1、拋物線的簡單幾何性質拋物線及其標準方程【教學目標】1 .能根據題設，求出拋物線的標準方程、焦點、準線2 .使學生能熟練地運用坐標，進一步提高學生“應用數學”的水平3 .結合教學內容，使學生牢固樹立起對立統一的觀點【教學重難點】教學重點：標準方程及其簡單應用教學難點：拋物線定義的靈活運用，解直線與拋物線有關的綜合問題【授課類型】新授課【課時安排】1課時【教學過程】一、復習引入1 .橢圓的第定義：一動點到定點的距離和它到一條定直線 l的距離的比是一個（0,1）內的 常數e,那么這個點的軌跡叫做橢圓.其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數 e就是離心 率。2 .雙曲線的第二定義：一動點到定點F的距離

2、與到一條定直線l的距離之比是一個（1,"） 內的常數e,那么這個點的軌跡叫做雙曲線。其中定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線 的準線。常數e是雙曲線的離心率。3 .拋物線定義：平面內與一個定點F和一條定直線1的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。定點 F叫做拋物 線的焦點，定直線1叫做拋物線的準線。4 .拋物線的標準方程：相同點：（1）拋物線都過原點；（2）對稱軸為坐標軸；（3）準線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關于原點對稱。它們到原點的距離都等于一次項系數絕對值的一，艮哼或不同點：（1）圖形關于X軸對稱時，X為一次項，Y為二次項，方程右端為±2px、左端為2y ;圖形關

3、于Y軸對稱時，X為二次項，Y為一次項，萬程右端為±2py,左端為x。（2）開 口方向在X軸（或Y軸）正向時，焦點在X軸（或Y軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口 在X軸（或Y軸）負向時，焦點在X軸（或Y軸）負半軸時，方程右端取負號。二、講解范例【例1】點M與點F （4, 0）的距離比它到直線l：x + 5 = 0的距離小1,求點M的軌跡方程。解析：可知原條件M點到F （4, 0）和到x= 4距離相等，由拋物線的定義，點 M的 軌跡是以F （4, 0）為焦點，x= 4為準線的拋物線。p=8。所求方程是y2 =16x o【例2】斜率為1的直線經過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線相交于兩點

4、 A. B,求線段 AB的長。分析：思路一：解方程組，得交點的坐標，利用兩點間距離公式解之 思路二：同思路一相同，但不解方程組，利用根與系數的關系，解之 思路三：利用根與系數關系及拋物線的定義來解之。思路四：利用弦長公式解之。（以后給出）解析：如圖，由拋物線的標準方程可知，拋物線焦點的坐標為F （1, 0）,所以直線AB的方程為y-0=1,（x-1）即y = x -1一 22將方程代入拋物線方程y -4x，得（x-1） -4x2化簡得x -6x 1 =0解這個方程，得x1 =3 + 2" , X2 = 3-242將=3 + 2應，x2 =3-2在代入方程中，得 yi=2+2V2 y2

5、 =2 -222即A, B的坐標分別是(3+2顯,2 + 2正)，(3-2四, 2-22). |AB|= ,(4、2)2 (4 2)2 =8另法：在圖中，由拋物線的定義可知，|AF|等于點A到準線x=-1的距離|AD| ,而|AD|二 x1+ 1.同理 |BF| =|BC|= x2 +1,于是得|AB|=|AF +|BF|= x1 + x2 +2由此可以看到，本題在得到方程x2-6x+1=0后，根據根與系數的關系可以直接得到x1 +x2 =6于是立即可以求出|AB|=6+2=8例3已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為 x軸，拋物線上的點M (-3, m到焦點的距離 等于5,求拋物線的方程和 m的值

6、。解析：由M (-3, m)到焦點的距離等于5口 M (-3, m)到準線的距離等于5=p =5-3=2= p =42二所求拋物線的方程為y2=-8x= m = 2 6三、課堂練習1 .拋物線y2=ax (aw0)的準線方程是()(A) x= -a( B) x=a(C) x=- 回(D) x=1a|44442 .已知M (m, 4)是拋物線x2=ay上的點，F是拋物線的焦點，若|MF|=5,則此拋物線的 焦點坐標是()(A) (0,-1)(B) (0, 1)(C) (0,-2)(D) (0, 2)3 .拋物線的頂點在原點，對稱軸為 x軸，焦點在直線3x-4y-12=0上，此拋物線的方程是(A)

7、 y2=16x(B) y2=12x(C) y2= -16x( D) y2= -12x4 .拋物線2y2 + x+ - =0的焦點坐標是()23355(A) (-3,0)(B)(0,-3 )(C)(-5,0)(D)(0,-)88885.過點(0, 1)且與拋物線y2=x只有一個公共點的直線有()(A) 一條(B)兩條(C)三條(D)無數條6.若直線3x+4y+24=0和點F (1, 1)分別是拋物線的準線和焦點，則此拋物線的頂點坐標是(),、，_、一，一一 1971(A) (1,2)(B)(4, 3)(C)(-,-1)(D)(-2, -5)50257.過拋物線y2=4x的焦點F作傾斜角為學的直線

8、交拋物線于A. B兩點，則AB的長是() _(A) 4 2(B) 4(C) 8(D)2練習的答案：1 A ; 2 B;3 A ; 4 C ;5 C;6 C;7 C【教學小結】本課主要講解了四道例題，從不同的角度對如何靈活運用拋物線的定義、 標準方程、焦點、 準線等知識解決有關問題進行了鞏固訓練。【作業布置】1 .選擇題2(1)已知拋物線方程為y=ax (a> 0),則其準線方程為(14aaa1(A) x = (B) x = (C) y =(D)242a1 ，(2)拋物線y=x2 (nm0)的焦點坐標是()m(A)(0, m )或(0, -m )(B) (0, m )444(C)(0,')或(0, - ) (D) (0,)4m4m4m(3)焦點在直線3x 4y12=0上的拋物線標準方程是(A) y2=16x 或 x2=16y( B) y 2= 16x 或 x2=12y(C) x2= 12y 或 y2= 16x(D) x 2= 16y 或 y2=-12x2 .根據下列條件寫出拋物線的標準方程(1)過點(3, 4)(2)過焦點且與x軸垂直的弦長是163 .點M到點(0, 8)的距離比它到直線y= 7的距離