1、分式方程分分母.整式方程北師大版八年級下冊數(shù)學(xué)重難點突破知識點梳理及重點題型穩(wěn)固練習(xí)?分式?全章復(fù)習(xí)與穩(wěn)固提升【學(xué)習(xí)目標】1 .理解分式的概念,能求出使分式有意義、分式無意義、分式值為0的條件.2 .了解分式的根本性質(zhì),掌握分式的約分和通分法那么.3 .掌握分式的四那么運算.4 .結(jié)合實際情況,分析和解決實際問題,討論可以化為一元一次方程的分式方程,掌握方程的解法,體會解方程中的化歸思想.【知識網(wǎng)絡(luò)】列共實際問I-f實際問題*的解要點一、分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1 .分式一般地,如果A、B表示兩個整式,并且B中含有字母,那么式子上叫做分式.其中AB叫做分子,B叫做分母.要點詮釋：分式中的分母表示除

2、數(shù),由于除數(shù)不能為0,所以分式的分母不能為0,即當(dāng)BW0時,分式公才有意義.B2 .分式的根本性質(zhì)A_AxMAAMBBxM"BBmMm為不等于0的整式3 .最簡分式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.如果分子、分母中含有公因式,要進行約分化簡.要點二、分式的運算1 .約分利用分式的根本性質(zhì),把一個分式的分子和分母中的公因式約去,不改變分式的值,這樣的分式變形叫做分式的約分.2 .通分利用分式的根本性質(zhì),使分子和分母同乘以適當(dāng)?shù)恼?不改變分式的值,把異分母的分式化為同分母的分式,這樣的分式變形叫做分式的通分.3 .根本運算法那么分式的運算法那么與分數(shù)的運算法那么類似,具體運算法那

3、么如下：(1)加減運算a土b=a生錯誤！未找到引用源.；同分母的分式相加減,分母不變,把分子相ccc加減.acad±be-±-=；異分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质?再加減.bdbdacac(2)乘法運算一,一=,其中a、b、c、d是整式,bd#0.bdbd兩個分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母acadad(3)除法定算一丁一=一=,其中ab、c、d是整式,bcd豐0.bdbcbc兩個分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后,與被除式相乘(4)乘方運算(3=上分式的乘方,把分子、分母分別乘方.4 .分式的混合運算順序先算乘方,再算乘除,

4、最后加減,有括號先算括號里面的要點三、分式方程1 .分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.2 .分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.3 .分式方程的增根問題增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件,當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后,方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴大了,如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0,那么就會出現(xiàn)不適合原方程的根-增根.要點詮釋：由于解分式方程可能出現(xiàn)增根,所以解分式方程必須驗根.驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中,看它是否為0,如果為0,即為增根,不為0,就是原方程的解.要點四、分式方

5、程的應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似,但要稍復(fù)雜一些.解題時應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量等關(guān)鍵環(huán)節(jié),從而正確列出方程,并進行求解【典型例題】1A.2x11B.2x-1C.1-3x2-x5x3D.2x21【思路點撥】根據(jù)分式有意義的條件來判斷【答案】D;【解析】一個分式有無意義,取決于它的分母是否等于0.即假設(shè)一B是一個分式,那么一有意義BQBW0.而選項D,分母2x2+1>1,所以無論x取何值5x32x21定有意義.【總結(jié)升華】分式有意義的條件是分母不為零,無意義的條件是分母為零2、不改變分式的值,把以下各式分子與

6、分母中各項的系數(shù)都化為最簡整數(shù).14.ab(1)2_3_11.a-b34【答案與解析】(2)0.3x+0.2y0.05x-y'(3)2320.4x一y10-0.6y214._a_b解：(1)2311.a-b344-b1236a16b11,_ab12344a-3b/c、0.3x0.2y(0.3x0.2y)10030x20y(2)=5(6x,4y)6x4y0.05x-y(0.05x-y)1005x-100y5(x-20y)x-20y_2_2_2_2(3)序式二(0.4x0.3y)100=40x30y八工(0.25x2-0.6y2)10025x2-60y2_2_25(8x-6y)2一25(5

7、x-12y)2_2'5x-12y【總結(jié)升華】在確定分子和分母中所有分母的最小公倍數(shù)時,乘時分子、分母要加括號,注意不要漏乘.類型二、分式運算要把小數(shù)先化成最簡分數(shù)；相1123、計算：+1-x1x1x1x4【思路點撥】此題如果直接通分計算太繁瑣,觀察比擬發(fā)現(xiàn),前兩個分式分母之積為平方差類型一、分式及其根本性質(zhì)、2021筆口模擬以下各式中,不管字母取何值時分式都有意義的是公式,通分后與第三個分式的分母又符合平方差公式,以此類推可解此題.【答案與解析】解：原式224448+X242.4-.4.4-.81-X1x1x1-x1x1-x【總結(jié)升華】此類題在進行計算時采用“分步通分的方法,逐步進行計

8、算,到達化繁為簡的目的.在解題時既要看到局部特征,又要全局考慮.舉一反三:【變式】計算1111+a(a1)(a1)(a2)(a2)(a3)(a2005)(a2006)aa1a1a2a2a3a2005a20061T2111+-+a2a3a20051a200611a2006a2006一aa2006-a(a2006)a(a2006)-a22006a類型三、分式條件求值的常用技巧44、x+1=4,求4x2的值.xx4x21【思路點撥】直接求值很困難,根據(jù)其特點和條件,能夠求出其倒數(shù)的值,這樣便可求2出二之一的值.xx1【答案與解析】解：方法(x4x21)-：-x2=x212112.1=,x+1=.x+

9、-1,而x+_=4xxx42.2.xx1,Lx1-2-15,-42=,xxx11522(方法二：原式:4'X2=1一(xx1)-：xx2Tx【總結(jié)升華】1此題運用轉(zhuǎn)化思想將所求分式通過分式的根本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為分式的代數(shù)式來求值.2根據(jù)完全平方公式,熟練掌握42,xx1»2N間的關(guān)系,x利用它們之間的關(guān)系進行互相轉(zhuǎn)化.舉一反三：【變式】2021春？惠州校級月考假設(shè)0vxv1,且升工6,求K-1的值.XX【答案】解：:x+l=6,(x-1)2=(x+工)2-4=36-4=32,x-4二%百,K又<0<x<1,x-=-4M.4a-5b-6cH7a+4b15c=0,求一

10、222-的值.a2b3cX5、設(shè)abc=0,且3a+2b-7c=0,【答案與解析】3a2b-7c=0a=c解：解關(guān)于a、b的方程組a得<7a4b-15c=0b=2ca=c,把?代入原式中,b=2c2 _2_22.原式=4c-52c1=烏_=.c222c23c212c26【總結(jié)升華】當(dāng)所求分式的分子、公母無法約分,也無法通過解方程組后代入求值時,假設(shè)將兩個三元一次方程中的一個未知數(shù)當(dāng)作數(shù)時,即可通過解方程組代入求值.舉一反三：【變式2x2-xy-3y2=0,且x0y,求x2的值.xy-x-y【答案】解：由于2x2xy3y2=0,所以(xy)(2x-3y)=0,所以x+y=0或2x3y=0,

11、又由于x#y,所以x+y#0,2所以2x-3y=0,所以y=2x,3y一x-y2x2x-x32-x-3x3類型四、分式方程的解法6、解方程x-25(x3)(x5)(x3)(x-5)【答案與解析】解：原方程整理得:635(x5)(x-5)-(x3)(x5)(x3)(x-5)方程兩邊同乘以(x+3)(x+5)(x-5)得:6(x3)-3(x-5)5(x5)去括號,移項合并同類項得：2x=8,x=4.檢驗：把x=4代入(x+3)(x+5)(x+5)(x5)#0.x=4是原方程的根.【總結(jié)升華】解分式方程的根本思想是：設(shè)法將分式方程“轉(zhuǎn)化為整式方程,去分母是解分式方程的一般方法,在方程兩邊同乘以各分式

12、的最簡公分母,使分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.但要注意可能會產(chǎn)生增根,所以必須驗根.舉一反三：【變式】(2021春？靖江市校級月考)假設(shè)關(guān)于x的方程'=二有增根,求增根J-戈3x3k-3和k的值.【答案】解：最簡公分母為3x(x-1),去分母得：3x+3k-x+1=-2x,由分式方程有增根,得到x=0或x=1,把x=0代入整式方程得：k=,1把x=1代入整式方程得：k=3類型五、分式方程的應(yīng)用C7、(2021?揚州)揚州建城2500年之際,為了繼續(xù)美化城市,方案在路旁栽樹1200棵,由于志愿者的參加,實際每天栽樹的棵數(shù)比原方案多20%,結(jié)果提前2天完成,求原方案每天栽樹多少棵？【思路點撥】設(shè)原方案每天種樹x棵,那么實際每天栽樹的棵數(shù)為(1+20%),根據(jù)題意可得,實際比方案少用2天,據(jù)此列方程求解.【答案與解析】解：設(shè)原方案每天種樹x棵,那么實際每天栽樹的棵數(shù)為(1+20%),由題意得,衛(wèi)組9-120°=2工(1+20%)x解得：x=100,經(jīng)檢驗,x=100是原分式方程的解,且符合題意.答：原方案每天種樹100棵.【總結(jié)升華】此題考查了分式方程的應(yīng)用,解答此題的關(guān)鍵是讀懂題意,設(shè)出未知數(shù),找出適宜的等量關(guān)系,列方程求解,注意檢驗.舉一反三：【變式】某項工程限期完成,甲隊獨做正好按期完成,乙隊獨做那么要誤期