1、2例1設(shè)P是雙曲線與 a分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若|PFi |=3,則|PF? |=A. 1 或 5B.C. 7分析：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出漸近線方程，兩個(gè)方程對比求出D. 9a的值，利用雙曲線的定義求出三、典型例題選講（一）考查雙曲線的概念2y-=1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為 3x 2y=0, F1、F2 9| PF2 |的值.2x解：:雙曲線Bay23y-=1漸近線萬程為y=±±x,由已知漸近線為 3x 2y=0,9a: a =絲二|PFi | -|PF21|=4,，|PF2 k±4+ |PFi |.PF1|=3,IPF2 |>0,，|PF2 |=7.

2、故選C.歸納小結(jié)：本題考查雙曲線的定義及雙曲線的漸近線方程的表示法.（二）基本量求解點(diǎn),例2（2009山東理）設(shè)雙曲線則雙曲線的離心率為（B. 5解析：雙曲線2x2a2 y b22x2aC.b2=1的一條漸近線與拋物線y = x2 +1只有一個(gè)公共D. V5=1的一條漸近線為b ，、y=-x,由方程組 aby x1y a x ,消去v,得y = x21后,故選D.所以b、2十1=0有唯一解，所以 = （） 4=0以及直線與拋物線的位置關(guān)歸納小結(jié)：本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,只有一個(gè)公共點(diǎn)，則解方程組有唯一解. 本題較好地考查了基本概念、基本方法和基本技能.y=x2+1相切,例

3、3 （2009全國I理）設(shè)雙曲線、_=1 （a>0, b>0）的漸近線與拋物線a2 b2則該雙曲線的離心率等于（）A. 3B.2 C.5 D. 6解析：設(shè)切點(diǎn)P（X0,y°）,則切線的斜率為y |xc0 = 2x0 .由題意有yX0又有2,- r 2, b -/,b、2 二y0=X0+1,聯(lián)立兩式解得：X0=1j =2,e = Ji+()=V5 .因此選C.22x y例4 （2009江西）設(shè)F1和F2為雙曲線 O 二 1（a A0,b >0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若F1,a bP（0,2b）是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（D. 3B. 2解析：由jitan =62b

4、d c 222有 3c = 4b = 4(cc =2 a,故選B.歸納小結(jié)：注意等邊三角形及雙曲線的幾何特征,JT 從而得出tan =6 2b=,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)3合思想的應(yīng)用.（三）求曲線的方程22_例5 （2009,北京）已知雙曲線C:彳4 =1(a A0,b A0)的離心率為 J3,右準(zhǔn)線方程 a b（1）求雙曲線C的方程;(2)已知直線x y+m=0與雙曲線 C交于不同的兩點(diǎn) A, B,且線段 AB的中點(diǎn)在圓x2 +y2 =5上，求m的值.分析：(1)由已知條件列出a,b,c的關(guān)系，求出雙曲線 C的方程；(2)將直線與雙曲線方程 聯(lián)立，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)在圓上求出m的值.解：(1)由題意，

5、得c 3 ,解得a = 1,c = 43.c3 a2b2 =c2 a2 =2 , 所求雙曲線 C的方程為X2 -=1.2(2)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(K,y1Mx2,y2 )，線段AB的中點(diǎn)為M(%,y0),X2-y2=1 /曰 2 c 2c 一口一.八由2 得x -2mx -m -2=0 (判別式&A0),X y m = 0x1 x2ci 1 x0 m, y0 x0 m 2m222丁點(diǎn) M (x0,y0 )在圓 x +y =5上，m2 +(2m 2 =5 , . . m = ±1 .另解：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1, y1 ),(x2, y2 r線段AB的中點(diǎn)為M(x

6、0,y0),2x2 y- =1,121由 ,，兩式相減得(x+x2)(x1x2)-一(y1 + y2)(y1 -y2) =0.x2.H=12x221由直線的斜率為1, x0 = x1；2 ,y0 = y1；y2代入上式，得y0 = 2x0.22又M(y0,x0)在圓上，得y0 +x0 =5,又M(y0,x0)在直線上，可求得 m的值.歸納小結(jié)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識， 考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力.例6過M (1,1)的直線交雙曲線x_L=1于a, b兩點(diǎn)，若M為弦AB的中點(diǎn)，求直線42AB的方程.分析：求過定點(diǎn)M的直線方程，只

7、需要求出它的斜率.為此可設(shè)其斜率是k ,利用M為弦AB的中點(diǎn)，即可求得k的值，由此寫出直線 AB的方程.也可設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)用 “點(diǎn)差法” 求解.解法一：顯然直線AB不垂直于x軸，設(shè)其斜率是k ,則方程為y-1 = k(x-1).22x _ y_ =1由42一 消去 y 得(12k2)x2 4k(1 k)x2k2+4k6 = 0J-1 =k(x1)設(shè)A(x1,y) B(x2, y),由于M為弦AB的中點(diǎn),所以x1 x22k(1 -k)1 -2k21=1,所以k =21一顯然，當(dāng)k=-時(shí)方程的判別式大于零 21所以直線AB的萬程為y -1 = 2 (x -1),即x 2y +1 = 0 .解法

8、二：設(shè)人(",必)，B(x2 ,y2)，則x24 222殳一幺=142得(x -x2)(x x2) -2(V1 -Y2)(Y1 y2) =0.又因?yàn)?x1 +x2 =2,y +y2 = 2 ,所以 x1 -x2 =2(y1 y2).右 x1 二 x2，則 y1二y2,由x1*x2= 2, yI+ y2= 2 得 xI二 x2= 1,y1二y2= 1 .則點(diǎn)A B都不在雙曲線上，與題設(shè)矛盾，所以x #x2.所以k =比箋=1.x1 -x2 21所以直線AB的方程為y -1 = 2 (x -1),即x 2y+1 = 0 .經(jīng)檢驗(yàn)直線x 2y+1 =0符合題意，故所求直線為 x2y+1 =

9、 0.解法三：設(shè)A （x, y）,由于A、B關(guān)于點(diǎn)M （1, 1）對稱，所以B的坐標(biāo)為（2x,2 y）,則(2-x)42x422，29消去平方項(xiàng)，得x2y+1=0.(2 - y) =1.2即點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程，同理點(diǎn) B的坐標(biāo)也滿足方程.故直線AB的方程為x -2y +1 =0 .歸納總結(jié)：由于雙曲線（拋物線）不是“封閉”的曲線，以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦不一定存在，所 以在求雙曲線（拋物線）中點(diǎn)弦方程時(shí)，必須判斷滿足條件的直線是否存在.（四）軌跡問題2 2例7已知點(diǎn)"他0,丫0）為雙曲線 七）2=1 （b為正常數(shù)）上任一點(diǎn)，F(xiàn)2為雙曲線的右8b2 b2焦點(diǎn)，過p作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為A ,連

10、接F2A并延長交y軸于P2.求線段P1 P2的中點(diǎn)P的軌跡E的方程.分析：求軌跡問題有多種方法，如相關(guān)點(diǎn)法等，本題注意到點(diǎn)P是線段P1 P2的中點(diǎn)，可利用相關(guān)點(diǎn)法.83Vc解：由已知得F2（3b,0）, A（b, y0）,則直線F2A的方程為：y = -（x-3b）.3 b令 *=0得丫=9丫°,即 P2(0,9y0).x。x 二2y0 9y° 尸="= 5y°x =2x即 y代入%;522x0 y02 -2- = 1 得:8b2b24x28b22工=125b2'2 2即P的軌跡E的方程為- y 2 =1 . （x W R） 2b2 25b2歸納

11、小結(jié)：將幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系是解析幾何常用方法. （五）突出幾何性質(zhì)的考查例8(2006江西)P是雙曲線x-_L=1的右支上一點(diǎn)，M , N分別是圓(x + 5)2 + y2=4 916和(x5)2+y2 =1上的點(diǎn)，則|PM |PN |的最大值為()A.6B.7C.8D.9解析：雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn) F1(5,0)與F2(5,0)恰好是兩圓的圓心，欲使 |PM|PN|的值最大，當(dāng)且僅當(dāng)|PM |最大且|PN |最小，由平面幾何性質(zhì)知，點(diǎn) M在線段PF1的延長線上，點(diǎn)N是線段PF2與圓的交點(diǎn)時(shí)所求的值最大.此時(shí) |PM |-| PN |=(PFi +2)(PF2 -1) = PF1 - PF2

12、+3 = 9.因此選 D.例9(2009重慶)已知以原點(diǎn)O為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為x = Y5 ,離心率e= J5 .5(1)求該雙曲線的方程；(2)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-75,0) , B是圓x2 +(y-V5)2 =1上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線右支上，求 MA + MB的最小值，并求此時(shí) M點(diǎn)的坐標(biāo).(2)利用雙曲線的定義將分析：(1)比較基礎(chǔ)，利用所給條件可求得雙曲線的方程;MAMB轉(zhuǎn)化為其它線段，再利用不等式的性質(zhì)求解.曲線的方程為在5解：(1)由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)雙22 52。烏=1 (a >0,b>0),設(shè)c = J0二斤，由準(zhǔn)線方程為 x = Y5得"二a b5 c由e =而得c = J5. a_2解得a =1,c = J5.從而b =2,二該雙曲線的方程為 x2工=1.4(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(J5,0),則點(diǎn)A、D為雙曲線的焦點(diǎn),則 |MA| - |MD | = 2a =2 .所以 |MA | +|MB | = 2 + | MB | + | MD B 2 + | BD | .因?yàn)锽是圓x2 +(y - 75)2 =1上的點(diǎn)，其圓心為c(o, J5),半徑為1,故 |BD 問 CD|-1=而 + 1,從而 |MA| +|MB |> 2 + |BD|> 而+1 .當(dāng)M , B