，b0，c0，d0 Da0，b0，c0，d02（2014廣西）曲線y=xex1在點（1，1）處切線的斜率等于（）A2eBeC2D13（2014鄭州模擬）曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（）A B C D4（2014陜西）定積分（2x+ex）dx的值為（）Ae+2 Be+1 Ce De15（2014新課標II）若函數f（x）=kxlnx在區間（1，+）單調遞增，則k的取值范圍是（）A（，2 B（，

2、1 C2，+） D1，+）6（2014新課標II）設曲線y=axln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為y=2x，則a=（）A0 B1 C2 D37（2013新課標）已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，下列結論中錯誤的是（）AxR，f（x）=0B函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形C若x是f（x）的極小值點，則f（x）在區間（，x）單調遞減D若x是f（x）的極值點，則f（x）=08（2013遼寧）設函數f（x）滿足x2f（x）+2xf（x）=，f（2）=，則x0時，f（x）（）A有極大值，無極小值 B有極小值，無極大值C既有極大值又有極小值 D既無極大值也無極小值9（2013安徽）已知

3、函數f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1，x2，若f（x1）=x1x2，則關于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同實根個數為（）A3B4C5D610（2010新課標）如圖，質點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0（，），角速度為1，那么點P到x軸距離d關于時間t的函數圖象大致為（）ABCD11（2010全國卷）若曲線y=x2+ax+b在點（1，b）處的切線方程是xy+1=0，則（）Aa=1，b=2Ba=1，b=2Ca=1，b=2Da=1，b=212（2010全國卷）若曲線y=在點（a，）處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18，則a=（）A64B32C1

4、6D8二填空題（共4小題）13（2014江西）若曲線y=ex上點P的切線平行于直線2x+y+1=0，則點P的坐標是14（2013新課標）若函數f（x）=（1x2）（x2+ax+b）的圖象關于直線x=2對稱，則f（x）的最大值為15（2013新課標）等差數列an的前n項和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為16（2013四川）已知函數在x=3時取得最小值，則a=三解答題（共13小題）17（2015新課標II）設函數f（x）=lnx+a（1x）（）討論：f（x）的單調性；（）當f（x）有最大值，且最大值大于2a2時，求a的取值范圍18（2015北京）設函數f（x）=klnx，k

5、0（1）求f（x）的單調區間和極值；（2）證明：若f（x）存在零點，則f（x）在區間（1，上僅有一個零點19（2015新課標II）設函數f（x）=emx+x2mx（1）證明：f（x）在（，0）單調遞減，在（0，+）單調遞增；（2）若對于任意x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范圍20（2015四川）已知函數f（x）=2（x+a）lnx+x22ax2a2+a，其中a0（）設g（x）是f（x）的導函數，討論g（x）的單調性；（）證明：存在a（0，1），使得f（x）0在區間（1，+）內恒成立，且f（x）=0在區間（1，+）內有唯一解21（2015重慶）已知函數f（x）=ax

6、3+x2（aR）在x=處取得極值（）確定a的值；（）若g（x）=f（x）ex，討論g（x）的單調性22（2015山東）設函數f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中aR，（）討論函數f（x）極值點的個數，并說明理由；（）若x0，f（x）0成立，求a的取值范圍23 （2015重慶）設函數f（x）=（aR）（）若f（x）在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；（）若f（x）在3，+）上為減函數，求a的取值范圍24（2015新課標I）設函數f（x）=e2xalnx（）討論f（x）的導函數f（x）零點的個數；（）證明：當a0時，f（x）2a+aln2

7、5（2014新課標II）已知函數f（x）=exex2x（）討論f（x）的單調性；（）設g（x）=f（2x）4bf（x），當x0時，g（x）0，求b的最大值；（）已知1.41421.4143，估計ln2的近似值（精確到0.001）26（2014重慶）已知函數f（x）=+lnx，其中aR，且曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線垂直于直線y=x（）求a的值；（）求函數f（x）的單調區間與極值27（2014新課標II）已知函數f（x）=x33x2+ax+2，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線與x軸交點的橫坐標為2（）求a；（）證明：當k1時，曲線y=f（x）與直線y=kx2只有一個交點28（

8、2014新課標I）設函數f（x）=aexlnx+，曲線y=f（x）在點（1，f（1）處得切線方程為y=e（x1）+2（）求a、b；（）證明：f（x）129（2014福建）已知函數f（x）=exax（a為常數）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為1（1）求a的值及函數f（x）的極值；（2）證明：當x0時，x2ex；（3）證明：對任意給定的正數c，總存在x0，使得當x（x0，+）時，恒有x2cex參考答案與試題解析一選擇題（共12小題）1（2015安徽）函數f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（）Aa0，b0，c0，d0Ba0，b0，c0，d0

9、Ca0，b0，c0，d0Da0，b0，c0，d0【解答】解：f（0）=d0，排除D，當x+時，y+，a0，排除C，函數的導數f（x）=3ax2+2bx+c，則f（x）=0有兩個不同的正實根，則x1+x2=0且x1x2=0，（a0），b0，c0，方法2：f（x）=3ax2+2bx+c，由圖象知當當xx1時函數遞增，當x1xx2時函數遞減，則f（x）對應的圖象開口向上，則a0，且x1+x2=0且x1x2=0，（a0），b0，c0，故選：A2（2014廣西）曲線y=xex1在點（1，1）處切線的斜率等于（）A2eBeC2D1【解答】解：函數的導數為f（x）=ex1+xex1=（1+x）ex1，當x=

10、1時，f（1）=2，即曲線y=xex1在點（1，1）處切線的斜率k=f（1）=2，故選：C3（2014鄭州模擬）曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（）ABCD【解答】解：若y=x3+x，則y|x=1=2，即曲線在點處的切線方程是，它與坐標軸的交點是（，0），（0，），圍成的三角形面積為，故選A4（2014陜西）定積分（2x+ex）dx的值為（）Ae+2Be+1CeDe1【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）=（1+e）（0+e0）=e故選：C5（2014新課標II）若函數f（x）=kxlnx在區間（1，+）單調遞增，則k的取值范圍是（）A（，2B（，1C2，+）D1，+）【解答

11、】解：f（x）=k，函數f（x）=kxlnx在區間（1，+）單調遞增，f（x）0在區間（1，+）上恒成立，而y=在區間（1，+）上單調遞減，k1k的取值范圍是1，+）故選：D6（2014新課標II）設曲線y=axln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為y=2x，則a=（）A0B1C2D3【解答】解：，y（0）=a1=2，a=3故答案選D7（2013新課標）已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，下列結論中錯誤的是（）AxR，f（x）=0B函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形C若x是f（x）的極小值點，則f（x）在區間（，x）單調遞減D若x是f（x）的極值點，則f（x）=0【解答】解：f（x

12、）=3x2+2ax+b（1）當=4a212b0時，f（x）=0有兩解，不妨設為x1x2，列表如下 x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+00+f（x）單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增由表格可知：x2是函數f（x）的極小值點，但是f（x）在區間（，x2）不具有單調性，故C不正確+f（x）=+x3+ax2+bx+c=+2c，=，+f（x）=，點P為對稱中心，故B正確由表格可知x1，x2分別為極值點，則，故D正確x時，f（x）；x+，f（x）+，函數f（x）必然穿過x軸，即xR，f（x）=0，故A正確（2）當0時，故f（x）在R上單調遞增，此時不存在極值點，故D正確，C不正確；

13、B同（1）中正確；x時，f（x）；x+，f（x）+，函數f（x）必然穿過x軸，即xR，f（x）=0，故A正確綜上可知：錯誤的結論是C由于該題選擇錯誤的，故選：C8（2013遼寧）設函數f（x）滿足x2f（x）+2xf（x）=，f（2）=，則x0時，f（x）（）A有極大值，無極小值B有極小值，無極大值C既有極大值又有極小值D既無極大值也無極小值【解答】解：函數f（x）滿足，令F（x）=x2f（x），則F（x）=，F（2）=4f（2）=由，得f（x）=，令（x）=ex2F（x），則（x）=ex2F（x）=（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+）上單調遞增，（x）的最小值為（2）=e22F（2）=

14、0（x）0又x0，f（x）0f（x）在（0，+）單調遞增f（x）既無極大值也無極小值故選D9（2013安徽）已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1，x2，若f（x1）=x1x2，則關于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同實根個數為（）A3B4C5D6【解答】解：函數f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1，x2，f（x）=3x2+2ax+b=0有兩個不相等的實數根，=4a212b0解得=x1x2，而方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的1=0，此方程有兩解且f（x）=x1或x2不妨取0x1x2，f（x1）0把y=f（x）向下平移x1個單位即可得到y=

15、f（x）x1的圖象，f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有兩解把y=f（x）向下平移x2個單位即可得到y=f（x）x2的圖象，f（x1）=x1，f（x1）x20，可知方程f（x）=x2只有一解綜上可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2只有3個實數解即關于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的只有3不同實根故選：A10（2010新課標）如圖，質點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0（，），角速度為1，那么點P到x軸距離d關于時間t的函數圖象大致為（）ABCD【解答】解：通過分析可知當t=0時，點P到x軸距離d為，于是可以排除答案A，D，再根據當時，可知點P在x軸上此時點

16、P到x軸距離d為0，排除答案B，故應選C11（2010全國卷）若曲線y=x2+ax+b在點（1，b）處的切線方程是xy+1=0，則（）Aa=1，b=2Ba=1，b=2Ca=1，b=2Da=1，b=2【解答】解：y=x2+ax+b，y=2x+a，y|x=1=2+a，曲線y=x2+ax+b在點（1，b）處的切線方程為yb=（2+a）（x1），曲線y=x2+ax+b在點（1，b）處的切線方程為xy+1=0，a=1，b=2故選B12（2010全國卷）若曲線y=在點（a，）處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18，則a=（）A64B32C16D8【解答】解：y=，k=，切線方程是y=（xa），令x=0

17、，y=，令y=0，x=3a，三角形的面積是s=3a=18，解得a=64故選A二填空題（共4小題）13（2014江西）若曲線y=ex上點P的切線平行于直線2x+y+1=0，則點P的坐標是（ln2，2）【解答】解：設P（x，y），則y=ex，y=ex，在點P處的切線與直線2x+y+1=0平行，ex=2，解得x=ln2，y=ex=2，故P（ln2，2）故答案為：（ln2，2）14（2013新課標）若函數f（x）=（1x2）（x2+ax+b）的圖象關于直線x=2對稱，則f（x）的最大值為16【解答】解：函數f（x）=（1x2）（x2+ax+b）的圖象關于直線x=2對稱，f（1）=f（3）=0且f（1）

18、=f（5）=0，即1（3）2（3）2+a（3）+b=0且1（5）2（5）2+a（5）+b=0，解之得，因此，f（x）=（1x2）（x2+8x+15）=x48x314x2+8x+15，求導數，得f（x）=4x324x228x+8，令f（x）=0，得x1=2，x2=2，x3=2+，當x（，2）時，f（x）0；當x（2，2）時，f（x）0； 當x（2，2+）時，f（x）0； 當x（2+，+）時，f（x）0f（x）在區間（，2）、（2，2+）上是增函數，在區間（2，2）、（2+，+）上是減函數又f（2）=f（2+）=16，f（x）的最大值為16故答案為：1615（2013新課標）等差數列an的前n項和

19、為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為49【解答】解：設等差數列an的首項為a1，公差為d，S10=10a1+45d=0，S15=15a1+105d=25，a1=3，d=，Sn=na1+d=n2n，nSn=n3n2，令nSn=f（n），f（n）=n2n，當n=時，f（n）取得極值，當n時，f（n）遞減；當n時，f（n）遞增；因此只需比較f（6）和f（7）的大小即可f（6）=48，f（7）=49，故nSn的最小值為49故答案為：4916（2013四川）已知函數在x=3時取得最小值，則a=36【解答】解：由題設函數在x=3時取得最小值，x（0，+），得x=3必定是函數的極值點，f

20、（3）=0，f（x）=4，即4=0，解得a=36故答案為：36三解答題（共13小題）17（2015新課標II）設函數f（x）=lnx+a（1x）（）討論：f（x）的單調性；（）當f（x）有最大值，且最大值大于2a2時，求a的取值范圍【解答】解：（）f（x）=lnx+a（1x）的定義域為（0，+），f（x）=a=，若a0，則f（x）0，函數f（x）在（0，+）上單調遞增，若a0，則當x（0，）時，f（x）0，當x（，+）時，f（x）0，所以f（x）在（0，）上單調遞增，在（，+）上單調遞減，（），由（）知，當a0時，f（x）在（0，+）上無最大值；當a0時，f（x）在x=取得最大值，最大值為f（

21、）=lna+a1，f（）2a2，lna+a10，令g（a）=lna+a1，g（a）在（0，+）單調遞增，g（1）=0，當0a1時，g（a）0，當a1時，g（a）0，a的取值范圍為（0，1）18（2015北京）設函數f（x）=klnx，k0（1）求f（x）的單調區間和極值；（2）證明：若f（x）存在零點，則f（x）在區間（1，上僅有一個零點【解答】解：（1）由f（x）=f（x）=x由f（x）=0解得x=f（x）與f（x）在區間（0，+）上的情況如下：X （o，） （） f（x） 0+ f（x）所以，f（x）的單調遞增區間為（），單調遞減區間為（0，）；f（x）在x=處的極小值為f（）=，無極大值

22、（2）證明：由（1）知，f（x）在區間（0，+）上的最小值為f（）=因為f（x）存在零點，所以，從而ke當k=e時，f（x）在區間（1，）上單調遞減，且f（）=0所以x=是f（x）在區間（1，）上唯一零點當ke時，f（x）在區間（0，）上單調遞減，且，所以f（x）在區間（1，）上僅有一個零點綜上所述，若f（x）存在零點，則f（x）在區間（1，上僅有一個零點19（2015新課標II）設函數f（x）=emx+x2mx（1）證明：f（x）在（，0）單調遞減，在（0，+）單調遞增；（2）若對于任意x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范圍【解答】解：（1）證明：f（x）=m（e

23、mx1）+2x若m0，則當x（，0）時，emx10，f（x）0；當x（0，+）時，emx10，f（x）0若m0，則當x（，0）時，emx10，f（x）0；當x（0，+）時，emx10，f（x）0所以，f（x）在（，0）時單調遞減，在（0，+）單調遞增（2）由（1）知，對任意的m，f（x）在1，0單調遞減，在0，1單調遞增，故f（x）在x=0處取得最小值所以對于任意x1，x21，1，|f（x1）f（x2）|e1的充要條件是即設函數g（t）=ette+1，則g（t）=et1當t0時，g（t）0；當t0時，g（t）0故g（t）在（，0）單調遞減，在（0，+）單調遞增又g（1）=0，g（1）=e1+2

24、e0，故當t1，1時，g（t）0當m1，1時，g（m）0，g（m）0，即合式成立；當m1時，由g（t）的單調性，g（m）0，即emme1當m1時，g（m）0，即em+me1綜上，m的取值范圍是1，120（2015四川）已知函數f（x）=2（x+a）lnx+x22ax2a2+a，其中a0（）設g（x）是f（x）的導函數，討論g（x）的單調性；（）證明：存在a（0，1），使得f（x）0在區間（1，+）內恒成立，且f（x）=0在區間（1，+）內有唯一解【解答】解：（）由已知，函數f（x）的定義域為（0，+），g（x）=，當0a時，g（x）在上單調遞增，在區間上單調遞減；當a時，g（x）在（0，+）上

25、單調遞增（）由=0，解得，令（x）=x2，則（1）=10，（e）=故存在x0（1，e），使得（x0）=0令，u（x）=x1lnx（x1），由知，函數u（x）在（1，+）上單調遞增即a0（0，1），當a=a0時，有f（x0）=0，f（x0）=（x0）=0由（）知，f（x）在（1，+）上單調遞增，故當x（1，x0）時，f（x）0，從而f（x）f（x0）=0；當x（x0，+）時，f（x）0，從而f（x）f（x0）=0當x（1，+）時，f（x）0綜上所述，存在a（0，1），使得f（x）0在區間（1，+）內恒成立，且f（x）=0在區間（1，+）內有唯一解21（2015重慶）已知函數f（x）=ax3+x2

26、（aR）在x=處取得極值（）確定a的值；（）若g（x）=f（x）ex，討論g（x）的單調性【解答】解：（）對f（x）求導得f（x）=3ax2+2xf（x）=ax3+x2（aR）在x=處取得極值，f（）=0，3a+2（）=0，a=；（）由（）得g（x）=（x3+x2）ex，g（x）=（x2+2x）ex+（x3+x2）ex=x（x+1）（x+4）ex，令g（x）=0，解得x=0，x=1或x=4，當x4時，g（x）0，故g（x）為減函數；當4x1時，g（x）0，故g（x）為增函數；當1x0時，g（x）0，故g（x）為減函數；當x0時，g（x）0，故g（x）為增函數；綜上知g（x）在（，4）和（1，0

27、）內為減函數，在（4，1）和（0，+）內為增函數22（2015山東）設函數f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中aR，（）討論函數f（x）極值點的個數，并說明理由；（）若x0，f（x）0成立，求a的取值范圍【解答】解：（I）函數f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中aR，x（1，+）=令g（x）=2ax2+axa+1（1）當a=0時，g（x）=1，此時f（x）0，函數f（x）在（1，+）上單調遞增，無極值點（2）當a0時，=a28a（1a）=a（9a8）當時，0，g（x）0，f（x）0，函數f（x）在（1，+）上單調遞增，無極值點當a時，0，設方程2ax2+axa+1=0的兩個實數

28、根分別為x1，x2，x1x2x1+x2=，由g（1）0，可得1x1當x（1，x1）時，g（x）0，f（x）0，函數f（x）單調遞增；當x（x1，x2）時，g（x）0，f（x）0，函數f（x）單調遞減；當x（x2，+）時，g（x）0，f（x）0，函數f（x）單調遞增因此函數f（x）有兩個極值點（3）當a0時，0由g（1）=10，可得x11x2當x（1，x2）時，g（x）0，f（x）0，函數f（x）單調遞增；當x（x2，+）時，g（x）0，f（x）0，函數f（x）單調遞減因此函數f（x）有一個極值點綜上所述：當a0時，函數f（x）有一個極值點；當0a時，函數f（x）無極值點；當a時，函數f（x）有

29、兩個極值點（II）由（I）可知：（1）當0a時，函數f（x）在（0，+）上單調遞增f（0）=0，x（0，+）時，f（x）0，符合題意（2）當a1時，由g（0）0，可得x20，函數f（x）在（0，+）上單調遞增又f（0）=0，x（0，+）時，f（x）0，符合題意（3）當1a時，由g（0）0，可得x20，x（0，x2）時，函數f（x）單調遞減又f（0）=0，x（0，x2）時，f（x）0，不符合題意，舍去；（4）當a0時，設h（x）=xln（x+1），x（0，+），h（x）=0h（x）在（0，+）上單調遞增因此x（0，+）時，h（x）h（0）=0，即ln（x+1）x，可得：f（x）x+a（x2x）=

30、ax2+（1a）x，當x時，ax2+（1a）x0，此時f（x）0，不合題意，舍去綜上所述，a的取值范圍為0，123（2015重慶）設函數f（x）=（aR）（）若f（x）在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；（）若f（x）在3，+）上為減函數，求a的取值范圍【解答】解：（I）f（x）=，f（x）在x=0處取得極值，f（0）=0，解得a=0當a=0時，f（x）=，f（x）=，f（1）=，f（1）=，曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程為，化為：3xey=0；（II）解法一：由（I）可得：f（x）=，令g（x）=3x2+（6a）x+a，由g

31、（x）=0，解得x1=，x2=當xx1時，g（x）0，即f（x）0，此時函數f（x）為減函數；當x1xx2時，g（x）0，即f（x）0，此時函數f（x）為增函數；當xx2時，g（x）0，即f（x）0，此時函數f（x）為減函數由f（x）在3，+）上為減函數，可知：x2=3，解得a因此a的取值范圍為：解法二：由f（x）在3，+）上為減函數，f（x）0，可得a，在3，+）上恒成立令u（x）=，u（x）=0，u（x）在3，+）上單調遞減，au（3）=因此a的取值范圍為：24（2015新課標I）設函數f（x）=e2xalnx（）討論f（x）的導函數f（x）零點的個數；（）證明：當a0時，f（x）2a+a

32、ln【解答】解：（）f（x）=e2xalnx的定義域為（0，+），f（x）=2e2x當a0時，f（x）0恒成立，故f（x）沒有零點，當a0時，y=e2x為單調遞增，y=單調遞增，f（x）在（0，+）單調遞增，又f（a）0，假設存在b滿足0b時，且b，f（b）0，故當a0時，導函數f（x）存在唯一的零點，（）由（）知，可設導函數f（x）在（0，+）上的唯一零點為x0，當x（0，x0）時，f（x）0，當x（x0+）時，f（x）0，故f（x）在（0，x0）單調遞減，在（x0+）單調遞增，所欲當x=x0時，f（x）取得最小值，最小值為f（x0），由于=0，所以f（x0）=+2ax0+aln2a+aln

33、故當a0時，f（x）2a+aln25（2014新課標II）已知函數f（x）=exex2x（）討論f（x）的單調性；（）設g（x）=f（2x）4bf（x），當x0時，g（x）0，求b的最大值；（）已知1.41421.4143，估計ln2的近似值（精確到0.001）【解答】解：（）由f（x）得f（x）=ex+ex2，即f（x）0，當且僅當ex=ex即x=0時，f（x）=0，函數f（x）在R上為增函數（）g（x）=f（2x）4bf（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，則g（x）=2e2x+e2x2b（ex+ex）+（4b2）=2（ex+ex）22b（ex+ex）+（4b4）=2（ex+

34、ex2）（ex+ex+22b）ex+ex2，ex+ex+24，當2b4，即b2時，g（x）0，當且僅當x=0時取等號，從而g（x）在R上為增函數，而g（0）=0，x0時，g（x）0，符合題意當b2時，若x滿足2ex+ex2b2即，得，此時，g（x）0，又由g（0）=0知，當時，g（x）0，不符合題意綜合、知，b2，得b的最大值為2（）1.41421.4143，根據（）中g（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，為了湊配ln2，并利用的近似值，故將ln即代入g（x）的解析式中，得當b=2時，由g（x）0，得，從而；令，得2，當時，由g（x）0，得，得所以ln2的近似值為0.69326

35、（2014重慶）已知函數f（x）=+lnx，其中aR，且曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線垂直于直線y=x（）求a的值；（）求函數f（x）的單調區間與極值【解答】解：（）f（x）=+lnx，f（x）=，曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線垂直于直線y=xf（1）=a1=2，解得：a=（）由（）知：f（x）=+lnx，f（x）=（x0），令f（x）=0，解得x=5，或x=1（舍），當x（0，5）時，f（x）0，當x（5，+）時，f（x）0，故函數f（x）的單調遞增區間為（5，+）；單調遞減區間為（0，5）；當x=5時，函數取極小值ln527（2014新課標II）已知函數f（x）=x33x2+ax+2，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線與x軸交點的橫坐標為2（）求a；（）證明：當k1時，曲線y=f（x）與直線y=kx2只有一個交點【解答】解：（）函數的導數f（x）=3x26x+a；f（0）=a；則y=f（x）在點（0，2）處的切線方程為y=ax+2，切線與x軸交點的橫坐標為2，f（2）=2a+2=0，解得a=1（）當a=1時，f（x）=x33x2+x+2，設g（x）=f（x）kx+2=x33x2+（1k）x+4，由題設知1k0，當x0時，g（x）=3x26x+1k0，g（