1、專題07分式的化簡與求值閱讀與思考給出一定的條件，在此條件下求分式的值稱為有條件的分式求值.而分式的化簡與求值是緊密相連的，求值之前必須先化簡， 化簡的目的是為了求值， 先化簡后求值是解有條件的分式的化簡與 求值的基本策略.解有條件的分式化簡與求值問題時，既要瞄準目標.又要抓住條件，既要根據(jù)目標變換條件.又要依據(jù)條件來調(diào)整目標，除了要用到整式化簡求值的知識方法外，還常常用到如下技巧：1.恰當引入?yún)?shù)；2取倒數(shù)或利用倒數(shù)關(guān)系；3拆項變形或拆分變形；4.整體代入； 5利用比例性質(zhì)等.例題與求解【例I】已知a2 -3a 1 = 0，則代數(shù)式3斧的值為（“希望杯”邀請賽試題）解題思路:目前不能求出a的

2、值，但可以求出a 丄=3,需要對所求代數(shù)式變形含aa【例 2】已知一列數(shù) a ,a2,a3, a4,a5, a6,a7,且 6=8 , a7 =5832 ,ai_ a?_ a3a2 a3 a4屯二色二圭，則a5為（a5a6a7A. 648B. 832C. 1168D. 1944（五城市聯(lián)賽試題）解題思路：引入?yún)?shù)k，把印L a7用k的代數(shù)式表示，這是解決等比問題的基本思路.【例 3】x y z 二 3a(a = 0).求(x _a)(y _a) (y _a)(z _a) (z_a)(x _a) (x -a)2 +(y -a)2 +(z-a)2（宣州競賽試題） 解題思路： 觀察發(fā)現(xiàn)，所求代數(shù)式是

3、關(guān)于x-a、y-a、z-a的代數(shù)式，而條件可以拆成x-a、y-a、z-a的等式，因此很自然的想到用換元法來簡化解題過程.【例4】 已知=1,- =2,- =3,求x的值.（上海市競賽試題）考慮取倒數(shù)，將方程x + y y +z z +x解題思路：注意到聯(lián)立等式得到的方程組是一個復雜的三元一次方程組, 組化為簡單的形式.111i【例5】 不等于0的三個正整數(shù) a,b,c滿足- - -=1一，求證：a,b,c中至少有兩個互 a b c a +b +c為相反數(shù).解題思路：a,b,c中至少有兩個互為相反數(shù)，即要證明（a b）（b c）（c a） =0 .（北京市競賽試題）【例6】 已知a,b,c為正整

4、數(shù)，滿足如下兩個條件：a b 32;b c -a c a -b a b -c 1求證：以a, b, c為三邊長可以構(gòu)成一個直角三角bcacab 4形.解題思路：本題熟記勾股定理的公式即可解答.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）能力訓練卄 a b c d mab+c d 砧佔曰1 .若，則的值是b c d a a +b c + d（“希望杯”邀請賽試題）2.已知x2 -3x 12才，則 x4-9x2 1（廣東競賽試題）3.若 a x = 1998,b x =1999, c ：卜:卜x = 2000 且 abc = 24，則ab bc ac a b c(“縉云杯”競賽試題)4.已知2 x 3xy - 2 y

5、3?則11=x -2xy _ y5xy5.如果1 1 a1,b -二 1 ,那么1 c(bcaA .1B .2C的值為.6.設(shè)有理數(shù)a,b,c都不為0,且a b 0 ,11一D .24（“新世紀杯”競賽試題）111曲則2*2, 2的,2 2 , . 2 2 Jb c-a c a-b a b -c).D .不能確定7.9.值為（A .正數(shù)).B .負數(shù).零已知 4x3y6z = 0,x 2y -7z 二 0(xyz = 0),C. 22 2 22x 3y 6z的值為(x25y2 7z2D .不能確定已知x -mx 13x3 3,.-m x 1的值為（1m3 3C.13m2 -213m2 12 c

6、 求a bc 2 b ac 2 c aba2b2的值.111 2 2 210 .已知xy z 其中x,y,z互不相等，求證 x y z =1 .y z x（天津市競賽試題）111 111 .設(shè) a,b,c 滿足一a b c a +b +c111 1求證 PT *=2r-1yy .（門為自然數(shù)）2n二 .2n2n 2n .2n 2na b c a b c（波蘭競賽試題）12.三角形三邊長分別為 a,b,c.（1） 若a a，求證：這個三角形是等腰三角形；b c b +c a1 1 1 1（2）若1 一丄丄二一，判斷這個三角形的形狀并證明.a b c a b +c13 .已知 ax = by 二

7、cz =1，求11a41 11 b41 c41 1 11x41y41z4的值.（“華杯賽”試題）14.解下列方程（組）：/八 x+1 丄 x+8 x+2 丄 x + 7（1）x 2 x 9 x 3 x 8題）（2） 5x -96 x -8 4x -19 2-21x T9 x 9 x 6 x 8（江蘇省競賽試（“五羊杯”競賽試題）1 1 1I =x y z 2（3）丄Jy z+x 31 1 1 r =z x y 4（北京市競賽試題）1.2.3.4.5.6.7.a設(shè) a, b, c 滿足 a b c=0 , abc 0，若 x =b c1 1 1 1 1 1二 a( ) b( ) c( )，則 x

8、 2 y 3xy 二b_c + a 則(a+b)(b+c)(c+a)_ b ，、b c c a aa +b b +c若abc = 0 ,且cabc設(shè)a,b,c均為非零數(shù),且 ab = 2(a b), be = 3(b c), ac = 4(a c),x已知x, y,z滿足 -y+z x+z y+x=1，則y + z2 2 2x y z + +x z y x設(shè)a,b,c是三個互不相同的正數(shù)，已知A. 3b = 2cba b aB .3a =2bC. 2b = c丄1 1 /4 ,那么丄.丄.丄2 . 2 2ab cabcB .8C. 16如果a b 0 ,的值為（a -c c2已知x -5x -

9、1990，則代數(shù)式A. 1996B. 1997x3y 2x -5y6x5y，則的值為K=-，那么有（x-2）4（X-1）2的值為（(x-1)(x-2)C. 19984x25xy 6y2 的值為(x -2xy 3yC. 5).20).).D . 19999).（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）9.已知非零實數(shù) a,b, c滿足a b 0 .(1) 求證：a3 b3 c3 =3abc ；/ 、亠,a b i b c 丄 c a、, c 丄 a 丄 b 、(2) 求()()的值.c a b a b b c c a（北京市競賽試題）210.已知 a2 4a 1=0，且=3 .求m的值.42a ma 1322a

10、ma 2a（北京市競賽試題）11.完成同一件工作，甲單獨做所需時間為乙、丙兩人合做所需時間的 p倍，乙單獨做所需時間為甲、丙兩人合做所需時間的 q倍；丙單獨做所需時間為甲、乙兩人合做所需時間的x倍，求證：x = p *q 十2 . （pq -1 鼻 0）pq -1（天津市競賽試題）12.222b +c -a設(shè)A =-2bc,Ba2c2 -b22ac,Cb2 a2 -c22ab求證：A 200220022002八ABC=3.13.某商場在一樓和二樓之間安裝了一自動扶梯， 自動扶梯上走到二樓（扶梯行駛，兩人也走梯）以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時從.如果兩人上梯的速度都是勻速的，每次只跨1級,（天津市競賽試題）且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的2倍.已知男