1、精選優質文檔-傾情為你奉上摘要:人口的增長是當前世界上引起普遍關注的問題作為世界上人口最多的國家，我國的人口問題是十分突出的由于人口基數大盡管我國已經實行了20多年的計劃生育政策人口的增長依然很快，巨大人口壓力會給我國的社會 政治經濟醫療就業等帶來了一系列的問題。因此研究和解決人口問題在我國顯得尤為重要。我們經常在報刊上看見關于人口增長預報，說到本世紀，或下世紀中葉，全世界的人口將達到多少億。你可能注意到不同報刊對同一時間人口的預報在數字商場有較大的區別，這顯然是由于用了不同的人口整張模型計算出來的結果。 人類社會進入20世紀以來，在科學和技術和生產力飛速發展的同時世界人口也以空前的規模增長。

2、人口每增加十億的時間，有一百年縮短為十幾年。我們賴以生存的地球已經攜帶著他的60億子民踏入下一個世紀。長期以來，人類的繁殖一直在自然地進行著，只是由于人口數量的迅速膨脹和環境質量的急劇惡化，人們才猛然醒悟，開始研究人類和自然的關系、人口數量的變化規律以及如何驚醒人口控制等問題。本文件里兩個模型： （1）：中國人口的指數增長模型，并用該模型進行預測，與實際人口數據進行比較。 （2）：中國人口的Logistic圖形，標出中國人口的實際統計數據進行比較。而且利用MATLAB圖形 ，標出中國人口的實際統計數據，并畫出兩種模型的預測曲線和兩種預測模型的誤差比較圖，并分別標出其誤差。關鍵詞：指數增長模型

3、Logistic模型 MATLAB軟件 人口增長預測1.問題的提出下表列出了中國1982-1998年的人口統計數據，取1982年為起始年（），萬人，萬人。年198219831984198519861987198819891990人口（萬）年19911992199319941995199619971998人口（萬）要求：（1）建立中國人口的指數增長模型，并用該模型進行預測，與實際人口數據進行比較。（2）建立中國人口的Logistic模型，并用該模型進行預測，與實際人口數據進行比較。（3）利用MATLAB圖形，標出中國人口的實際統計數據，并畫出兩種模型的預測曲線。（4）利用MATLAB圖形，畫出兩

4、種預測模型的誤差比較圖，并分別標出其誤差。【注】常微分方程一階初值問題的MATLAB庫函數為：ode45。語法為：t,Y =ode45(odefun,tspan,y0)2.問題的分析 人口的變化受到眾多方面因素影響，因此對人口的預測與控制復雜，很難再一個模型中綜合考慮到各個因素的影響。要預報未來若干年的人口，最重要的影響因素自然是今年的人口和今后這些年的增長率（即人口出生率減去死亡率），根據這兩個數據進行人口預報是十分容易的。例如根據我國國家統計局1990年10月30日歸表的公報。1990年7月1日我國人口總數為11.6億過去8年的平均年增長率為1.48%。如果今后的年增長率保持這個數字，那么

5、容易算出，一年后我國人口為11.6*（1+1.0148）=11.77（億），10年后即2000年警衛116*（1+0.0148）10=13.44(億)。這種算法用式子表示也十分簡單。記人口為X0，k年后人口為Xk，年增長率為r則預報公式為:Xk=X0（1+r）k (1)顯然，這個公式的基本前提是年增長率r保持不變。這個條件在什么情況下才能成立，如果不成立又該怎么辦。在歷史上，人口模型的發展過程回答這個問題。早在18世紀人們就開始進行人口預報工作了，一二百來年發展了許多模型，指數增長模型和Logistic模型是其中最簡單的兩種模型。3模型一 3.1模型假設： （1）假設不存在某抽樣年齡段出現0死

6、亡概率 （2）假設人口平穩增長，無大行自然災害，戰爭等因素影響 （3）假設境內外遷移率對我國未來人口影響不計 （4）人口凈增長率（即出生率減去死亡率）為常數 （5）時刻t的人口函數是連續可微的3.2 名詞解釋與符號說明 t 表示年份（選定初始年份t=0） r 表示人口增長率 x表示人口數量3.3 模型的建立及求解 記 時刻t的人口為x（t）當烤翅一個國家或一個很大的地區人口時，x（t）是很大的整數。為了利用微積分這一數學工具，將x（t）視為連續的，可微的函數。記初始時刻（t=0）的人口為X0，人口增長率為r，r是單位時間內x（t）的增長量與x（t）的比例系數。根據r是常數的基本假設，t到t+t

7、時間內人口的增量為： x(t+t)-x(t)=rx(t)t于是x（t）滿足如下的微分方程：dx/dt=rx x(0)=x0 （2）有這個線性常系數微分方程容易得出 x（t）=x0 *e(rt)表明人口將按指數規律無限增長（r>0）。將t以年為單位離散化，（3）是表明，人口以er為公比的等比數列增長因為這時候r表示年增長率通常r<<1，所以可用近似關系er=1+r可得出 x（t）x0（1+r）t (4)(1) 式與（4）式比較克制前面給出的預報公式（1）不過是指數增長模型離散形式得近似表示。(2) 由（3）或（2）式給出的模型，與19世紀以前歐洲一些地區的人口統計數據可以很好的

8、吻合。3.4 模型檢驗98年由指數增長模型預測出的人口數與實際人口數相差最小，而且其他年份的真實值與預測值之間有差別年實際人口（萬人）指數增長模型（萬人）誤差199119922071993257199429119952971996227199713819983其中人口的自然增長率為這幾年的平均增長率r=0.01116，指數增長模型預測的結果很好額反映了實際情況。按此模型預測現在中國人口已超過13億，到2016年中國人口將超過15億。我們看到，盡管中國人口調控政策比較得力，但中國近幾年處于高生育期，按指數增長模型預測的結果均比實際人口要少。同時由于中國人口調控政策比較得力，中國人口的自然增長率在

9、逐年下降，已經從1991年的千分之十五降到1998年的千分之十左右。而按照近幾年的平均增長率r=0.01116預測，肯定和實際之間有一定的誤差。隨著人口的增加，自然資源、環境條件等因素對人口繼續增長的阻滯作用越來越明顯。如果當人口較少時人口增長率還可以看做常數的話，那么當人口增加到一定數量后，增長率就會隨著人口的繼續增加而逐漸減少，許多國家人口增長的實際情況完全證明了這點。為了生存及人類文明程度的不斷提高，順其自然地會采取有效措施來控制人口的增長，使增長率成為一個遞減數，而可供人類生存的自然資源、環境等條件也為人口數量的最大值給予了強硬的限制。這就導致了比較適合于人口發展規律的新數學模型的產生

10、。3.5 模型的應用于推廣用指數增長模型的確可以預測人口的增長 但是他只適合與短期的人口預測，為了使人口預報特別是長時期預報更好的符合實際情況，必須修改指數增長模型關于人口增長率是常數這個假設了。為了生存及人類文明成都的不斷提高，順其自然的回采取有效措施來控制人口增長，式增長率成為一個遞減數而可供人類生存的自然資源、環境等條件也為人口數量的最大值給予了強硬的限制。這就導致了比較適合于人口發展規律的新數學模型的產生。4 模型二4.1 假設（1）地球上的資源有限，設為1；而一個人的正常生存需要占用資源1/P*（2）在時刻t，人口增長速率與當時人口數成正比，為簡單起見也假設與當時剩余資源s-1-P/

11、P*成正比；比例系數r*表示人口固有增長率；（3）社人口數P（t）足夠大，可以視為連續變量處理，且P（t）關于t連續可微。4.2 符號說明t 年份（初始年份t=0）r 人口增長率p 人口數4.3 模型建立與求解 由模型假設可將人口數的凈增長率r視為人口數P（t）的函數，由于資源對人口增長的限制，r（P）應是P（t）的減函數，特別是當P（t）達到極限承載人口數P*時，應有凈增長率r(P)=0,當人口數P(t)超過P*時，應當發生負增長。基于如上想法，可令 r（P）=r*s=r*(1-P/P*).用r（P）代替指數增長模型中的r到處如下微分方程模型 dP/dt=r*P(1-P/P*) P(t0)=

12、P0 （2） 這是個伯努利方程的初值問題 ，其解為： P(t)=P*1+(P*P0-1)e-r*(t-t0) 在這個模型中，我們考慮了資源量對人口增長率的阻滯作用，因而稱為阻滯增長模型（或Logistic模型）其圖形如圖3-34.4 模型檢驗從圖3-3可以看出人口總數具有如下規律：當人口數的初始值P0>P*時人口曲線（虛線）單調遞減，而當人口數的初始值P0<P*時，人口曲線（實線）單調遞增；無論人口處置如何，當t趨向正無窮他們街趨于極限值P*。4.5 模型討論 阻滯增長模型從一定程度上克服了指數增長模型的不足，可以被用來做相對較長時期的人口預測。但我們可以從一些有關我國人口預測的資

13、料發現這樣的預測結果：在直到2030年這一段時間內，我國的人口一直將保持增加的勢頭，到2030年前后我國人口將達到最大峰值的16億，之后，將進入緩慢減少的過程這是一條非單調的曲線，即說明其預測方法不是本節提到的兩種方法的任何一種。還有比指數增長模型、阻滯模型更好的人口預測方法嗎？事實上，人口的預測是一個相當復雜的問題，影響人口增長的因素除了人口基數與可利用資源量外，還和醫藥衛生條件的改善、人們生育觀念的變化等因素有關，特別在做中短期預測時，我們希望得到滿足一定預測精度的結果，比如在剛剛經歷過戰爭或是由于在特定的歷史條件下特殊的人口政策等，這些因素本身以及由此而引起的人口年齡結構的變動就會變的相當重要，進而需要必須予以考慮。5.模型作圖圈：人口的實際統計數據綠線：人口的指數增長曲線（x0=(1982年人口)），xk=x0(1+r)k，P(t)=P*1+(P*P0-1)e-r*(t-t0)，r=0.01116）紅線：人口的Logistic增長曲線（P*=，P0=x0）左圖為指數增長曲線與真實數據的誤差圖，右圖為Logistic增長曲線與真實數據的誤差圖6 參考文獻1 姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型M.