1、一、基本知識概要：1、 期望的定義：一般地，若離散型隨機變量的分布列為x1x2x3xnPP1P2P3Pn則稱E=x1P1+x2P2+x3P3+xnPn+為的數學期望或平均數、均值，簡稱期望。它反映了:離散型隨機變量取值的平均水平。若=a+b(a、b為常數)，則也是隨機變量，且E=aE+b。 E(c)= c特別地，若B(n，P)，則E=nP2、 方差、標準差定義：D=(x1-E)2·P1+(x2-E)2·P2+(xn-E)2·Pn+稱為隨機變量的方差。D的算術平方根=叫做隨機變量的標準差。隨機變量的方差與標準差都反映了:隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度。且

2、有D(a+b)=a2D,可以證明D=E2- (E)2。若B(n，p)，則D=npq，其中q=1-p.3、特別注意：在計算離散型隨機變量的期望和方差時，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要準確應用公式，特別是充分利用性質解題，能避免繁瑣的運算過程，提高運算速度和準確度。考點一 期望與方差例1：設隨機變量具有分布P(k)，k1,2,3,4,5，求(2)2，例2：有甲、乙兩個建材廠，都想投標參加某重點建設，為了對重點建設負責，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗拉強度指數如下：110120125130135 P0.10.20.40.10.2100115125130145P0.

3、10.20.40.10.2其中和分別表示甲、乙兩建材廠材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120的條件下，比較甲、乙兩建材廠材料哪一種穩定性較好考點二 離散型隨機變量的分布、期望與方差例3：如圖，一個小球從M處投入，通過管道自上而下落到A或B或C。已知小球從每個叉口落入左右兩個管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式進行促銷活動，若投入的小球落到A，B，C，則分別設為1，2，3等獎。（）已知獲得1，2，3等獎的折扣率分別為50%，70%，90%。記隨機變量為獲得k（k=1，2，3）等獎的折扣率，求隨機變量的分布列及期望E ；（）若有3人次（投入1球為1人次）參加促銷活動，記隨

4、機變量為獲得1等獎或2等獎的人次，求P(=2). 2、某同學參加3門課程的考試。假設該同學第一門課程取得優秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優秀成績的概率分別為，()，且不同課程是否取得優秀成績相互獨立。記為該生取得優秀成績的課程數，其分布列為0123()求該生至少有1門課程取得優秀成績的概率；()求，的值；()求數學期望。開鎖次數的數學期望和方差例 有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能把大門上的鎖打開用它們去試開門上的鎖設抽取鑰匙是相互獨立且等可能的每把鑰匙試開后不能放回求試開次數的數學期望和方差次品個數的期望例 某批數量較大的商品的次品率是5，從中任意地連續取出10件，為

5、所含次品的個數，求根據分布列求期望和方差例 設是一個離散型隨機變量，其分布列如下表，求值，并求101P產品中次品數分布列與期望值例 一批產品共100件，其中有10件是次品，為了檢驗其質量，從中以隨機的方式選取5件，求在抽取的這5件產品中次品數分布列與期望值，并說明5件中有3件以上（包括3件）為次品的概率（精確到0001）評定兩保護區的管理水平例 甲、乙兩個野生動物保護區有相同的自然環境，且野生動物的種類和數量也大致相等而兩個保護區內每個季度發現違反保護條例的事件次數的分布列分別為：甲保護區：01230.30.30.20.2乙保護區：0120.10.50.4試評定這兩個保護區的管理水平射擊練習中

6、耗用子彈數的分布列、期望及方差例 某射手進行射擊練習，每射擊5發子彈算一組，一旦命中就停止射擊，并進入下一組的練習，否則一直打完5發子彈后才能進入下一組練習，若該射手在某組練習中射擊命中一次，并且已知他射擊一次的命中率為0.8，求在這一組練習中耗用子彈數的分布列，并求出的期望與方差（保留兩位小數）準備禮品的個數例 某尋呼臺共有客戶3000人，若尋呼臺準備了100份小禮品，邀請客戶在指定時間來領取假設任一客戶去領獎的概率為4問：尋呼臺能否向每一位顧客都發出獎邀請？若能使每一位領獎人都得到禮品，尋呼臺至少應準備多少禮品？分析：求時，由題知前次沒打開，恰第k次打開不過，一般我們應從簡單的地方入手，如

7、，發現規律后，推廣到一般解：的可能取值為1，2，3，n；所以的分布列為：12kn； 分析：數量較大，意味著每次抽取時出現次品的概率都是0.05，可能取值是：0，1，2，1010次抽取看成10次獨立重復試驗，所以抽到次品數服從二項分布，由公式可得解解：由題，所以說明：隨機變量的概率分布，是求其數學期望的關鍵因此，入手時，決定取哪些值及其相應的概率，是重要的突破點此題，應覺察到這是分析：根據分布列的兩個性質，先確定q的值，當分布列確定時，只須按定義代公式即可解： 離散型隨機變量的分布滿足（1）（2）所以有解得 故的分布列為101P小結：解題時不能忽視條件時，否則取了的值后，辛辛苦苦計算得到的是兩個

8、毫無用處的計算分析：根據題意確定隨機變量及其取值，對于次品在3件以上的概率是3，4，5三種情況的和解：抽取的次品數是一個隨機變量，設為，顯然可以取從0到5的6個整數抽樣中，如果恰巧有個（）次品，則其概率為按照這個公式計算，并要求精確到0001，則有故的分布列為012345P0.5830.3400.0700.00700由分布列可知，這就是說，所抽取的5件品中3件以上為次品的可能性很小，只有7分析：一是要比較一下甲、乙兩個保護區內每季度發生的違規事件的次數的均值，即數學期望；二是要看發生違規事件次數的波動情況，即方差值的大小（當然，亦可計算其標準差，同樣說明道理）解：甲保護區的違規次數的數學期望和

9、方差為：乙保護區的違規次數的數學期望和方差為：；因為，所以兩個保護區內每季度發生的違規平均次數是相同的，但乙保護區內的違規事件次數更集中和穩定，而甲保護區的違規事件次數相對分散和波動（標準差這兩個值在科學計算器上容易獲得，顯然，）說明：數學期望僅體現了隨機變量取值的平均大小，但有時僅知道均值大小還是不夠的，比如：兩個隨機變量的均值相等了（即數學期望值相等），這就還需要知道隨機變量的取值如何在均值周期變化，即計算其方差（或是標準差）方差大說明隨機變量取值分散性大；方差小說明取值分散性小或者說取值比較集中、穩定分析：根據隨機變量不同的取值確定對應的概率，在利用期望和方差的定義求解解： 該組練習耗用的子彈數為隨機變量，可以取值為1，2，3，4，51，表示一發即中，故概率為2，表示第一發未中，第二發命中，故3，表示第一、二發未中，第三發命中，故4，表示第一、二、三發未中，第四發命中，故5，表示第五發命中，故因此，的分布列為12345P0.80.160.0320.00640.0016說明：解決這類問題首先要確定隨機變量的所有可能取值，然后再根據概率的知識求解對應的概率分析：可能來多少人，是一個隨機變量而顯然是服從二項分布的，用數學期望來反映平均來領獎人