1、Gauss 列主元消去法實驗報告實驗名稱： Gauss列主元消去法程序設計成績： _專業班級：數學與應用數學1202 班姓名：王曉陽學號：實驗日期：2014年11月10日實驗報告日期：2014 年11月 10日一實驗目的1. 學習 Gauss 消去法的基本思路和迭代步驟 .2. 學會運用 matlab 編寫高斯消去法和列主元消去法程序， 求解線性方程組 .3. 當 akk k 絕對值較小時，采用高斯列主元消去法.4. 培養編程與上機調試能力 .二、實驗內容用消去法解線性方程組的基本思想是用逐次消去未知數的方法把原線性方程組 Ax b 化為與其等價的三角形線性方程組， 而求解三角形線性方程組可用

2、回代的方法求解 .1. 求解一般線性方程組的高斯消去法.(1) 消元過程：設 akkk0 ，第 i 個方程減去第 k 個方程的 mikaikk / akkk 倍，(i k 1,n) ，得到 A k 1 x b k 1 .aijk 1aijkmik akjk , i , j k 1, , nbik 1bikmik bkk經過 n-1 次消元，可把方程組A 1 xb 1 化為上三角方程組A n xb n .(2) 回代過程：xnbn n/ ann nini xj / aiii , i n 1, ,1xibiaijj i1以解如下線性方程組為例測試結果.10x17 x273x12x26x345x1x

3、25x362. 列主元消去法由高斯消去法可知，在消元過程中可能出現akk k0 的情況，這是消去法將k無法進行，即使主元素akk0 但很小時，用其作除數，會導致其他元素數量級的嚴重增長和舍入誤差的擴散，最后也使得計算解不可靠. 這時就需要選取主元素，假定線性方程組的系數矩陣A 是菲奇異的 .(1) 消元過程：對于 k1,2, n1 ，進行如下步驟：1) 按列選主元，記apkmax aikkin2) 交換增廣陣 A 的 p,k 兩行的元素。A(k,j)=A(p,j) (j=k, ,n +1)3) 交換常數項 b 的 p,k 兩行的元素。b(k)=b(p)4) 計算消元aijk 1aijkmik

4、akjk , i , j k 1, , nbik 1kkbimik bk(2) 回代過程xnbn n/ ann nini xj / aiii , i n 1, ,1xibiaijj i 1(3) 以解如下線性方程組為例測試結果 .0.00001x1x212x1x22三、實驗環境MATLAB R2014a四、實驗步驟1. 高斯列主元消去法流程圖：開始輸入系數陣a和常數項b按列選主元交換元素計算消元回代輸出線性方程組的解結束2. 程序設計：( 一) 高斯消去法：a=input( ' 請輸入系數陣： ' );b=input( ' 請輸入常數項： ' );n=lengt

5、h(b);A=a,b;x=zeros(n,1);%初始值for k=1:n-1for i=k+1:n%第 k次消元m(i,k)=A(i,k)/A(k,k);for j=k+1:nA(i,j)=A(i,j)-A(k,j)*m(i,k);endb(i)=b(i)-m(i,k)*b(k);endendx(n)=b(n)/A(n,n);%回代for i=n-1:-1:1;s=0;for j=i+1:n;s=s+A(i,j)*x(j);endx(i)=(b(i)-s)/A(i,i)end( 二) 高斯列主元消去法：a=input(b=input(' 請輸入系數陣： ' );' 請

6、輸入常數項： ' );n=length(b);A=a,b;x=zeros(n,1);%初始值for k=1:n-1ifabs(A(k,k)<10(-4);%判斷是否選主元y=1elsey=0;endify;%選主元for i=k+1:n;ifabs(A(i,k)>abs(A(k,k)p=i;else p=k;endendifp=k;for j=k:n+1;s=A(k,j);A(k,j)=A(p,j);%交換系數A(p,j)=s;endt=b(k);b(k)=b(p);%交換常數項b(p)=t;endendfor i=k+1:nm(i,k)=A(i,k)/A(k,k);for

7、 j=k+1:nA(i,j)=A(i,j)-A(k,j)*m(i,k);endb(i)=b(i)-m(i,k)*b(k);endendx(n)=b(n)/A(n,n);%回代for i=n-1:-1:1;%第k次消元s=0;for j=i+1:n;s=s+A(i,j)*x(j);endx(i)=(b(i)-s)/A(i,i)end五、實驗結果Gauss1請輸入系數陣： 10,-7,0;-3,2,6;5,-1,5請輸入常數項： 7;4;6x =0-1.00001.0000x =-0.0000-1.00001.0000X=（0，-1 ， 1）Gauss2請輸入系數陣： 10(-5),1;2,1請輸入常數項： 1;2y =1x =0.50001.0000X=（0.5 ，1）六、實驗討論、結論本實驗通過matlab程序編程實現了高斯消去法及高斯列主元消去法的求解，能加深對高斯消去法基本思路與計算步驟的理解。當主元素特別小時， 需要選取主元，否則會影響結果，這時就需要采用高斯列主元消去法。七、 參考資料1