1、第四章 整環(huán)里的因式分解§1. 素元、唯一分解    本講中, 總假定 為整環(huán), 為 的商域.1. 整除定義1 設(shè)為整環(huán), , 如果存在, 使得則稱 整除 , 記作 ; 并稱 是 的一個(gè)因子, 是 的倍元.· 整環(huán)中的整除概念是整數(shù)環(huán)中整除概念的推廣, 因此有許多與整數(shù)的整除相類似的性質(zhì). · 整除有下列常用的性質(zhì):     (1) 如果 , , 則 ;    (2) 如果 , , , 則 .  2.相伴 定義2 整環(huán)的一個(gè)元叫做的一個(gè)

2、單位，假如是一個(gè)有逆元的元。元叫做元的相伴元，假如是和一個(gè)單位的乘積：定理兩個(gè)單位的乘積也是一個(gè)單位.單位的逆元也是一個(gè)單位.例因?yàn)檎麛?shù)環(huán)的單位僅有與-，故任一非零元有個(gè)相伴元：與.例有四個(gè)單位，-，i,-i,所以任一非零元，有四個(gè)相伴元：定義3單位以及元的相伴元叫做的平凡因子.若還有別的因子，則稱為的真因子.素元定義4 設(shè)為整環(huán)，且既非零也非單位，如果只有平凡因子，則稱為一個(gè)素元.定理單位與素元的乘積也是一個(gè)素元.定理整環(huán)中一個(gè)非零元有真因子的充分且必要條件是：，這里，都不是單位.推論設(shè)，并且有真因子：.則也是的真因子.定義5我們稱一個(gè)整環(huán)的元在中有唯一分解，如果以下條件被滿足：(i) (為

3、的素元)(ii) 若同時(shí)有（為的素元）則有，并且可以調(diào)換的次序，使得（為的單位）整環(huán)的零元和單位不能有唯一的分解.所以唯一分解問題研究的對(duì)象只能是非零也非單位的元.例給整環(huán).那么有：(1)的單位只有.(2)適合條件的元一定是素元.首先 ，；又由(1),也不是單位.設(shè)為的因子：那么但不管，是何整數(shù)，或若，則是單位.若，則而為單位.因而是的相伴元.從而只有平凡因子，故是素元.(3)沒有唯一分解：我們有(A) ,故由(2),2,都是的素元.由(1),都不是的相伴元，因而給出了的兩種不同分解從而沒有唯一分解.這說明并不是任意整環(huán)中的非零和非單位的元都有唯一分解. $2.

4、唯一分解環(huán)定理一個(gè)唯一分解環(huán)有以下性質(zhì)：若一個(gè)素元能夠整除，則有整除或.定理做定整環(huán)有如下性質(zhì)：(i)的每一個(gè)非零非單位的元都有一個(gè)分解.（為的素元）(ii)的一個(gè)素元若能夠整除，則有整除或，則一定是一個(gè)唯一分解環(huán).定義6元叫做的公因子，如果.定理一個(gè)唯一分解環(huán)的兩個(gè)元和在里一定有最大公因子.和的兩個(gè)最大公因子和只能差一個(gè)單位因子：（是單位).推論一個(gè)唯一分解環(huán)的個(gè)元在里一定有最大公因子.的兩個(gè)最大公因子只能差一個(gè)單位因子.定義一個(gè)唯一分解環(huán)的元稱為互素的，如果它們的最大公因子是單位.$3. 主理想環(huán)引理設(shè)是一個(gè)主理想環(huán).若在序列里的每一個(gè)元是前一個(gè)元的真因子，那么這個(gè)序列一定是一個(gè)有限序列.

5、引理設(shè)是一個(gè)主理想環(huán)，那么的任一素元生成一個(gè)最大理想.定理一個(gè)主理想環(huán)是一個(gè)唯一分解環(huán).證：我們證明是一個(gè)唯一分解環(huán).設(shè)且不是零也不是單位.若不能寫成有限個(gè)元的乘積，則不是一個(gè)素元，所以由$.的推論，都是的真因子.的這兩個(gè)真因子中至少有一個(gè)不能寫成素元的乘積，否則就是素元的乘積而與假設(shè)矛盾.于是有這樣的結(jié)論；若沒有分解，則一定有一個(gè)真因子也沒有分解.這樣，在沒有分解的假設(shè)之下，就得到一個(gè)無窮序列在此序列中每一個(gè)元都是前一個(gè)元的真因子.依照引理，這是不可能的，所以一定有分解.即滿足$.定理中的條件(i).又設(shè)的素元能整除的元乘積，那么這就是說在剩余類環(huán)里，所代表的類與o所代表的類相同：由引理，是

6、最大理想，因而由$.的定理，是一個(gè)域.因?yàn)橛驔]有零因子，所有由上面等式有或即有或亦即或從而或，故也滿足$.定理的條件(iii).因而是一個(gè)唯一分解環(huán).$4. 歐氏環(huán)定義一個(gè)整環(huán)叫做一個(gè)歐氏環(huán)，如果(i)有一個(gè)從的非零元所作成的集合到全體非負(fù)整數(shù)作成的集合的映射存在；(ii)任意給定的一個(gè)非零元，的任何元都可以寫成的形式，這里有或例整數(shù)環(huán)是一個(gè)歐氏環(huán).因?yàn)椋憾ɡ硎且粋€(gè)適合條件(i)的映射并且任意給定整數(shù)，則任何整數(shù)都可寫成這里或上面定義中的映射稱為歐氏映射. 定理    每一個(gè)歐幾里德環(huán)都是主理想整環(huán), 因而也是唯一分解環(huán).證明 設(shè) 為歐幾里德環(huán)

7、 的任一理想, 為歐氏映射.    (1) 如果 , 則 .    (2) 如果 , 令則 非空, 且 . 設(shè) , 使得 為 中的最小數(shù), 下證 .    任給 , 因?yàn)?, 所以存在 , 使得 . 于是, .    如果 , 則 , 與 的選取矛盾. 所以, , 則 , 于是 . 由 的任意性可知 . 又 , 所以 , 從而 .    這就證明了, 的任一理想都是主理想, 故 為主理想整環(huán).定理

8、整數(shù)環(huán)是主理想，因而是唯一分解環(huán).定理一個(gè)域上的一元多項(xiàng)式是一個(gè)歐氏環(huán).因而是一個(gè)唯一分解環(huán). $. 多項(xiàng)式環(huán)的因子分解本章討論唯一分解環(huán)上的一元多項(xiàng)式環(huán).我們稱的素元即素多項(xiàng)式為不可約多項(xiàng)式，日有真因子的多項(xiàng)式叫做可約多項(xiàng)式.定義 的一個(gè)元叫做一個(gè)本原多項(xiàng)式，如果的系數(shù)的最大公因子是單位.我們有如下結(jié)論：(A)的單位是的僅有的單位.(B)一個(gè)本原多項(xiàng)式不會(huì)等于零.(C)若本原多項(xiàng)式可約，那么且有（表示的次數(shù)）引理1 設(shè)，那么是本原多項(xiàng)式的充分且必要條件是和都是本原多項(xiàng)式.設(shè)是的商域，那么多項(xiàng)式環(huán)是唯一分解環(huán).引理2 的每一個(gè)非零多項(xiàng)式都可以寫成的形式，這里是的本原多項(xiàng)式.如果也有的性質(zhì)，那么 ，（為的單位）引理3 的一個(gè)本原多項(xiàng)式在里可約的充分必要條件是在里可約.引理4 的次數(shù)大于零的本原多項(xiàng)式在里有唯一分解.有了以上的結(jié)論，我們就有定理 如果是唯一分解環(huán)，則也是唯一分解環(huán). $. 因子分解與多項(xiàng)式的根定義整環(huán)的元叫做的多項(xiàng)式的一個(gè)根，如果有定理是的一個(gè)根的充分且必要條件是整除定理的個(gè)不同的元都是的根的充分且必要條件是整除推論若的