1、?導數在研究函數中的應用一函數的單調性與導數?說課稿周國會一、教材分析1教材的地位和作用“函數的單調性和導數這節新知識是在教材選修11,第三章?導數及其應用?的函數的單調性與導數.本節方案兩個課時完成.在練習解二次不等式、含參數二次不等式的問題后,結合導數的幾何意義回憶函數的單調性與函數的關系.例題精講強化函數單調性的判斷方法,例題的選擇有梯度,由無參數的一般問題轉化為解關于導函數的不等式,再解關于含參數的問題,最后提出函數單調性與導數關系逆推成立.培養學生數形結合思想、轉化思想、分類討論的數學思想.能利用導數研究函數的單調性；會求函數的單調區間.在高考中常利用導數研究函數的單調性,并求單調區

2、間、極值、最值、以及利用導數解決生活中的優化問題.其中利用導數判斷單調性起著根底性的作用,形成初步的知識體系,培養學生掌握一定的分析問題和解決問題的水平.一知識與技能目標：1、能探索并應用函數的單調性與導數的關系求單調區間；2、能解決含參數函數的單調性問題以及函數單調性與導數關系逆推.二過程與方法目標：1、通過本節的學習,掌握用導數研究函數單調性的方法.2、培養學生的觀察、比擬、分析、概括的水平,數形結合思想、轉化思想、分類討論的數學思想.三情感、態度與價值觀目標：1、通過在教學過程中讓學生多動手、多觀察、勤思考、善總結,2、培養學生的探索精神,滲透辯證唯物主義的方法論和熟悉論教育.激發學生獨

3、立思考和創新的意識,讓學生有創新的時機,充分體驗成功的喜悅,開發了學生的自我潛能.四教學重點,難點教學重點：利用導數研究函數的單調性、求函數的單調區間.二、教法分析針對本知識點在高考中的地位、作用,以及學生前期預備根底,應注重理解函數單調性與導數的關系,進行合理的推理,引導學生明確求可導函數單調區間的一般步驟和方法,無參數的一般問題轉化為解關于導函數的不等式.解關于含參數的問題,注意分類討論點的確認,靈活應用函數的單調性求參數的取值范圍.采用啟發式教學,強調數形結合思想、轉化思想、分類討論的數學思想的應用,培養學生的探究精神,提升語言表達和概括水平,提升學生提出問題、分析問題、解決問題的水平,

4、形成良好的思維品質.啟發誘導、研究探討、類比聯想、總結反思、學會應用、開展潛能、形成水平、提升素質.同時給予存在著數學學科根底知識較為薄弱,對數學學習有一定的困難學生鼓勵性評價調動參與的積極性,“面向全體學生等教學思想,貫穿于課堂教學之中.三、學法指導教師是教學的主導,學生是教學的主體.教學矛盾的主要方面是學生的學.學是中央,會學是目的.因此,在教學中要不斷指導學生學會學習.學生經過會考復習對根本初等函數掌握較扎實,前面復習了函數的單調性的根本概念,判斷方法、導數的概念,以及導數的計算,為綜合應用導數與函數單調性作好充分的準備.但學生學習根底還存在較大的分化,應抓住根本概念,強化根底知識、根本

5、技能、根本方法的練習,循序漸進的提升,因此在引入和例題上注重梯度、注重類比、注重數學思想.增加了學生主動參與的時機,增強了參與意識,教給學生獲取知識的途徑；思考問題的方法.使學生真正成為教學的主體.也只有這樣做,才能使學生“學有新“思,“思有所“得,“練有所“獲.學生才會逐步感到數學美,體會成功的喜悅,從而提升學生學習數學的興趣；也只有這樣做,才能適應素質教育下培養“創新型人才的需要.四、教學流程【教學過程】一.回憶與思考1、判斷函數的單調性有哪些方法？比方判斷y=x2的單調性,如何進行？(分別用定義法、圖像法完成)2、如果遇到函數：y=x3-3x判斷單調性呢？還有其他方法嗎？二.新知探究函數

6、的單調性與導數之間的關系【情景引入】函數是客觀描述世界變化規律的重要數學模型,研究函數時,了解函數的增與減、增減的快與慢以及函數的最大值或最小值等性質是非常重要的.通過研究函數的這些性質,我們可以對數量的變化規律有一個根本的了解.函數的單調性與函數的導數一樣都是反映函數變化情況的,那么函數的單調性斤"與函數的導數是否有著某種內在的聯系呢？Tqx【思考】如圖(1),它表示跳水運動中高度h隨!時間t變化的函數h(t)=-4.9t2+6g+10的圖像,圖|1(2)表示高臺跳水運發動的速度v隨時間t變化的函數v(t)=h'(t)=-9.8t+6.5的圖像.運發動從起跳到最'高

7、點,以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別？【引導】隨著時間的變化,運發動離水面的高度的變化有什么趨勢？是逐漸增大還是逐步減小？【探究】通過觀察圖像,我們可以發現：(1)運發動從起點到最高點,離水面的高度h隨時間t的增加而增加,即h(t)是增函數.相應地,v(t)=h(t)>0.(2)從最高點到入水,運發動離水面的高h隨時問t的增加而減少,即h(t)是減函數.相應地,v(t)=h'(t)<0.【思考】導數的幾何意義是函數在該點處的切線的斜率,函數圖象上每個點處的切線的斜率都是變化的,那么函數的單調性與導數有什么關系呢？【引導】可先分析函數的單調性與導數的符號之間的

8、關系.提出問題2:上例得出的結果是不是具有一般性？【設計意圖】新課標強調,要“增強幾何直觀,重視圖形在數學學習中的作用,鼓勵學生借助直觀進行思考.所以,我在此處讓學生借助幾何直觀理解函數的單調性與導數的關系,并用幾何畫板動態演示,有效促進了學生探索問題的本質.(三)追蹤成果深入探究數鼓勵學生發為突破本節課的難點,我通過繼續舉例,引導學生進一步探究:探討：函數的單調性與其導函正負的關系,進一步引導學生經歷從具體實例揭示數學本質的過程,現數學的規律和解決問題的途徑,使他們經歷知識的形成過程.通過學案,展示學生的探究成果：XW(-oo,y)時fx)0b函數y=x的正頁函數y=f(x)單調函數y=f(

9、X)y=X2y-xxw(-°o,0)時,f'(x)_0函數y=f(x)單調xw(0,y)時,f'(x)_0函數y=f(x)單調3XW(-0O,0)時,f'(x)_0函數y=f(x)單調y=xxw(0,y"H,f'(x)_0函數y=f(x)單調1yXXW(i0)時,f'(x)_0函數y=f(x)單調xW(0,也)時,f'(x)_0函數y=f(x)單調對所展示的學生成果予以及時的鼓勵和肯定遞減,那么.【思考】函數在某個點處的導數值與函數在該點處的單調性是怎樣的關系?【探究】如圖,導數f'(xo)表示函數f(x)在點(xo9

10、)處的切線的斜率.在X=X0處,f(Xo)O,切線是式的,這時,函數f(x)在附近單調;在X=X1處,f'(x0)<0,切線是“式的,這時,函數f(X)在X1附近單調【設計意圖】上述探究所得結論將是后面利用導數求函數單調區間的理論依據,重要性不言而喻.而學生只學習了導數的意義和一些根本運算,要想得到嚴格的證實不現實.因此,我采用由易到難,逐步過渡的教學策略,讓學生進一步直觀觀察,并借助幾何畫板動態演示,分析問題的本質.(四)歸納結論揭示本質經歷上述探究之后,將學生分成6小組,進行討論交流,揭示函數的單調性與導數的本質關系,讓小組派代表歸納結論.對答復以下問題的學生進行及時鼓勵.在

11、此根底上,我和學生共同完善結論,并板書結論：函數的單調性與其導函數正負的關系：在某個區間(a,b)內,假設f'(x)>0,那么f(x)在(a,b)上是增函數；假設f'(x)<0,那么在f(x)(a,b)上是減函數.假設f(x)=0,那么為常數函數(與y軸平行)強調正確理解某個區間的含義,它必須是在定義域內的某個區間.考慮到本節課堂容量較大,這里沒有提到函數在個別點處導數為零不影響單調性的情況(如y=x3在x=0處),這一問題將在第二課時探究.(二)例題精講例1.判斷以下函數的單調性,并求出單調區問：一2一一(1)f(x)=x-2x-3;32(2) f(x)=2x-3

12、x-1;(3)f(x)=sinx-x,x(0,二).【設計意圖】求單調區間是導數的一個重要應用,也是本節重點.通過例1(1),引導學生得出用導數法求單調區間的解題步驟,并給學生示范；通過例1(2),讓學生在黑板解答,進一步標準解題步驟；通過例1(3),答復本節剛開始提出的問題,解決學生的迷惑.體會用導數解決函數單調性時的有效性、優越性.練習(1)f(x)=x3-3x2-2f(x)=xlnx分析：(1)學生動手解題,得出單調區間；(2)學生分析求可導函數單調區間的一般步驟和方法：確定定義域；求f'(x)、令f(x)=0得實根；間斷點與根分區間；確定各開區間的符號,得出結論.(3)提出可否

13、直接解關于導函數的不等式,列出、解出.例1.導函數f'(x)的以下信息：當3Vx<5時,f'(x)<0;當x<3或x>5時,f'(x)>0;當x=3或x=2時,f'(x)=0.試畫出函數f(x)圖象的大致形狀.【設計意圖】應用所學,使具體知識形成方法和技能.鼓勵學生先自己動手,培養學生積極主動的學習態度.再通過教師示范,培養學生良好的作圖習慣.對于學生在分析過程中出現的問題,及時指正.此題是一道開放性的題目,學生的答案也許圖象可能向內彎曲,可能向外彎曲,也可能是條直線.舉典例進行說明：左圖是折線圖,右圖是平滑的曲線,追問：兩種做法是

14、否都行呢？解決方法：讓學生回憶前面所學習,導數為零的點的附近圖象應該幾乎沒有升降變化,而折點附近圖象升降變化很大,讓學生再次動手操作,得到正確圖如上,右圖.例題2、求函數f(x)=x3-mx2+1的單調減區間.分析：(1)學生觀察題目,發現與上例不同之處？如何解決？(2)學生解題得出結果；(3)反思：解關于含參數的導函數問題,應對參數進行討論(抓住“討論點以及其完整性).(三)課堂小結：導數與單調性的關系影響到后面函數與極值、最值的求法,對后續學習有著重要地位,再次強調掌握：(1)利用導數研究函數的單調性的步驟,并與不等式、不等式的解法相結合,注重對參數的討論；(2)函數單調性與導數關系的充要性；(3)本節課用到的數學思想方法：數形結合、分類討論、轉化思想以及別離變量的方法.(四)作業布置：1、4、函數f(x)=x3-ax-1,假設在實數集R上單調遞增,求實數a的取值范圍；七.板書設計附：板書設計函數的單調性與導數函數單調性與導數的關系三、利用導數求單調性的步驟例題講解例1:例2:另解：四、