1、精品文檔精品文檔第16講反比例函數及其應用一個人的貢獻和他的自負嚴格地成反比，這似乎是品行上的一個公理。拉格朗日知識方法掃描如果兩個變量y與z的關系可以表示成y=k（k為常數，xw。的形式，那x么稱y是x的反比例函數.反比例函數y=k的圖象是由兩支曲線組成的，這兩支曲線稱為雙曲線。x反比例函數有下列性質：反比例函數y=k的圖象中兩支曲線都與x軸、y軸不相交；并且當k>O時,x在第一、第三象限內，函數值隨自變量取值的增大而減小；當k<0時，在第二、第四象限內，函數值隨自變量取值的增大而增大.經典例題解析2.一例1.（2006年廣東省初中數學競賽）如果函數y=kx2k的圖象是雙曲線,而

2、且在第二、四象限，那么k等于（）13(A)2(B)T(C)-2(D)1解.由題意，得2k2+k-2=-1,于是2k2+k-1=0,1因式分解得（k+1）（2k-1）=0,所以k=-1或k=12又雙曲線的兩支在第二、四象限內，k<0,所以k=-1,選（B）.例2.（2004年全國數學競賽遼寧省預賽）如圖，點P是x軸正半軸上的一1.一個動點，過點P做x軸的垂線PQ父雙曲線y=于點Q,連結OQ,當點P向右運動時，RtzXQOP的面積（）A.逐漸增大B.逐漸減小C.保持不變D.無法確定解設Q點坐標為（x,y）,則p QH y尸 y p O| Ax一 11Sop =2OPPQ =2xy。1一由于Q

3、點在雙曲線y=q上，可得xy=1.1一因此，SOP=5.即RtzXQOP的面積不隨P的運動而改變。故選Co例3.(2000年黃石市初中數學應用能力測試試題)某地上年度電價為0.8元，年用電量為1億度，本年度計劃將電價調至0.550.75元之間，經測算，若電價調至x元，則本年度新增用電量y(億度)與(x-0.4)元成反比例，又當x=0.65時，y=0.8o(1)求y與x之間的函數關系式；(2)若每度電的成本價為0.3元，則電價調至多少元時，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%?收益=用電量X(實際電價-成本價)k.02解(1)設丫=.當x=0.65時，y=0.8,.k=0.2.y=.x-0.

4、4x-0.4(2)根據題意，得(1+-0-)(x-0.3)=1(0.8-0.3)(1+2%).解得x一0.5,x2=0.6.x-0.4經檢驗均是方程的解，但:x的取值在0.550.75之間，只取x=0.6.例4.如圖所示，己知反比例函數象經過點A(-邪,m)過點A作AB，xAOB的面積為33.(1)求k和m的值；(2)若一次函數y=ax+1和圖象經過點A,并且與x軸相交于點C,求AO:AC的值.解(1)vk<0,.點A(舊，m)在第二象限內。；m>0,OB=|73|=V3,AB=m.Saaob=-OBAB=-a/3m=V3,m=2.點A的坐標為A(-石，2)。22把A(-6,2)的

5、坐標代入y=k中，得2=己，k=2后-a=Z=3C。x-、3-v33.y =x 1.,I3一一令y=0,得-*x+1=0,«=73.點C的坐標為C(73,0)3.ABx軸于點B,.ABC為直角三角形。在RtAABC中，AC2=AB2+BC2=22+(273)2,.AC=4在RtAABO中，由勾股定理，得AO=JaB2+BO2=J22+(T3)2=AO：AC=":4例5.(2006年第18屆希望杯數學邀請賽試題)某醫藥研究所開發一種新藥.成年人按規定的劑量服用，服藥后每毫升血液中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數關系近似滿足如圖所示曲線.當每毫升血液中的含藥量不少于

6、0.25毫克時，治療有效.則服藥一次治療疾病有效的時間為()(A)16小時(B)157小時8解函數y=kt經過(1,4)點，所以k=4,于是y=kt,即y=4t.又(1,4)點在反比例函數y=m上，所以于是y=m，即y=4tt依題意可知，當每毫升血液中的含藥量達到0.25毫克時，治療才有效.0.251由y=4t,行t=416由此開始，到含藥量少于0.25毫克時，藥效停止，含藥量不少于0.25毫克,一,4，一即當420.25時，得t<16t115所以服藥一次治療疾病有效的時間為16-=15(小時)。故選(C).1616例6.某單位為響應政發出的全民健身的號召，打算在長和寬分別為20米和11

7、米和矩形大廳內修建一個60平方米的矩形健身房ABCD,該健身房的四面墻壁中有兩側沿用大廳的舊墻壁的費用為20元/平方米.新建(含裝修)墻壁的費用為80元/平方米，設健身房的高為3米，一面舊墻壁AB的長為x米，修建健身房墻壁的總投入為y元.(1)求y與x的函數關系式；(2)為了合理利用大廳，要求自變量x必須滿足條件：8<x<12.當投入的資金為4800元，問利用舊墻壁的總長為多少米？解(1)根據題意，AB=x,ABBC=60,所以BC=",x6060目口60y=20X3x803x.即y=300x.xx.x當y=4800時有4800=300Ixxi=6, X2=10o都是原方

8、程的整理得x2-16x+60=0,解得xi=6,x2=10.經檢驗,根。由8<x<12,只取x=10.故可以利用舊墻壁的總長度為10+60=16米。10例7.如圖，正方形OABC,ADEF的頂點A、標軸上，點F在AB上，點B、E在函數y=3(x>O)的圖象上，則點E的坐標是x().（A）（；,曰）（B）（一，F）©（三,；）（D）（三，一）解顯然，B點的坐標為（1,1）,設AD=DE=a,則E（1+a,a）,（1+a）a=1,a2+a+1=5,即（a+g,a+1二”442422工曰5-1.5151.5-1、生人于是a=,a+1=，點E的坐標是（,）.選A2222例8

9、.(2007年全國初中數學競賽試題)如圖，點A,C都在函數y=3叵(x>0)的圖象上，x點B,D都在x軸上，且使得zOAB,ABCD都是等邊三角形，則點D的坐標為.解如圖，分別過點A,C作x軸的垂線，垂足分別為E,F.設OE=a,BF=b,WJAE=島,CF=4b,所以，點A,C的坐標為（a,石a）,（2a+b,百b）,所以於;3 a2 =3/ 3 ,3b （2 b） ,3 3 ,因此，點D的坐標為(276,0).同步訓練一選擇題1一1 .如果兩點P(1,y1),P2(2,y2)都在反比例函數y=的圖象上，那么()x(A)y2二y1：二0(B)小»00(C)y2y10(D)y1

10、y202 .(2007年全國初中數學聯賽浙江省預賽試題)函數y=-工的圖像大致形狀是圖中的()|x|3 .如圖是三個反比例函數y=k1.y=k2.y=3在X軸上方的圖象，那么仁卜2卜3X X X(A)ki>k2>k3(B)k2>k3>ki(C)k3>k2>ki(D)k3>ki>k24.函數y=kx+k與y=K在同一坐標系中的圖象的大體位置是()x5. (2007年四川省初中數學聯賽初二初賽試題)函數y=2x與y=18的圖象交于A,B兩點(其中，A在第一象限)，過A作ACx垂直于x軸,垂足為C,則4ABC的面積等于()二填空題6.如果函數(A)6(

11、B)9(C)12(D)18m-2一mm仔是y關于x的反比例函數，那么m的值是x47 .如圖AOAP、&ABQ均是等腰直角二角形，點P、Q在函數y=(x>0)的圖象x上，直角頂點AB均在x軸上，則點B的坐標為.8 .(2007年全國初中數學競賽天津賽區初賽試題)若反比例函數y=-的圖像與一次函數y=ax+b的圖像交于點A(2,m)、xB(5,n),WJ3a+b的值等于.9 .在銀行存款準備金不變的情況下，銀行的可貸款總量與存款準備金率成反比例關系，當存款準備金率為7.5%時，某銀行可貸款總量為400億元，如果存款準備金率上調到8%時，該銀行可貸款總量將減少億元。10 .(2004年

12、全國初中競賽湖北預賽試題)如果一次函數y=mx+n與反比例函數y=3n二x的圖象相交于點(；,2),那么該直線與雙曲線的另一個交點為。三解答題k11 .如圖，已知點(1,3)在函數y=L(x>0)的圖象上，矩形ABCD的邊BC在xxk軸上，E是對角線BD的中點，函數y=(x>0)又經過A,E兩點，點E的橫坐x標為m.(1)求k值；(2)求點C的橫坐標(用m表示)；(3)當/ABD=45。時，求m的值。12 .如圖所示，己知直線yi=x+m與x軸、y軸分別交于點yA、B,與雙曲線y2=：(x<0)分別交于點C、D且點C的坐標另®為(-1,2)守'一(1)分別求

13、出直線AB及雙曲線的解析式；(2)求出D點的坐標；(3)利用圖象直接寫出當x在什么范圍內取值時y1>y2.13 .為了預防非典”，具學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例(如圖所示)現測得藥物8分鐘燃畢，此時室內空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請根據題中所提供的信息，解答下列問題:分鐘后，學生才能回到教室;(2)研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于16毫克時學生方可進教室,x的取值范圍那么從消毒開始，至少需要經過(3)研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續時間不低于10分鐘

14、時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？14 .直線y=x+m與雙曲線y=m在第一象限相交點xA,AB，x軸，垂足為B,Saaob=3.求m的值；設直線y=x+m與x軸交于點C,求點C的坐標；求Saabc.15.“三等分角”是數學史上一個著名問題，但僅用尺規不可能“三等分角”,下面是數學家帕普斯借助函數給出的一種“三等分銳角”的方法(如圖所示)：將給1定的銳角/AOB置于直角坐標系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數y=的圖x象交于點R,分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點M,連結OM得到/MOB,則/MOB=1/AOB,要明白帕普斯方法，請研究以下問題；3、一1

15、1設P(a,-),R(b,-),求直線OM對應的函數表達式(用含a,b的代數式表小.)ab分別過點P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點Q,請說明Q點在直線OM上，并據此證明/MOB=1/AOB.3(3)應用上述方法得到的結論，你如何三等分一個鈍角(用文字簡要說明)*同步訓練題參考答案1. D2. D當x>0時，y=-1圖像在第四象限；當x<0時，y=1圖像在第三象限xx3. C4. D雙曲線y=k在一、三象限，k>0,那么y=kx+k中，當k>0時，直線上升且在yx軸上的截距為正.所以選(D);5. D1y=2x,聯立方程組18解得A(3,6),B(-3,-6)，

16、故C(3,0),所以y=一.x-1,/、Saabc=->>(3-(-3)=186. -27. .5-18. 0.km=-因為點A(2,m)、B(5,n)在反比例函數的圖像上，得，2,又因為點A(一kn=5一,mm-2ab2,m)、B(5,n)在正比例函數y=ax+b的圖像上，得.n=5abk- 2a b 二J k5a b 二 5ko,a得10,解得b=-3a,所以3a+b=0h3kb=109. 35010. 4-12=-mn,gz是y=mx+n與y =創二x的圖象的交點，.m = 3,1 n =.223n-1，解得2-'-2.2-1.231 x-x則兩個函數的表達式為y=3

17、x+1,y=.再解方程組2 xC1y=3x+1'3得xy=2.Lx1x2一，/1=2,15即直線與雙曲線的另一個交點是(-1,-5).【yn211.(1)3;(2)2m;(3).612.(1)二.點C(-1,2)在直線y=x+m上，2=-1+m,m=3,則直線AB的解析式為y=x+3.,.k.又點C(-1,2)在雙曲線y2=-±,x.k=-2.；雙曲線的解析式為-2y=x2,y=_2,(2)由yx,y=x3.儼2二一2,；D點的坐標為(y2-1.-2,1)。(3)根據圖象可得：當-2<x<-1時,“小3cC13.(1)y=x,0二x_8,4y1>y2.483

18、0;(3)此次消毒有效，因把y=3分別代入y='x、y=48，求得x=4和16,而4x16-4=12>10,即空氣中的含藥量不低于3毫克/m3的持續時間為12分鐘，大于10分鐘的有效消毒時間.14.設A坐標為(x,x+m).S；Aaob=：OBXBA.13x(xm)2mxm=一xf2,ccx+mx-6=02m=6xmx=m二.直線與x軸交于點C.把y=0代入y=x+6得x=-6,點C的坐標是(6,0)二,直線y=x+m與雙曲線y=m在第一象限相交點A,x即點A的坐標是( 3+715, 3+715).y=X+6r八r解方程組66，得;x十或5y=-y=3.15x.BC=-6+|-3+V15|=3+v15SABC=1(3+715)(3+715)=12+3屈.15. (1)設直線OM的函數關系式為y=kx,PRbI：則M%,1I,a.ba1 1，一一，一一1.k=一。直