1、2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共5頁(yè).測(cè)試結(jié)束后,將本試卷和做題卡一并交回.考前須知：1 .做題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2 .選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚.3 .請(qǐng)根據(jù)題號(hào)順序在做題卡各題目的做題區(qū)域內(nèi)作答,超出做題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上做題無(wú)效.4 .作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5 .保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：此題共12小題,每題5分,共60分.在每

2、題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1.設(shè)集合A=x|x2-5x+6>0,B=x|xT<0,貝UAAB=A.(",1)B.(21)C.(3T)D,(3,+8)2.設(shè)z=T+2i,那么在復(fù)平面內(nèi)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.A?=(2,3),Ac=(3,t),晶=1,那么/露A.TB.2C.2D.34.2021年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球反面軟著陸,我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就,實(shí)現(xiàn)月球反面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問題,發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋,鵲橋沿著圍

3、繞地月拉格朗日12點(diǎn)的軌道運(yùn)行.L2點(diǎn)是平衡點(diǎn),位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為Mi,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,L2點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律,r滿足方程:M1M2M1rE7=(Rr)/.i=R'由于“的值很因此在近似計(jì)算中小,3:3314,:二532全3a3,那么r的近似值為(1-：)5.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分,評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí),從9個(gè)原始評(píng)分中去掉最高分、1個(gè)最低分,得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比,不變的數(shù)字特征是B,平均數(shù)6.假設(shè)a>b,那么A.ln(a-b)>0B.3a<3b7.C.a3

4、-b3>0D.a>b%3為兩個(gè)平面,那么all3的充要條件是a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與3平行“內(nèi)有兩條相交直線與3平行8.C.a,3平行于同一條直線2假設(shè)拋物線y=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓3pa,3垂直于同一平面2y+=1的一個(gè)焦點(diǎn),那么p=PD.極差C.49.卜列函數(shù)中,以為周期且在區(qū)間2n一)單調(diào)遞增的是2A.f(x)=cosXf(x)=sin2xC.f(x)=cosxf(x)=sinxJi10.“C(0,-),2sin2a=cos2廿1,貝Usina=A.C.、.322XV22211.設(shè)F為雙曲線c：f.=1但>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的

5、圓與圓x+y=aab交于P,Q兩點(diǎn).假設(shè)PQ=OF,那么C的離心率為A.應(yīng)B.73C.2D.而12 .設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+1)=2f(x),且當(dāng)XW(0,1時(shí),f(x)=x(x1).假設(shè)對(duì)任意.8xu(-,m,都有f(x)那么m的取值范圍是9A.一二,8,3二、填空題：此題共4小題,每題5分,共20分.13 .我國(guó)高鐵開展迅速,技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì),在經(jīng)停某站的高鐵列車中,有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97,有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98,有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99,那么經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為.14 .f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ea

6、x.假設(shè)f(ln2)=8,那么a=._.冗15 .zXABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.假設(shè)b=6,a=2c,B=,那么AABC的面積為316 .中國(guó)有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體,但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是半正多面體(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體表達(dá)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的外表上,且此正方體的棱長(zhǎng)為1.那么該半正多面體共有個(gè)面,其棱長(zhǎng)為.(此題第一空2分,第二空3分.)三、解做題：共70分.解容許寫出文字說(shuō)明、證實(shí)過(guò)程或演算

7、步驟.第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17 .(12分)如圖,長(zhǎng)方體ABCDABiCiDi的底面ABCD是正方形,點(diǎn)E在菱AAi上,BE±ECi.(1)證實(shí)：BE,平面EBiCi；(2)假設(shè)AE=AiE,求二面角B£CCi的正弦值.18 .(i2分)ii分制乒乓球比賽,每贏一球得i分,當(dāng)某局打成i0:i0平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方i0:i0平后,

8、甲先發(fā)球,兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.(i)求P(X=2)；(2)求事件X=4且甲獲勝的概率.19 .i2分?jǐn)?shù)列an和bn滿足ai=i,bi=0,4an+=3an-bn+4,4bn由=3bnan4.(i)證實(shí)：an+bn是等比數(shù)列,an6n是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項(xiàng)公式.20 .(12分).x1函數(shù)fx=lnx.xT(1)討論f(x)的單調(diào)性,并證實(shí)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)Xo是f(x)的一個(gè)零點(diǎn),證實(shí)曲線y=lnx在點(diǎn)A(%,ln%)處的切線也是曲線y=ex的切線.21 .12分點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為-1.記M的軌

9、跡為曲線C.2(1)求C的方程,并說(shuō)明C是什么曲線；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PEx軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.(i)證實(shí)：4PQG是直角三角形；(ii)求4PQG面積的最大值.(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,那么按所做的第一題計(jì)分.22 .選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在極坐標(biāo)系中,O為極點(diǎn),點(diǎn)M(/,4)(P0A0)在曲線C:P=4sin8上,直線1過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直,垂足為P.(1)當(dāng)用=；時(shí),求P.及l(fā)的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí),求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.23 .

10、選彳4-5：不等式選講(10分)f(x)=|x-a|x|x-2|(x-a).(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)<0的解集；(2)假設(shè)xw(*,1)時(shí),f(x)<0,求a的取值范圍.2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)-參考答案1.A2,C3.C4.D5.A6.C7,B8.D9.A10.B11.A12.B13. 0.9814. W15. 6.316. 26;72-117. 解：(1)由得,BC_L平面ABB1A,BE二平面ABB1A1,故B1cl_BE.又BE_LEC1,所以BE_L平面EB1C1.由(1)知ZBEB1=90,由題設(shè)知RtAABERtAAB1E,所以/AEB

11、=45-故AE=AB,AA=2AB.T4以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA的方向?yàn)閤軸正方向,|DA|為單位長(zhǎng),建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系Diyz,CB=(1,0,0),CE=(1-1,1),那么C(0,1,0),B(1,1,0),Ci(0,1,2),E(1,0,1),CC1=(0,0,2).設(shè)平面EBC的法向量為n=(x,v,x),那么CBn=0,nhI,即CEn=0,x=0,x-yz=0,所以可取n=(0,-1,-1).設(shè)平面ECCi的法向量為m=(x,y,z),那么yHCC1m=0,2z=0,J1,即?,CEm=0,x-yz=0.所以可取m=(1,1,0).nm1于是cos<n,m>=一一

12、.In|m|2所以,二面角B-EC-C1的正弦值為.218 .解：(1)X=2就是10：10平后,兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束,那么這2個(gè)球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5>0.4+(105)X(1-0.4)=0.5.(2) X=4且甲獲勝,就是10：10平后,兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束,且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.因此所求概率為0.5X(104)+(105)>0.40.5>0.4=0.1.1,、19 .解：(1)由題設(shè)得4(an4+bn由)=2(an+bn),即an+bn+=(an+bn).21 ,又由于a1+b1

13、=l,所以an+bn)是首項(xiàng)為1,公比為一的等比數(shù)列.2由題設(shè)得4(an+-bn+)=4(an-bn)+8,即an書bn+=anbn+2.又由于a1)1=l,所以an-bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.1,八,(2)由(1)知,an+bn=Tj,anbn=2n1.2111所以an=-(an+bn)+(an-bn)+n-,222111b=_(anb)_(an-b)=-n+.22220.解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,1)U(1,+8).一.一12由于f'(x)=+2A0,所以f(x)在(0,1),(1,+8)單調(diào)遞增.x(x-1)e1由于f(e)=1<0,e-12e21“二2一

14、心e-3>0,所以f(x)在(1,+8)有唯一零點(diǎn)x1,一、一一1)即f(x)=0.又0<<1,為1x11f(lnx1F=f(x)=0,故f(x)在(0,1)有唯一零點(diǎn)x1e2-1綜上,f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).1八x,一)在曲線y=e上.x01lnxc(2)由于一=e,故點(diǎn)B(Tnx0,x.1.1x01+1Inx0由題設(shè)知f(x0)=0,即Inx0=-,故直線AB的斜率k=-0=-0手=x0-1-Inx0-x0x01x一；x0x0-1x,1、1.1曲線y=e在點(diǎn)B(-1nX0,)處切線的斜率是一,曲線y=lnx在點(diǎn)A(x°,lnx°)處切線的斜率也是一,

15、x0x0x0所以曲線y=lnx在點(diǎn)A(x°,lnx°)處的切線也是曲線y=ex的切線.12221.解：(1)由題設(shè)得一,一=-,化簡(jiǎn)得左+)-=1(|x仔2),所以C為中央在坐標(biāo)原點(diǎn),焦x2x-2242點(diǎn)在x軸上的橢圓,不含左右頂點(diǎn).(2)(i)設(shè)直線PQ的斜率為k,那么其方程為y=kx(k.0).y=kx22xyr42得x=±*二=1.12k22,一記u=-=,貝UP(u,uk),Q(u,uk),E(u,0).,12k2kk于是直線QG的斜率為k,方程為y=k(x-u).22y=-(x-u),由,22得.42一22-222(2+k)x-2ukx+ku8=0.uk

16、3-2,2k2設(shè)G(Xg,Yg),那么u和Xg是方程的解,故Xg“3k22),由此得Yg2kuk32-uk1從而直線pg的斜率為上三k=u(3k22)k2-u2k2所以PQ_LPG,即4PQG是直角三角形.(ii)由(i)得|PQ|=2uJl+k2,|PG|=2uk,k212k2,所以PQG的面積1S=|PQlIPG|=28k(1k2)k)(12k2)(2k2)-1.2(1.k)21設(shè)t=k+,那么由k>0得t或,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等k8t由于s=8在2,+8)單調(diào)遞減,所以當(dāng)t=2,12t2k=1時(shí),S取得最大值,最大值為169一一16因此,PQG面積的最大值為一922.解：(1)由于M(P.,為而C上,當(dāng)“0="3時(shí),"0由得|OP|=|OA|cos=23設(shè)Q(P,9)為l上除P的任意一點(diǎn).在RtAOPQ中,=|OP|=2,經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)P(2,)在曲線Pcos|H=2上.所以,i的極坐標(biāo)方程為Pcosieji=2.(2)設(shè)P(P,日),在RtzXOAP中,|OP|=|OA|cos8=4cos6,即P=4cosB.由于