1、正、余弦定理教學設計1、 教學對象授課對象系安徽省亳州市亳州一中南校學生，屬中上等學習水平，并具備一定的自學能力和推理能力。2、 教材分析所講內容為普通高中課程標準實驗教科書數學（必修5）»（北師大版）第2章的正（余）弦定理，對于這兩個定理的推導，書上是用向量法進行證明，并且把正弦定理設在余弦定理之前。教材之所以這樣安排主要是基于以下幾點考慮：1 .根據初中解直角三角形的經驗，學生更容易發現正弦定理，如不用高中知識，學生發現余弦定理則較難。2 .正弦定理與余弦動力都刻畫了三角形邊角間的度量規律，但正弦定理反映的邊與其對角的正弦值成正比的規律，比余弦定理簡單，有時可以用角的正弦值替代對

2、邊。美學價值更大、更容易激發學生學習解三角形的興趣。3 .正弦定理與平面幾何聯系更緊密，討論正弦定理可以用到較多幾何知識，編排在前便于承前啟后。4 .用正弦定理證明余弦定理容易，而用余弦定理證明正弦定理則稍難。1關于教材這樣的安排自然有一定的道理，但筆者結合自己的教學實際，發現按照教材的思路來授課仍存在一定的困難，尤其是正弦定理的導課環節，總顯得不夠自然。關于對教學內容的安排筆者的思路如下：5 .教材證明正弦定理是通過建立直角坐標系，并利用向量在坐標軸上的射影推導出正弦定理，而證明余弦定理則直接通過向量平方。這個證明過程看起來很容易理解，但由于學生雖然學習了向量，但對向量的應用仍然顯得很吃力。

3、而通過向量引導學生發現正弦定理時實在是有一定困難。給導課帶來一定的難度。6 .若用傳統的外接圓法或等積法學生明顯更容易接受，但這樣的話又無法體現新教材把解三角形安排在向量之后的意圖。正弦定理的本質是反映三角形邊和角的等量關系，而數學中能同時描繪長度和角度的量非向量莫屬。所以用向量法證明明顯更為自然，這也充分體現了向量的工具性。7 .若用另外一種思路，先用傳統方法證明再用向量證明，這樣似乎既易于學生理解正弦定理，又能讓學生體會到向量的工具性。但這樣亦顯得畫蛇添足，教學過程略顯曲折而牽強。8 .通過兩堂課的教學經驗，我發現在用向量引導學生發現三角形邊角關系的過程中學生其實更容易發現余弦定理。為了充

4、分體現新課標以學生為主體的教學思想，我做了大膽的嘗試，不妨順水推舟，先講余弦定理，再講正弦定理。3、 教學目標1 .知識與技能掌握正弦定理和余弦定理，并能運用定理解三角形。2 .過程與方法通過對特殊三角形邊角間數量關系的研究，發現正（余）弦定理，初步學會運用由特殊到一般的思想方法發現數學規律。3 .情感、態度與價值觀在利用數量積證明的過程中，體會向量工具在解三角形的度量問題中的作用，進一步認識和體會數學知識之間的普遍聯系與辯證統一（三角函數、向量、三角形）。4、 教學重難點本節的重點：正（余）弦定理的發現、證明及基本應用。五、本節的難點：正弦定理的發現及證明過程。教學過程1 .提出問題師：我們

5、初中學過解直角三角形，你能說出解題的依據嗎？生：勾股定理、兩銳角互余、正弦、余弦教師板書：(1)邊的關系：(2)角的關系：A+B=90°(3)邊與角的關系05師：除了直角三角形，我們還學過銳角三角形和鈍角三角形，統稱為斜三角形,你會解斜三角形嗎？生：沉默片刻，有人回答“作高啊！”師：對，把斜三角形轉化成直角三角形，這正是我們平時強調的“轉化思想”同學們回答得非常好。生：被老師肯定，感到很喜悅。師：但是，如果不作高，僅僅依賴于三角形的邊和角能不能直接解斜三角形呢?生：再次陷入沉默。師：為什么我們沒辦法解斜三角形？斜三角形的邊和角都有什么關系？生：(1)邊的關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊

6、之差小于第三邊；(2)角的關系：內角和180度；(3)邊與角的關系：大邊對大角；師：對比直角三角形的邊角關系和斜三角形的邊角關系，你發現了什么？生：要解斜三角形必須找到邊和角的等量關系！2.探求問題師：非常好，我們今天要探求的正是三角形的邊角關系，但是我們必須借助一樣工具把邊和角聯系起來，什么工具能擔此重任呢？生：向量！(因為必修四學過向量，并且當時也反復強調了向量的工具性，所以學生在此想到向量并不困難)師：對，我們前面已經認識到向量是既有大小又有方向的量，它是溝通代數和幾何的橋梁，今天我們以向量為工具，看一看向量在數學中是如何體現其工具性的。師：觀察黑板上的三角形，我們能想到向量的那些知識？

7、生：向量的三角形法則、向量的加法、向量的減法師：好，大家看到三角形聯想到向量的三角形法則，不妨用向量的加法來表示。生：AB=ACCB師：如何根據向量關系推出三角形的邊角關系呢？二者有什么聯系？生：三角形的邊可以用向量的模表示。師：如何能出現三角形夾角呢？生：只要出現兩個向量的點乘！師：對！怎樣構造向量的點乘？生：平方，兩邊同時平方！（之前求向量的模時接觸過通過平方出現向量點乘）師：非常好，那么，除了平方還有其他方法可以出現點乘嗎？生：那就再乘一個向量。（聲音很微弱）師：對，我們還可以在等式兩邊同時乘以一個向量！接下來，我們分別就兩種方案進行探究。方案一：兩邊同時平方AB=(AC+CB)2,易得

8、c2=a2+b2-2abcosC,同理得a2=b2+c2-2bccosA,222cb=ac-2accosB方案二：兩邊同時乘以一個向量師：我們可以在等式兩邊同時乘以一個向量，但是，乘以哪個向量呢？（這是本節課的難點）生：被難住。師：能不能是任意一個向量呢？（在三角形邊上任意畫一個向量）生：不行！（意識到構造點乘的目的之一是要出現三角形的夾角）師：那就是要一個特殊的向量，什么樣的向量比較特殊？生：零向量，單位向量，平行向量，垂直向量師：好，大家再仔細思考剛才的幾個特殊向量，看看用哪個好？零向量很容易排出，大部分同學意識到可以用垂直向量。生：可以用垂直向量。師：那么圖中有沒有與已知向量垂直的向量呢

9、?生：沒有。師：如何構造一個？生：只需做三角形的高。（因為有了新課引入時通過作高將斜三角形轉化為直角三角形的鋪墊）師：好，我們來做三角形BC邊上的高試試。等式AB=AC+CB兩邊同時乘以剛構造出的向量DA,得ABgDA=(AC+CB)QA,進而得cos(90B)=AC|:DAcos(90C)c爭inB=binC,即bcE,口=,同理得sinBsinCabac''''sinAsinBsinAsinC師：雖然我們構造的向量DA的模長并不知道，但在推導過程中約掉了，看來這個推導的過程與構造向量的長度無關，只要是垂直關系就行了。既然如此,你能否構造一個更特殊的向量？生：

10、可以取高上的單位向量。師：非常好，還有其他做法嗎？（邊說便把學生的想法畫在圖上）生：可以取其他單位向量，只要保持垂直關系。師：對，我們還可以把這些方向確定的單位向量放在一些特殊位置，比如把起點放在B點等。咱們把這些想法作為課后作業，大家課下完成。3 .解決問題我們剛才得出了如下公式(1)a_b_csinAsinBsinC因為在公式中，角以正弦形式出現，稱之為正弦定理。我們可以這樣描述：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。，一、2.22-(2) a=b+c-2bccosA;222_b=ab-2abcosB;c2=a2c2-2accosC;因為涉及三邊與一角的余弦，稱之為余弦定理。我們可以這樣描述：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。余弦定理通過變形，還可以得到如下變形公式：222