1、第四章 函數(shù)和方程4.1 預(yù)備知識：零點(diǎn)、極值和最小二乘法4.2 函數(shù)零點(diǎn)、極值和最小二乘擬合的MATLAB指令4.3 計(jì)算實(shí)驗(yàn)：迭代法4.4 建模實(shí)驗(yàn)：購房貸款的利率和最佳訂貨量4.5 習(xí)題4.1 預(yù)備知識：零點(diǎn)、極值和最小二乘法一元非線性方程的一般形式為f(x)= 0若對于數(shù)有f() = 0,則稱為方程的解或根，也稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)零點(diǎn)；若對于數(shù)有f()= 0, f()0則稱為單根單根；若有k1, f()= f()= = f(k-1)()= 0， 但f(k)()0,稱為k k重根重根；非線性方程（組）求解通常用數(shù)值方法數(shù)值方法求近似解，常見的有二分法、牛頓法等。 如 果 對 于 包 含

2、x = a的 某 個(gè) 鄰 域， 有f(a)f(x)（f(a)f(x)）對任意x成立，則稱a為f(x)的一個(gè)局部極小局部極小( (大大) )值點(diǎn)值點(diǎn)。如果對任意xD，有f(a)f(x)（f(a)f(x)）成立，則稱a為f(x)在區(qū)域D上的一個(gè)全局極全局極小小( (大大) )值點(diǎn)值點(diǎn)。 假設(shè)已知經(jīng)驗(yàn)公式y(tǒng)=f(c,x)（這里c和x均可為向量）, 要求根據(jù)一批有誤差的數(shù)據(jù)（xi,yi）, i=0,1,n, 確定參數(shù)c。這樣的問題稱為數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合。最小二乘法最小二乘法就是求c使得殘差平方和最小 Q(c)= 若f關(guān)于c是線性函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性方程組Q(c)=0求解，且其解存在唯一；若f關(guān)于c是

3、非線性函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)極值問題；達(dá)到最小。4.2 函數(shù)零點(diǎn)、極值和最小二乘擬合的MATLAB指令多項(xiàng)式 函數(shù)極值非線性最小二乘擬合函數(shù)零點(diǎn)非線性函數(shù)的MATLAB表達(dá)y=polyval(p,x) 求得多項(xiàng)式p在x處的值y, 其中x可以是一個(gè)或多個(gè)點(diǎn)x=roots(p) 求得多項(xiàng)式p的所有復(fù)根；p=polyfit(x,y,k) 用k次多項(xiàng)式擬合向量數(shù)據(jù)(x,y),返回多項(xiàng)式的降冪系數(shù)MATLAB中一個(gè)多項(xiàng)式用系數(shù)降冪排列向量來表示。1、多項(xiàng)式 例2、用2次多項(xiàng)式擬合下列數(shù)據(jù). x 0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3 y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.7

4、2 clear; x=0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3; y=0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72; p=polyfit(x,y,2) 例1、求多項(xiàng)式x3 + 2 x2 - 5的根 p=1 2 0 -5; x=roots(p) %求根 y=polyval(p,x) %驗(yàn)證2、非線性函數(shù)的MATLAB表達(dá) Fun=Mfun 定義一個(gè)函數(shù)句柄，這里Mfun是 函數(shù)的M文件表達(dá)方式Fun=(var)funstr 定義匿名函數(shù)，其中var是 變量名，funstr是函數(shù)的表達(dá)式 fun=inline(funstr,var)定義一個(gè)內(nèi)嵌函數(shù)，其中funstr是函數(shù)的字符

5、串表達(dá)方式,var是變量名字符串； fun=Mfun定義一個(gè)函數(shù)句柄，Mfun是M函數(shù)文件；x=fzero(fun,x0) 返回一元函數(shù)fun的一個(gè)零點(diǎn),Fun為函數(shù)句柄、內(nèi)嵌函數(shù)或字符串表達(dá)式。 x0為標(biāo)量時(shí),返回函數(shù)在x0附近的零點(diǎn)； x0為區(qū)間a,b時(shí), 返回在a,b中的一個(gè)零點(diǎn) 要求fun在點(diǎn)a和點(diǎn)b處異號,且在a,b內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)注：若fun在a,b內(nèi)只有多個(gè)零點(diǎn)，則計(jì)算結(jié)果不可靠。3、函數(shù)零點(diǎn)x,f,h=fsolve(Fun, x0) 輸入值：x0為迭代初值(若多元，則為向量); Fun為一元或多元函數(shù)句柄或內(nèi)嵌函數(shù)返回值：x返回Fun在x0附近的一個(gè)零點(diǎn) f 返回Fun在點(diǎn)x的函

6、數(shù)值, 應(yīng)該接近0; h返回值若大于0,說明計(jì)算結(jié)果可靠,否則計(jì)算結(jié)果不可靠。例3、求函數(shù)y=xsin(x2-x-1)在(-2, -0.1)內(nèi)的零點(diǎn) clear;f=inline(x*sin(x2-x-1),x);fplot(f,-2,-0.1);grid on;從圖中發(fā)現(xiàn)，在x=-1.6和x=-0.6附近分別有兩個(gè)零點(diǎn)。三種求解方法： fzero(f,-2,-1.2),fzero(f,-1.2,-0.1) %分區(qū)間求解 fzero(f,-1.6),fzero(f,-0.6) %在初值附近找解 x,g,h= fsolve(f,-1.6),x,g,h= fsolve(f,-0.6) %用fsol

7、ve求例4、求方程組在原點(diǎn)附近的一個(gè)零點(diǎn)081411014081411014212121211xxxexxxyxeyxxx將x,y合寫成向量 f=inline(4*x(1)-x(2)+exp(x(1)/10-1,-x(1)+4*x(2)+x(1)2/8,x); x,f,h=fsolve(f,0 0)多個(gè)方程用 括起來，初值、輸出結(jié)果、表達(dá)式均用向量表示多個(gè)變量roots(p)：多項(xiàng)式的所有根；fzero(fun,x0)：x0附近或區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)， fun為一元函數(shù)；fsolve(fun,x0)：以x0為迭代初值的一個(gè)零點(diǎn)， fun為一元或多元(用向量表示)函數(shù)；比較：min(y) 返回向量y

8、的最小值max(y) 返回向量y的最大值x,f=fminbnd(fun,a,b) x返回一元函數(shù)在區(qū)間a,b內(nèi)的一個(gè)局部極小值點(diǎn), f返回局部極小值。fun為函數(shù)句柄或內(nèi)嵌函數(shù)。x,f=fminsearch(fun,x0) x返回一元或多元函數(shù)在初始值x0 附近的一個(gè)局部極小值點(diǎn)，f返回局部極小值。（若多元，x, x0均為向量）4、函數(shù)極值 例5 求 在原點(diǎn)附近的極大值。 xyyxyxf45),(44 f=inline(-(5-x(1)4-x(2)4+4*x(1)*x(2),x); x,g=fminsearch(f,0,0)注：用向量表示多元函數(shù)，因初值和輸出結(jié)果都是向量； 求f(x,y)的極

9、大值，等價(jià)于求-f(x,y)的極小值；設(shè)函數(shù)y=f(c,x),其中c為未知參數(shù)向量, 有一批有誤差的數(shù)據(jù). x : x1 x2 xn y : y1 y2 ync=lsqnonlin(Fun,c0)使用迭代法搜索最優(yōu)參數(shù)c，使得誤差向量y-f(c,x)(x,y為數(shù)據(jù)向量)最接近0向量，c0為參數(shù)c的近似值，作為迭代初值。c=lsqcurvefit(Fun2,c0,x,y)從外部輸入數(shù)據(jù)，F(xiàn)un2為二元函數(shù)f(c,x)，返回最優(yōu)參數(shù)c。 5、非線性最小二乘擬合例：x 0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72function e=f

10、itf(c)x=0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3;y=0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72;e=y-c(1)*x.2+c(2)*x+c(3);命令窗口： c=lsqnonlin(fitf,0,0,0) fun2=inline(c(1)*x.2+c(2)*x+c(3),c,x); x=0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3;y=0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72; c=lsqcurvefit(fun2,0,0,0,x,y)0850. 16958. 17247. 12xxy4.3 計(jì)算實(shí)驗(yàn)：迭代法迭迭代法代法是從解的初始近似值x0

11、(簡稱初值)開始，利用某種迭代格式x k+1 = g (x k )，求得一近似值序列x1, x2, , xk, xk+1, 逐步逼近于所求的解(稱為不動(dòng)點(diǎn))。最常用的迭代法是牛頓迭代法牛頓迭代法，其迭代格式為：xxfxfxkkkk1()() 1、迭代法例6、求方程 x 2 - 3 x + e x = 2的正根 (要求精度 = 10 -6)解：令f (x) = x 2 - 3 x + e x - 2, f(0)=-1, f(2)= e2 0 當(dāng)x 2, f (x) 0, f (x) 0 即f (x)單調(diào)上升， 所以根在0,2內(nèi)。先用圖解法找初值， fplot(x2-3*x+exp(x)-2,0,

12、2) ,grid 取x0 = 1.5, 迭代格式xxxxexekkkkxkxkk 123223clear;e=1e-6;format long;x1=1.5x0=x1+x1+2*e; %使wile成立while(abs(x0-x1)e) x0=x1; x1=x0-(x02-3*x0+exp(x0)-2)/(2*x0-3+exp(x0)endformat short;線性最小二乘擬合可直接用求解超定線性方程組的方法，計(jì)算速度快且唯一。非線性最小二乘擬合的缺點(diǎn)是求解結(jié)果依賴于初值的選取，可能會(huì)陷于局部極小值而難以求得真解。常常將有些非線性函數(shù)擬合問題轉(zhuǎn)化為線性問題求解。 2、線性化擬合例7 、用函

13、數(shù)y=aebx 擬合例2的數(shù)據(jù) 若用非線性擬合：記a=c(1),b=c(2) fun2=inline(c(1)*exp(c(2)*x),c,x); x=0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3;y=0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72; c=lsqcurvefit(fun2,0,0,0,x,y)若用線性擬合： y=aebx 兩邊取對數(shù)：z=lny=lna+bx72. 050. 106. 186. 084. 095. 0logln3 . 02 . 0011115. 02 . 01 . 0111ba即：令c(1)=lna，c(2)=b，則： x=0.1 0.2 0.15

14、 0 -0.2 0.3;z=log(0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72); m=ones(6,1),x;c=mz;a=exp(c(1),b=c(2)解超定方程對于任意正整數(shù)對于任意正整數(shù)，總會(huì)有，總會(huì)有trtrttrt111txtrps1xrp1就是說，如果按一年計(jì)算多次復(fù)利的方式來計(jì)算本息之和的話，總要就是說，如果按一年計(jì)算多次復(fù)利的方式來計(jì)算本息之和的話，總要比一年僅計(jì)算一次復(fù)利的本息之和要大。而且比一年僅計(jì)算一次復(fù)利的本息之和要大。而且trxrxrtttxtptrptrpe1lim1limx年內(nèi)，無限次細(xì)分計(jì)算復(fù)利，本息之和為年內(nèi)，無限次細(xì)分計(jì)算復(fù)利，本息之和為

15、.rxpes 稱為稱為連續(xù)復(fù)利公式連續(xù)復(fù)利公式。這個(gè)公式可以用來計(jì)算相對時(shí)間較長時(shí)的本。這個(gè)公式可以用來計(jì)算相對時(shí)間較長時(shí)的本息計(jì)算。息計(jì)算。故總有故總有越大，本息之和也越大。越大，本息之和也越大。其極限為其極限為這表明，在這表明，在次計(jì)算復(fù)利，則次計(jì)算復(fù)利，則 ， 年之后應(yīng)歸還本利之和為年之后應(yīng)歸還本利之和為，而按月計(jì)算復(fù)利，則月利為，而按月計(jì)算復(fù)利，則月利為年后的本息共年后的本息共 年，計(jì)算利息可以采取單利或復(fù)利兩種方式。若以單利年，計(jì)算利息可以采取單利或復(fù)利兩種方式。若以單利年，年利仍為年，年利仍為，年利率為，年利率為 ，貸款利息問題貸款利息問題企業(yè)向銀行貸款，到期付息和還本。假設(shè)本金為

16、企業(yè)向銀行貸款，到期付息和還本。假設(shè)本金為pr 貸款期限貸款期限xx)1 (rxps；若以復(fù)利計(jì)算，則；若以復(fù)利計(jì)算，則x年后的本息共年后的本息共 。 xrps)1 ( 計(jì)算，計(jì)算，如果貸款期仍為如果貸款期仍為xr12rxxrps12121更一般地，如果將一年均分成更一般地，如果將一年均分成ttxtrps1例例:某企業(yè)向銀行貸款某企業(yè)向銀行貸款100萬元，年息萬元，年息5%，5年后還本付息。年后還本付息。5年年后本息共多少？后本息共多少？125)505. 01 (100s63.127)05. 01 (1005s40.128100505. 0epesrx（萬元）。（萬元）。(1)若以單利計(jì)算，若

17、以單利計(jì)算，5后的本息共后的本息共 （萬元）；（萬元）；（萬元）；（萬元）；4.4 建模實(shí)驗(yàn)：購房貸款的利率和最佳訂貨量 1、購房貸款的利率不難算出，你向銀行總共借了25.2(=36-10.8)萬，30年內(nèi)共要還51.696(=1436*360)萬，約為當(dāng)初借款的兩倍。這個(gè)案例中貸款年利率是多少呢？例8 、下面是新民晚報(bào)2000年3月30日上的一則房產(chǎn)廣告：建筑面積總價(jià)30%首付70按揭月還款85.9836萬10.8萬30年1436元解：設(shè)xk為第k個(gè)月的總欠款額， a為月還款額, r為月利率。xk+1 = (1+r) xk- a那么 xk = (1+r) xk-1- a = (1+r)2 x

18、k-2 (1+r)a a = = (1+r)k x0 a1+(1+r)+(1+r)k-1 = (1+r)k x0 a(1+r)k-1/r根據(jù) k=360 , x0=25.2, a=0.1436(萬元), x360=0,得到 25.2(1+r)360 0.1436(1+r)360-1/r=0Xk-1 = (1+r) xk-2- a=(1+r)2 xk-2 a1+(1+r)常識上，r應(yīng)比當(dāng)時(shí)活期存款月利率略高一些。我們用活期存款月利率0.0198/12 作為迭代初值，用fzero求解 r=fzero(25.2*(1+x)360-(1+x)360-1)/. x*0.1436,0.0198/12); R=12*r得年利率為5.53%2、最佳訂貨量 汽車工廠為了保證生產(chǎn)的正常運(yùn)作，配件供應(yīng)一定要有保障。這些配件要預(yù)先從配件供應(yīng)商那里訂貨。每次訂貨需要收取一定量的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)。沒用完的配件，要在倉庫里儲存一段時(shí)間，為此要付出儲存費(fèi)。若訂貨量很小，則需頻繁定貨，造成生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的增加；反之，若訂貨量很大，定貨周期延長而使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)減少但會(huì)造成儲存費(fèi)的增加。如何確定合適的訂貨量？解：先作一些必要的假設(shè)將問題簡化1）汽車工廠對配件的日需求量是恒定的，