1、、指數(shù)函數(shù)運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)：1.整數(shù)指數(shù)哥的概念.n1a-=(a=0,nN*).a二、二項(xiàng)式知識(shí)回顧1.二項(xiàng)式定理(a+b)n=C：an+Cnan4b1+C：an&bk+.一+C：bn,以上展開式共 n+1 項(xiàng)，其中 C：叫做二項(xiàng)式系數(shù)，Tk#=C：anbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).(請(qǐng)同學(xué)完成下列二項(xiàng)展開式)(ab)n=C；anC：an4b1+十(1)kC：aibk+十(1)nC：bn,Tk書=(1)kC：anbk(1+x)n=C；+C：x+.一+C：xk+.一+C：xn(2x+1)n=C；(2x)n+C；(2x)n+C：(2x)n+-C=(2x)+1nn1n-k-,二anxan0,mnCN,

2、且n1).例題：221o162例 1 求值：83,100,(-)-,().481例 2 用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的形式表示下列各式:1)a2-Va,a34a2,dan(式中 a0)2)例 3 計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù))(1)(2a3b2)(-6a2b3)-：(3a6b6);(2)(mn)8.2例 4 計(jì)算下列各式：(1)/(a0);.a3.a2(2)(325-125)-451111例 5 化簡(jiǎn):(xy2)+(x4-yZ)例 6 已知 x+x-1=3，求下列各式的值:(1)x2x2,(2)x2x2an=aaaa(n 三 N*)0Qa0=1(a=0)式中分別令 x=1 和 x=-1,則可以得到C0+C；

3、+Cnn=2n,即二項(xiàng)式系數(shù)和等于2n;偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和，即C：+C：+=C：+C；+=2n，式中令 x=1 則可以得到二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和.2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Cm=C：q.(2)二項(xiàng)式系數(shù) Cnk增減性與最大值：、“n1,一一n1,一一,當(dāng)k時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；當(dāng)k之時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的22當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)， 中間一項(xiàng)C：取得最大值.當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)， 中間兩項(xiàng)Cn2和Cn2相等，且同時(shí)取得最大值3 .二項(xiàng)展開式的系數(shù) a0,a1，a2,a3,an的性質(zhì)：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,+an

4、xnao+a1+a2+a3,+an=f(1)ao-a1+a2-a3,+(-1)nan=f(-1)a0+a2+a4+a6,=f(1)+f(-1)a1+a3+as+a7),=f(1)f(-1)22三、經(jīng)典例題1、“(a+b)n展開式例 1.求(3.反十三)4的展開式；x3x14(3x1)4104132234斛：原式二(7/T)=x2=/C.(3x)+C，(3x)+C，(3x)+C4(3x)+CJ2121=81x84x54x【練習(xí) 1】求(3/x；)x2.求展開式中的項(xiàng)例 2.已知在(現(xiàn)1)n的展開式中，第23x(1)求 n；(2)求含 x2的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項(xiàng)n-r/r/n-2

5、rr-1r七1r解：(1)通項(xiàng)為Tr書=Cnx3(-)x=(-一)Cnx22因?yàn)榈?6 項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以 r=5 時(shí)，有n2r=0,即 n=10.3“10-2r一一一，一一21245(2)令10-r=2,得r=2所以所求的系數(shù)為Cj0(1)2=45.324,-10-2r)(3)根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意-Z30r10,rZ4的展開式6 項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)人10-2r3k.令一-一=k(kwZ),則r=55,故k可以取2,0,2,即 r 可以取 2,5,8.所以第 3 項(xiàng)，第 6 項(xiàng)，第 9 項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為C12)(-1)2x2C；0(-1)5C18)(-)8x-.222【練習(xí) 2】若(瘋+J_y展開

6、式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列.求：24x(1)展開式中含 X 的一次哥的項(xiàng)；(2)展開式中所有 X 的有理項(xiàng).3.二項(xiàng)展開式中的系數(shù)例 3.已知(漢+x2)2n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x1)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和大 992,求(2xJ2n的展開x式中：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)(先看例 9).解：由題意知，22n2n=992,所以2n=32,解得 n=5.(1)(1)由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，(2x3)10的展開式中第 6 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.T6=C；0(2x)5(1)5=8064.xx(2)設(shè)第 r+1 項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大，Tr1=C1r0(2x)10()r=(-1)

7、r210C1r0 x10 xrWZ,，r=3,故系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第 4 項(xiàng)，T4=-C13)27x4=-15360 x4.練習(xí) 3已知(彼-馬)n(nwN*)的展開式中的第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比是 10：1.x3(1)求展開式中含x2的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)4、求兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式指定哥的系數(shù)例 4.(x2十1)(x2)7的展開式中，x3項(xiàng)的系數(shù)是;.3解：在展開式中，x的來(lái)源有:26第一個(gè)因式中取出x2,則第二個(gè)因式必出x,其系數(shù)為C7(-2)6;第一個(gè)因式中取出 1,則第二個(gè)因式中必出 x3,其系數(shù)為C4(-2)4664二x3的系數(shù)應(yīng)為:C7(

8、2)6+C7(2)4=1008,.填1008。5、求可化為二項(xiàng)式的三項(xiàng)展開式中指定哥的系數(shù)1例 5(04 安徽改編)(x+1-2)3的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是x解：(x1-2)3=更二1-3=(”，該式展開后常數(shù)項(xiàng)只有一項(xiàng)xxx6、求中間項(xiàng)C1r。210上.C；。C；0210,.C1r0129J寸Cr0*2C；011-r_2r2(r1)_10-r3x3(T)3C63,即_20 x例 6 求（衣白10的展開式的中間項(xiàng);n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（a+b）n的展開式的中間項(xiàng)是C27、有理項(xiàng)例 7(.x-L)xr解：I1.七;叔/產(chǎn)匚1曠=C；（,）rxJx,當(dāng)r=0,3,6,9時(shí)，所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)。故展開式中有

9、理項(xiàng)有 4 項(xiàng)。當(dāng)一個(gè)代數(shù)式各個(gè)字母的指數(shù)都是整數(shù)時(shí)，那么這個(gè)代數(shù)式是有理式；當(dāng)一個(gè)代數(shù)式中各個(gè)字母的指數(shù)不都是整數(shù)（或說(shuō)是不可約分?jǐn)?shù)）時(shí)，那么這個(gè)代數(shù)式是無(wú)理式。8、求系數(shù)最大或最小項(xiàng)11）特殊的系數(shù)最大或最小問(wèn)題例 8（00 上海）在二項(xiàng)式（x-1）11的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)是為C：（-1）5-462（2） 一般的系數(shù)最大或最小問(wèn)題例 9 求（4+=）8展開式中系數(shù)最大的項(xiàng);24x解得 3EkE4,系數(shù)最大的項(xiàng)為第 3 項(xiàng) T3=7x2和第 4 項(xiàng) T4=7x。（3） 系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)例 10 在（x-y）7的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)是解：求系數(shù)絕對(duì)最大問(wèn)題都可以將“（a-b）

10、n型轉(zhuǎn)化為（a+b）n型來(lái)處理,故此答案為第 4 項(xiàng)C；x3y4,和第 5 項(xiàng)_C：x2y5。9、利用“賦值法”及二項(xiàng)式性質(zhì) 3 求部分項(xiàng)系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和例 11.若(2x+*,r3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a,x4,則(a。+a2+a4)2-+as)2的值為解：(2x3)4=a()aiXa?x283x3a4x4令 x=1,有(2+V3)4=a0+a1+a2+a3+a4,令 x=1,有(-2+內(nèi))4=(a0+a2+a4)(a1+a3)解：丫千=C10a反）10汽寧）；:展開式的中間項(xiàng)為Cl0(X)(3x)5即： 一252x玉。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),（a+b）n的展開式的中間項(xiàng)是n1n.

11、1nJ_n1n工p2ab和p2abV/nn10的展開式中有理項(xiàng)共有項(xiàng);，要使項(xiàng)的系數(shù)最小，則rr必為奇數(shù)，且使C11為取大，由此得r=5,從而可知最小項(xiàng)的系數(shù)解：記第r項(xiàng)系數(shù)為Tr,設(shè)第k項(xiàng)系數(shù)最大，則有_Tkj_Tk1又Tr=C；2工,那么有Ck1k28-2毛8一24即k1：2-1k.2-8C88!8!2-1)!.(9-K)!一(K-2)!.(10-K)!8!8!2(K-1)!.(9-K)!-K!(8-K)!1K-122-K-21-9K-K故原式=(a。aia2a3a4).(aoa?a,)一(aas)=(2-,3)4.(-23)4=(-1)4=1【練習(xí)】若(1_2x)2004=a。+a1x+

12、a2x2+.+2004x2。4,則(a0+&)+(a+az)+.+(a+a2004)=j解：:(1-2x)2004=a0+a1x+a2x2+2004x2004,令x=1,有(1-2)2004=a0+a1+a2+a2004=1令x=0,有(1-0)2004=a0=1故原式=(a0+a+a2+.+2004)+2003a0=1+2003=2004【練習(xí) 2】設(shè)(2x1)6=a6x6+a5x5+.+a1x+a,則 a0+a+忖2+.+a6=;r6.1r解：,Tr1=C6(2x)(一1).a0|一同一同|”.一 N=a-a1,a2-a3a4-a5-a6=(aa2a4a6)-a3as)=110 利用二項(xiàng)式定理求近似值例 15.求0.9986的近似值，使誤差小于0.001；分析：因?yàn)?.9986=(1-0.002)6,故可以用二項(xiàng)式定理展開計(jì)算。解：0.9986=(1-0.002)6=16.(-0.002)115.(-0.002)2.(-0.002)6_2_222-T3=C6.(-0.002)2=15(-0.0022=0.000060.001,且第 3 項(xiàng)以后的絕對(duì)值都小于0.001,二從第 3 項(xiàng)起，以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì)。.0.9986=(1-0.002)616(-0.002)=1-0.012=0.988小結(jié)：由(1+x)n=1+c：x+C：x2+.+C：