1、第二章導數與微分1、利用導數定義求函數極限如田.f(x+口)-f(x)/、如果f(x)存在ylim-=f(x)J口注意：分子中的“口和分母中的“口應一致,且符號也相同例1設f(x)在x0點可導,求以下極限limf(x0+2h)-f(x0-2h)h02h.cX7T一一一i.(2)設f(x)=limtsin-g(x+)-g(x),其中g(x)有二階導數,求f(x)2、利用定義求函數的導數例2(1)設中(x)=f(a)(xa)+f(x)(xa)Tn1xsin-x(1)f(x)=0ln(1+x),求中(a)注意：函數5(x)僅在x=a處存在二階導數,故求中(a)時不能直接利用求導公式.(2)設周期函數

2、f(x)的周期為5,f(x)可導,且limf-f(2-x)=1,求曲線y=f(x)在點xo2x(-3,f(-3)處的切線方程.(3)設F(x)=f(sin中(x),f/(0)=a,中(0)=0,中/(0)=b,求F/(0)3、求含有絕對值的函數和分段函數的導數f(x)xa分析：含有絕對值的函數可轉化為分段函數y=JAx=a,、g(x)xay/=f/(x)當xay(x)=()a在x=a處可導,求y(x)中的待定系數&(x)xa函數y(x)=Ax=a,求ylx),并討論y/(x)的連續性g(x)xa分析：(1)先求ylx)；(2)然后討論ylx)在定義域內的連續性axbxc,x：0,_、,例5設f

3、(x)=問如何選取a,b,c才能使f(x)處處具有一階連續導數,但在x=0ln(1x),x-0處卻不存在二階導數.6、利用導數求函數例6(1)設f(x)在(0,+8)內有定義,且f1)=a(0),又對Vx,y=(0戶)有f(xy)=f(x)f(y)求f/(x)注意：有乘積的,一般令x、y互為倒數(2)設函數f(x)滿足等式f(x+y)=f(x)+f(y)且f(0)存在,求f(x)1-f(x)f(y)注意：有和的,一般令x、y互為相反數；有差的,一般令x、y相等7求導例7f(x)=(x1)(x+2)(x+3)(x+100),求f/(1).8復合函數的求導.21sin-例8求導(1)y=ex；(2

4、)設y=1f(x)=lnx3,求業dx9求反函數的導數一rdy例9設x=ln(y+Jy-1),求一2dx10隱函數的求導例10求導(1)(cosx)y=(siny)x(2)設y=y(x)是由方程xy+ey=1所確定的隱函數,求y(0).11由參數方程所確定的函數的導數例11求導數dydxx=a(t-sint)y=a(1-cost)x=teteey=212對數求導法求函數的導數(1)對哥指函數y=f(x)g(x)兩邊取對數lny=g(x)lnf(x)(2)兩邊對x求導得：1,y/=g/(x)lnf(x)+gf/(x)yf(x)那么y/=f(x)g(x)g/(x)lnf(x)+g(x)f/(x)f

5、(x)例12求導(1)y=x/x；(2)y=(x2+sinx)c0sx多重函數的連乘除,多重根式內商的函數求導例13求導(1)y(x-1)(2x3).(3x-5)(x-2)尸55x2213抽象函數的求導例14求導(1)y=exf(x2+lnx)；(2)設丫=f(arcsinx),f/(x)=tanx,求生dx|1x3-214求高階導數常見函數的高階導數ax.(n)nax(3)(e)()=ae(4)(lnx)(n)n1(-1)一-1)!nX(5)(n)(sinx)=sin(x-)(6)(cosx)(n)=cos(x-)“、(1二(-1)nn!anax+b(ax+b)n*兩個函數乘積的n階導數公式

6、(uv)n!(n_k)(k)uVk!(n-k)!例15求高階導數y(n)(2)(1)y=e2xcos2x(3)求f(x)=x2ln(1+x)在x=0的f(n)(0).練習1設f(x)在x0點可導,求以下極限f(x0-2.：x)-f(x0)x欣f(x曰一設廠曰2(1)設f(x)在(-,)上有定義,在x=a處可導,且y=f(a+bx)-f(a-bx),其中b=0,求y/(0)(2)設f(x)在U(0,a內有定義,假設有2f(x)=2f(0)-3x+g(x),g(x)叫,求f(0).設F(x)=xf(x)在x=1處可導,且f(1)=1,求f/(1)3(1)f(x)=x+2|,求f(x)的導數x1|x

7、月x-1求f(1),f(1).,x-1r42,(2)設f(x)=Jarctanx,nx1-rL422(1-cosx)八2,x0x設f(x)=00(4)g(x)在x=a連續,討論f(x)=|x-a|g(x)在該點的可導性.(5)設f(x)=|x3-1|中(x),其中中(x)在x=1處連續,那么f(x)在x=1處可導的條件是什么一一、,1(6)設F(x)=minf1(x),f2(x),te義域為(0,2),其中f1(x)=x,f2(x)=,試在其te義域內求xf(x).4/、iey(x)=ax+bx：:：1,一、,一為可導函數,求a,bx1二一2sinxx5(1)f(x)=0ln(1+x)x:二0

8、x=0,求f/(x)并討論f/(x)的連續性x0g(x)-e,(2)f(x)=x0x-0,.,一,一其中g(x)有二階連續導致,且g(0)=1,g(0)=-1,x=0,求f(x);討論f(x)在(3,y)內的連續性.6(1)設f(x)為連續函數,且f(0)存在,對Vx和y有f(x+y)=f(x)f(y)1-4f(x)f(y)證實對一切x,f(x)可微;1右f,(0)=-,求f(x)o一一一二t,、7f(t)=(tan-1)(tan4二t2-2)1H(tan,100二t100),求.(l)o8求導(1)ynjx+dx+vx(2)y=cos2(lnx)(3)y=sin(COsx)x9求導(1)si

9、n(xy)+ln(yx)=x(2)ln*；x2+y2=arctanyx設f(x)為可微函數,且y2f(x)+xf(y)=x2-dx10Lt/Ie=t-xey2lnt1求5=0dxt=e一一/,dfx11求導設f(x)可導,且f/(1)=2,求-1kdx(2)設y=f(e；一1),f/(x)=cosx2,求生|xwe1dx,、4(2)y=xcosx3x12求n階導數(1)yx2-x-2設f(x)有任意階導數,且f(x)=f2(x),求f(n)(x)(n2).歷屆高等數學競賽真題1-x求y=7的n階導數1xx2-1工/2、y=arccos-,求yx13、y=(1+x2)(1+x4)(1+x8)-(

10、1+x2),求y/|x4求電dx4、設lnJx2+y2=arctan,當x=1,y=0時,x5.(1)設函數f(x)可導,并且f(Xo)=5,那么當xt0時,該函數在點X0處微分dy是Ay的(A)A等價無窮小B同階但不等價的無窮小C高階無窮小D低階無窮小a處不可導的充要條件是(C)(2)設函數f(x)在點x=a處可導,那么f(x)在點x=Af(a)=0,且f(a)=0Bf(a)#0,且f(a)=0Cf(a)=0,且f(a)#0Df(a)#0,且f(a)00(3)設函數f(x)與g(x)在開區間(a,b)內可導,考慮如下的兩個命題：(1)假設f(x)g(x),f(x)g(x)；(2)右f(x)g

11、(x),那么f(x)g(x)o那么(B)A兩個命題均正確C命題(1)正確,命題(2)不正確B兩個命題均不正確D命題(1)不正確,命題(2)正確(4)設函數f(x)在x0的一個領域內有定義,那么在x0點處存在連續函數g(x)使f(x)-f(x0)=(xx0)g(x)是f(x)在點處可導的(C)A充分而非必要條件B必要而非充分條件C充分必要條件D既非充分,也非必要(5)設函數f(x)對任意x都滿足f(x+1)=af(x),且f(0)=b,其中a,b均為非零常數,那么f(x)在x=1處()A不可導B可導,且f(1)=aC可導,且f(1)=bD可導,且f(1)=absecx6、設y=Jarctantd

12、t,求cscxdydx7、設fJdu-0t4一0(u1)2dud2ydx2x=12t2,8、(1)設函數y=y(x)由參數方程?y=1H21nteu.1)所確7,求du,1ud2ydx2x-91x=etsin2t.曲線廣etsin,在點(0,1)處的法線方程為y=8cost(3)設函數y=y(x)由參數方程(乂二f(.江,所確定,其中f可導,且f(0)*0,求曳y=f(e3t-1),dx(5),、一x=t-sint設擺線方程為i,那么此曲線在t=處的法線方程為y-1-cost3(6)設函數y=y(x)由方程ex比cos(xy)=0所確定,那么dyx用19、(1)設函數f(x)在點的某鄰域內具有

13、二階導數,且limJ+x+f(x)J=e3.求f(0),f(0),f(0).(x)(2)設函數f(x)=一cosxxa,x-0,其中中(x)具有連續二階導函數,且5(0)=1.確定x=0a的值,使f(x)在點x=0處可導,并求_.f(x).討論f(x)在點x=0處的連續性.(0).(2)設y=x+xx,求y/x1,在x=1處可導,求a的范圍x-1f(1)1-X(n)10、(1)設f(x)=arctan,求f1x11cos11、設a為實數,f(x)=(x1)ax-10-dn(1-xm)n一12、設f(x)=n,m,n是正整數,求dx、一-.、1997.-(1997)一、13、(1)設f(x)=xtanx,求f(