1、 第一章有理數及其運算第一講：有理數一、 小學知識回顧自然數：分數：小數：例題：下列各數3,4.7，0,20130，1， 0.5，3，1.2，0.25中自然數：小數：分數：二、相反意義的量：在日常生活中，常會遇到這樣一些量（事情）：例1：汽車向東行駛3千米和向西行駛2千米。例2：溫度是零上10和零下5。例3：收入500元和支出237元。例4：水位升高1.2米和下降0.7米。由相反意義的詞表示的兩個量，像“零上”和“零下”、“收入”和“支出”、“增加”和“減少”、“升高”和“降低”等等，就是具有相反意義的量。例題：1.向東走10米的相反意義的量是_;2.上升10米的相反意義的量是_;3.零上10

2、C的相反意義的量是_;4.收入200元與_是相反意義的量;5.買進20噸貨與_是相反意義的量;6.海平面以上30米與_是相反意義的量.三、正數和負數：生活中，為了更好的表示那些具有相反意義的量，我們把其中一個量規定為正的，用表示，而把與這個量意義相反的量規定為負的，用表示。我們引進了5，2，237，0.7等數。像這樣的一些新數，叫做負數。過去學過的那些數（零除外），如10，3，500，1.2等，叫做正數。正數0，負數0。注意：（1）對于正數和負數的意義，不能簡單地理解為帶“”號的數是正數，帶“”號的數是負數。（2）負數是在正數前面加上一個“”號，如5，- (7)等都是負數，負數中的“”不能省略

3、。 (3) 0既不是正數也不是負數。0是正數和負數的分界點。例題：1.10表示支出10元，那么+50表示；如果零上5度記作5C，那么零下2度記作；如果上升10m記作10m，那么3m表示；太平洋中的馬里亞納海溝深達11034米，可記作海拔米（即低于海平面11034米）。比海平面高50m的地方，它的高度記作海撥；2.下面說確的是（） A正數都帶有“+”號B不帶“+”號的數都是負數C小學數學中學過的數都可以看作是正數D0既不是正數也不是負數3.數學測驗班平均分80分，小華85分，高出平均分5分記作+5，小松78分，記作。4.某物體向右運動為正，那么2m表示，0表示。5.一種零件的徑尺寸在圖紙上是10

4、0.05（單位mm），表示這種零件的標準尺寸是10mm加工要求最大不超過標準尺寸，最小不超過標準尺寸。6.正常水位為0m，水位高于正常水位0.2m記作，低于正常水位0.3m記作。一個物體沿東西兩個相反的方向運動時可以用正負數表示它們的運動，如果向東運動4m記作4m，向西運動8m記作；如果7m表示物體向西運動7m，那么6m表明7.下面的數中哪些數是正數？哪些數是負數？+8，-3.14,139，-300，-7,0.8,18，0.1,-5.32, -80, 123, 2.333。正數有：，負數有：。四、有理數及其分類1.有理數定義：統稱為有理數。整數包括、分數包括。注：分數可以與有限小數和無限循環小

5、數相互轉化。2.有理數分類：（1）按符號分：（正、負）正整數：如1,2,3，正有理數正分數：如，5.2，有理數零：0負整數：如-1，-2，-3，負有理數負分數：如-，-3.5，-，（2）按定義分：（整數和分數統稱為有理數）正整數：如1,2,3，整數零：0負整數：如-1，-2，-3，有理數正分數：如，5.2，分數負分數：如-，-3.5，-，例題：1把下列各數填入表示它所在的數集的圈里：18，3.1416，0，2001，0.142857，95.正數集負數集整數集有理數集2把下列數填入相應集合括號：29，5.5，2002，1，90%，3.14，0，2，0.01，2，1（1）整數集合： （2）分數集合

6、： （3）正數集合： （4）負數集合： （5）正整數集合： （6）負整數集合：（7）正分數集合： （8）負分數集合：（9）正有理數集合： （10）負有理數集合：課堂練習：1、 判斷正誤：（1）有理數分整數、分數、正有理數、負有理數、零五類。（）（2）一個有理數不是整數就是負數。（）2、在-2,0,1,3這四個數中比0小的數是（）A-2 B.0 C.1 D.23、零上130C記作+130C，零下2oC課記作（）A2 B.-2 C. 2oC D. -2oC4、在數，2，-2,0，-3.14中，負分數有（）A0個 B.1個 C.2個 D.3個5、一包鹽上標：凈重（5005）克，表示這包鹽最重是（ ）

7、克，最少有（ ）克。6、觀察下面一列數，根據規律寫出橫線上的數，；7、把下列數填入相應括號 -2，-3,4，-0.5，-0.1,0.75,0，-2009,25,20，.正數集合： ；分數集合： ；整數集合： ；負數集合： 。8、甲、乙兩人同時從某地出發，如果甲向南走100m記作+100m，則乙向北走70m記作什么？這時甲、乙兩人相距多少米？9、在一次數學測驗中，某班的平均分為86分，把高于平均分的高出部分的數記為正數。（1）平平的96分，應記為多少？（2）小聰被記作-11分，他實際得分是多少？10、某化肥廠每月計劃生產化肥500噸，2月份超額生產了12噸，3月份相差2噸，4月份相差3噸，5月份

8、超額生產了6噸，6月份剛好完成計劃指標，7月份超額生產了5噸，請你設計一個表格用有理數表示這6個月的生產情況。11某食品廠從生產的袋裝食品中抽出樣品8袋，檢測每袋的質量是否符合標準，超過或不足的部分分別用正數、負數來表示，記錄如下表：與標準質量的差值（單位：克）3102袋數1232(1)這批樣品的總質量比標準質量多還是少？多或少幾克？(2)若每袋標準質量為450克，則抽樣檢測的總質量是多少？課后作業：一、填空題.若贏利500元記作+500元，虧損500可記作元.若規定向東為“+”，則+25米表示走25米，-25米表示走25米.若“”表示比海平面低，則+3000米表示.若自行車車條的長度比標準長

9、度長mm記作+mm，那么比標準長度短mm記作.某地某日的最高溫度是零上，記作+，那么當日最低溫度零下，應記作.小明的姐姐在銀行工作，她把支取萬元記作-萬元，那么存入萬元應記作.最小的正整數是，最大的負整數是.二、選擇題.最小的整數是（）（）-（）（）（）不存在.下列說確的是（）（）表示沒有溫度（）既可以看作正數又可以看作負數（）既不是正數又不是負數（）是正整數10.“小明比小紅大-歲”表示的意義是（）（） 小明比小紅小歲 （） 小明比小紅大歲（） 小紅比小明大-歲 （） 小紅比小明小-歲11.一潛水艇所在的高度是-50米，一條鯊魚在艇上方10米處，鯊魚所在的高度是（）（）60米 （）-60米

10、（）40米 （）-40米12.甲地海拔高度是50m，乙地海拔高度是20 m ，丙地海拔高度是-30 m，最高的地方比最低的地方高（）（）30 m （）20 m （）80 m （）50 m13.高度每上升千米，氣溫下降，現在千米高空的溫度是-20，那么地面溫度為（）（）-10（）10（）30（）-30三、解答題14.把下列各數填到相應的大括號里：-1， 4.3， +72， 0， ， -6.4， -12， ， 26， ， ， .（）整數集合： （）正數集合： （）負數集合： （）非負整數集合： （）自然數集合： （）有理數集合： （）正分數集合： （）負整數集合： 15.某中學對初三男生進行引體向

11、上的測試，以能做7個為標準，超過的次數用正數表示，不足的次數用負數表示，其中8名男生的成績如下表：2-103-2-310（）這8名男生有百分之幾達到標準？（）這8名男生共做了幾個引體向上？16.測一座公路橋的長度，各次測得的數據是：853米，827米，865米，868米，857米（）求這五次測量的平均值；（）如以求出的平均值為基準數，用正、負數表示出各次測量的數值與平均值的差17.某校購回面粉10袋，每袋50千克，入庫時又重新稱量，結果如下，（超過的千克數記為正數，不足的千克數記為負數）。+0.8，-0.5，+1.1,0,-0.3,+0.4,-1.2,-0.7,+0.6。問：該校共買進面粉多少

12、千克？平均每袋面粉重多少？平均每袋面粉比標準量多還是少？第二講：數軸一、知識回顧：1、有理數：和統稱為有理數。2、正數和負數：像5,1,1.2，這樣的數叫做；在正數的前面加上“-”號的數叫做，如-10,-3，3、0既不是也不是。二、數軸1.數軸概念畫一條，取點表示0，叫做，選取某一長度作為，規定向的方向為正方向，數軸如下：-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5數軸三要素：、和。（三者缺一不可）例題：1.下列選項中，表示的數軸正確的是（ ） -2 -1 0 1 2 -1 -2 0 1 2-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 2. 取每隔2個單位長度為一點，做一條數軸。2.

13、數軸上的點與有理數的關系所有有理數都可以用數軸上的點來表示，0表示，正有理數可以用原點表示，負有理數可以用原點左邊的點表示。但反過來，不能說數軸上的所有點都表示有理數。例題：1.如圖，數軸上的點A、B、C、D分別表示什么數？2.畫出數軸，并用數軸上的點表示下列各數：-，+5,0，+3.5.3.若數軸上的點A向右移動2個單位長度后，又向左移動1個單位長度，此時正好對應8這個點，那么原來A點對應的數是。3.利用數軸比較有理數的大小數軸上兩個點表示的數，邊的總比邊的大。正數0，負數0，正數負數。例題：1將有理數-2，+1,0，-2,3在數軸上表示出來，并用“”連接各數。2. a、b為兩個有理數，在數

14、軸上的位置如圖所示，把a、b、-a、-b、0按從小到大的順序排列出來。0a b3.已知ab0，比較a，-a，b，-b的大小。三、相反數01-11.幾何定義：在數軸上，原點兩旁離開原點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互為相反數；如圖所示1和-12.代數定義：只有符號不同的兩個數，我們說其中一個數是另一個數的相反數，也稱這兩個數互為相反數。特別地，0的相反數為。3.相反數表示方法：表示一個數的相反數，只要在這個數的前面添上一個“”號即可，如6的相反數是，-6的相反數可以表示為-（ ） 。一般地，數的相反數是。a-b的相反數是例題：1.下列說確的是( )A 一個數比它的相反數小，那么這個數是正數。B

15、 符號相反的兩個數互為相反數。C 互為相反數的兩個數可能相等。D 一個數的相反數不可能大于它本身。2.的相反數的相反數是，（）的相反數是3.（1）0.1與a互為相反數，那么a=。（2）a-1的相反數是。（3）若-x的相反數是-7.5，則x=。（4）如果m的相反數是最大的負整數，n的相反數是-2，那么m+n=。4.多重符號的化簡：在一個數的前面添加一個“”號，依然與原數相同。如：+5=5在一個數的前面添加一個“”號，就成為原數的相反數。例題：1.化簡下列各數的符號。（1）-（-）（2）-（+3.5） （3）+（-1） （4）-（+5）課堂練習：1、 下列各圖中，是數軸的是（）ABCD01101-

16、1012、下列說法中正確的是（）A正數和負數互為相反數B0是最小的整數C在數軸上表示+4的點與表示-3的點之間相距1個單位長度D所有有理數都可以用數軸上的點表示3、下列說法錯誤的是（）A所有的有理數都可以用數軸上的點表示B數軸上的原點表示0C在數軸上表示-3的點與表示+1的點的距離是2D數軸上表示-5的點，在原點負方向5個單位4、數軸上表示-2.5與的點之間，表示整數的點的個數是（）A3B4C5D65、若-x=8，則x的相反數在原點的_側。6、把在數軸上表示-2的點移動3個單位長度后，所得到對應點的數是_。7、數軸上到原點的距離小于3的整數的個數為x，不大于3的整數的個數為y，等于3的整數的個

17、數為z，則x+y+z=_8. 的相反數是，與互為相反數，的相反數是1.1。9. -（-3.5）= -（+8）= -（+9）=10.在數軸上距離數1是2個單位的點表示的數是_；11.指出下圖所示的數軸上各點分別表示什么數。A，B，C，D，E，F分別表示_，_，_，_，_，_。12.數軸上點A和點B表示互為相反數，A,B兩點的距離是10，求這兩個數分別為_。13.畫出數軸，把下列各數在數軸上表示出來，并按從小到大的順序，用“”連接起來。14.一輛貨車從貨場A出發，向東走了2千米到達批發部B，繼續向東走1.5千米到達商場C，又向西走了5.5千米到達超市D，最后回到貨場。（1）用一個單位長度表示1千米

18、，以東為正方向，以貨場為原點，畫出數軸并在數軸上標明貨場A，批發部B，商場C，超市D的位置.（2）超市D距貨場A多遠？（3）貨車一共行駛了多少千米？課后作業：一、填空題. 如圖，在數軸上點表示數，點表示數，點表示數，點表示數。.把下列各數的相反數在數軸上表示出來，并用“”號把這些相反數連接起來：，。用“”號連接：.數軸上表示的點在原點側，距原點的距離是；+7.3在原點側，距原點的距離是。.與互為相反數；的相反數是，相反數是，的相反數是。.若，則；若，則；若，則；若，則。.的相反數大于本身，的相反數等于本身，的相反數小于本身。7.（1）； （2）；（3）； （4）。8.一個點從數軸上的原點開始，

19、先向左移動個單位長度，再向右移動個單位長度，這時它表示的數是。9.如果數軸上點所對應的數是，則與點相距個單位長度的點所對應的數為。10.不大于的非負整數有；不小于-的負整數有。二、選擇題11.下列說確的是（）（）兩個符號相反的數互為相反數（）一個數的相反數一定是負數（）-是相反數 （）的相反數是它本身12.如圖，是數軸的是（）（）（）（）（）13.若有理數，在數軸上的點表示數，點表示數，那么（）（）點在點的右邊；（）點在點的左邊；（）點在原點右邊，點在原點左邊；（）點和點都在原點的右邊，且點更靠近原點。14.下列各式正確的是（）（） （） （） （）15.甲住在離學校千米的地方，乙住在離學校千

20、米的地方，則甲、乙兩人住地相距（）（）12千米（）2千米（）12千米或2千米（）不能確定16.如果數和在數軸上的位置如圖所示，那么下列式子中成立的是（）（）（）（） （）17.下列說法中，錯誤的是（）（） 數的相反數一定是 （） 任何一個有理數都可以用數軸上的點表示（） 任何一個數的相反數的相反數都等于它本身 （）數軸是一條線段三、解答題18.如圖所示，在數軸上有三個點、，請回答：（）將點向左移動個單位后，三個點表示的數中最小的是（）將點向右移動個單位后，三個點表示的數中最小的是（）將點向左移動個單位后，點表示的數比點表示的數大（）怎樣移動、中的兩個點，才能使三個點表示的數相同？有幾種移動方法

21、？第三講：絕對值一、絕對值1.絕對值的概念：在數軸上，一個數所對應的點與的距離叫做這個數的絕對值。用表示一個數，則的絕對值記作，讀作:。例如，+3的絕對值等于3，記作+3=3，-3的絕對值等于3，記作-3=3，表示0的點與原點的距離是，所以0=。例題：1.（1）求下列各數的絕對值：2，-6,3，1.5，0。（2）已知x-28=0，x-20=。2.若|a|=2，則a= 。3.到原點5個單位長度的點是。4.若|m|=-m,則m是。若|m|=m,則m是5.寫出絕對值不大于3的所有整數2.一個數的絕對值與這個數的關系：一個正數的絕對值等于_,一個負數的絕對值等于_,零點絕對值等于_互為相反數的絕對值_

22、即總結：絕對值的非負性，即0.若幾個非負數之和為0，則每個加數分別為0.互為相反數的兩個數的絕對值；反之，若兩個數的絕對值相等，則兩個數或 。從數軸上看，一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的，離遠點的距離越遠，絕對值；離原點的距離越近，絕對值。距離0，所以絕對值最小的有理數是。任何數都有唯一絕對值與之對應。求絕對值的方法：先判斷這個數是正數、負數還是0.再求絕對值。例題：1.|+2|=，|+8.2|=； |-3|=， |-8.2|=.2.如果=1，那么_0,如果=-1，那么a_03.若|x+2|+|y-3|=0，則x=,y=。4.若|a|=4,|b|=3,且ab,試求 a、b的值。5.已知

23、，化簡：3.比較兩個負數的大小兩個負數比較大小，絕對值大的反而。比較兩個負數大小的步驟：分別求出兩負數的絕對值；比較兩個絕對值大小；根據“兩個負數比較大小，絕對值大的反而小”作出判斷。例題：1.比較下列有理數的大小：（1）-和-20；（2）-和-2.比較下列每組數的大小：（1）（5）與（2）（3）與0（3）與（4）與課堂練習：1.如果a與1互為相反數，則a等于（）A.2 B.2 C.1 D.12.如圖，檢測4個足球，其中超過標準質量的克數記為正數，不足標準質量的克數記為負數，從輕重的角度看，最接近標準的是（）3.實數a、b在數軸上位置如圖所示，則|a|、|b|的大小關系是4.-4的絕對值是_，

24、絕對值等于4的數是_.5.3.14-=_.6.若-a=2，則a=_.7.絕對值不大于4的所有負整數是_.8.在-5，中，絕對值最小的數是_,離原點最遠的數是_.9.若|x2|+|y+3|+|z5|=0計算:（1）x,y,z的值.（2）求|x|+|y|+|z|的值.10.已知，a與b異號，求a，b的值11.出租車司機師傅從上午8：009：15在廈大至會展中心的環島路上運營，共連續運載十批乘客若規定向東為正，向西為負，師傅運載十批乘客的里程如下（單位：千米）：8，6，3，7，8，4，9，4，3，3（1）將最后一批乘客送到目的地時，師傅距離第一批乘客出發地的位置怎樣？距離多少千米？（2）上午8：00

25、9：15，師傅開車的平均速度是多少？（3）若出租車收費標準為：起步價8元（不超過3千米），超過3千米，超過部分每千米2元則師傅在上午8：009：15一共有多少收入？課后作業：一、填空題.用等號或不等號填空：（）； （）-；（）-0.01-0.5；（）0.（）；（）；（）；（）（5）；（6）. 的絕對值是，絕對值等于的數是和.絕對值最小的數是；絕對值小于2.5的整數是；絕對值小于的自然數有；絕對值大于且小于6的負整數有.若，則；若，則7.的相反數是；的相反數的絕對值是；的相反數是它本身8.若，則1；若，則1；若，則；若，則9.最小的自然數與絕對值最小的整數的和是二、解答題10.計算：（）（）11

26、.比較下列各數的大小（要有解答過程）：（）（）12.已知，且有理數在數軸上的位置如圖所示，計算a,b,c的值13.已知，且，求x,y的值14.若2a0a,b同號。 ab0a,b異號。幾個不等于零的數相乘，積的正負號由負因數的個數決定，當負號的個數為奇數時，積為負；當負號的個數為偶數時，積為正。幾個數相乘，有一個因數為零，積就為零。例題：1.計算：（1）3（-4）（2）（-6）（-2）（3）（-）（4）（-0.5）（-8）2.計算：（1）（2）3.（1）若，則；若則（2）若，則；若、異號，則3.如果|a|=2,|b|=3,且ab0,求3a+2b的值。二、乘法運算律1.乘法交換律：兩個數相乘，交換

27、因數的位置，積不變，即。2.乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或先把后兩個數相乘，積不變，即。3.乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同兩個數相乘，再把積相加，即。例題：.指出下列變化中所運用的運算律：（）（）；（）（）；（）（）；（）（ ）2.計算：（1）（-8）（+）（-）（2）4（-0.17）（-25）（3）（-+）（-24） （4）5（-1）-（-6）（-1）-1（5）13143(1)三、倒數1.如果兩個有理數的乘積為，那么稱其中一個數是另一個數的倒數，也稱這互為倒數。 如：-2與-，-與-分別互為倒數。2.根據“同號得正”，互為倒數的兩數符號，即正數的倒數是，

28、負數的倒數是。若a0，則a的倒數為，0沒有倒數。若a,b互為倒數，則ab=1，反之若ab=1，則ab互為倒數。倒數為本身的數是1.例題：1.填空：（1）-的倒數是，0.5的倒數是；（2）倒數為3的數是，1的倒數是。2.若a、b互為相反數，c、d互為倒數，且cl，求的值3.負實數的倒數是（）AaBCD課堂練習：1.用“”“”“”“”“”填空：（）若，則；（）若，則；（）若，則2.下列說法中，正確的是（）（）兩負數相乘，其積為負 （）同號兩數相乘，其積為正（） 同號兩數相加，其和為正 （）同號兩數相減，其差為正3.下列說法中，錯誤的是（）（）任何數乘以-的積都等于它的相反數（）如果若干個數的積不等

29、于，那么它們都不等于（）如果若干個數的積大于，那么它們的和不一定大于（）如果兩個數的積小于，那么它們的差小于4.如果，那么一定有（）（）（）（）最多有一個為 （）至少有一個為5.若，則的值為（）（）48 （）-48 （）0 （）6.（）；（）；（）；（4）；（5）；（6）；（7）；課后作業：一、填空題.； ；.8()-72；（）；（）-；3.若，b的絕對值等于的倒數的相反數，求ab的值為。4.絕對值大于小于的所有整數的積是5.絕對值不大于的所有負整數的積是6.，則7.一個數的倒數的相反數是，那么這個數是( ). .8.分析判斷：（）如果，試確定的正負；（）如果，試確定的正負；（）如果，試確定的

30、正負二、計算題12.（1）；（2）（3）；（4）；（5）； 6）；（7）；（）（9）.；（10）.13.四個不相等的整數a.b.c.d,它的積abcd=9,求a+b+c+d的值。14已知x =4，y =7，且xy 0,求x+y的值。第七講：有理數的除法一、 有理數除法法則（一）：兩個有理數相除，同號得，異號得，并把絕對值。0除以任何非0的數都得。例題：1.計算：（-16）（-2） =2.若，則3.若，求的值二、求一個有理數的倒數：用1除以一個數，就是這個數的。正數的倒數是，負數的倒數是，0沒有倒數。乘積為-的兩個數互為例題：1. 求下列各數的倒數：（1）-3 （2）- （3）-1 （4）-0.

31、2三、有理數除法法則（二）：除以一個不等于0的數等于乘這個數的，即。例題：1.計算：（1）（2）（3）（4）1（-1） （5）（-0.75）（-）2.化簡下列分數：（1）（2）（）（）四、有理數的乘除混合運算：(1)進行有理數乘除混合運算時符號的確定當負因數的個數為奇數時，計算結果為負數；當負因數的個數為偶數時，計算結果為正數。(2)有理數乘除法運算 的順序：有理數的乘法與除法是同級運算，因此要從左到右依次進行。有括號的要先算括號里面的。例題：1.計算：(1)3；(2)(3.5)（3）（4） （5） （ 6）2.計算：（1） （2）50（3）（4）1( -)課堂練習：一填空：1.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）=；2.化簡下列分數：（1）=；（2）=；（3）=；（4）=；3.與5的積等于1的數是_。4.一個數的25%是120，則這個數是。二、選擇5.下列說確的是（ ） 。A.任何有理數都有倒數 B.一個數的倒數小與它本身C.0除以任何數都得0 D.兩個數的商為0，只有被除數為06已知有兩個有理數的