1、一元二次方程根與系數的關系(韋達定理)【學習目標】1、學會用韋達定理求代數式的值。2、理解并掌握應用韋達定理求待定系數。3、理解并掌握應用韋達定理構造方程，解方程組。4、能應用韋達定理分解二次三項式。知識框圖求代數式的值求待定系數一元二次韋達定理一應用溝造方程方程的求解特殊的二元二次方程組根公式二次三項式的因式分解【內容分析】2韋達TE理：對于一兀一次萬程ax+bx+c=0(a#0),如果萬程有兩個實數根x1,x2,那么bcx1x2二一，x1x2二aa說明：(1)定理成立的條件A之0b(2)汪思公式重 x1+x2=的負號與 b 的符號的區別a根系關系的三大用處(1)計算對稱式的值例若x1,x2

2、是方程x2+2x-2007=0的兩個根，試求下列各式的值:x；十x22；(2)+；(3)(X5)(x25);(4)|x1一%|.xix2解：由題意，根據根與系數的關系得：x1+x2=2,x1x2=2007(1)x12x22=(x1x2)2-2x1x2=(-2)2-2(-2007)=401811x1x2-22=x1x2x1x2-20072007(x1-5)(x2-5)=xx2-5(x1x2)25=-2007-5(-2)25=-1972(4)|x1-x2尸4(x1-x2)2=4(x1x2)2-4x1x2-0,k4 或 kW-4口+3=鼻0,k0心=Ic-2a+b=2.比42|(ir-i|=(a+b

3、y2-Aab=；二16.c=2,-4廄k.4、反4J5為所求?！镜湫屠}】212.一一.例1已知關于x的萬程x(k+1)x+k+1=0,根據下列條件，分別求出k的值.4(1)方程兩實根的積為 5;(2)方程的兩實根Xi,X2滿足|%|=.分析：(1)由韋達定理即可求之；(2)有兩種可能，一是X1=X2A0,二是-X1=X2,所以要分類討論.解：(1);方程兩實根的積為 5_212_:=-(k1)2-4(-k21)-0J4.3.=k,k=4卡力2=；k21=52所以，當k=4時，方程兩實根的積為5.(2)由|X1|=X2得知：一一3當X120時，=x2,所以萬程有兩相等實數根，故=0=k=；2當

4、X10=k-,故卜=-1不合題意，舍去.2.要使其值是整數，只需k+1能被 4 整除，故k十1=1,2,土4,注意到k0,要使“+4-2的值為整數的實數k的整數值為-2,-3,-5.X2X1說明：（1）存在性問題的題型，通常是先假設存在，然后推導其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在.,3,、“一，綜上可得，k=時，萬程的兩實根X1,X2滿足|%|=.2說明：根據二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值，務必要注意方程有兩實根的條件，即所求的字母應滿足二次方程4kX24kX+k+1=0的兩個實數根.（1）是否存在實數 k,3使（2X1-X2）（X12X2）=-一成立？若存在，求出k的值;2若

5、不存在，請您說明理由.（2）求使上+上2 的值為整數的實數k的整數值.X2X13解：（1）假設存在實數k,使（2X1-X2）（X12x2）=成立.22一次方程4kx-4kx+k+1=0的兩個頭數根4k=0.nk2B.k2,且k#1C.k2,且k#14I、2，一,11，2.若Xi,X2是方程2x26x+3=0的兩個根，則一+的值為()X1又2A.2B.-2C.1D.-223.已知菱形 ABCD 的邊長為 5,兩條對角線交于 O 點，且 OA、OB 的長分別是關于x的方22程x+(2m1)x+m+3=0的根，則m等于()A.-3B.5C.5或一3D.-5或3224 .若t是一兀二次方程ax+bx+

6、c=0(a#0)的根，則判別式A=b4ac和完全平方式M=(2at+b)2的關系是()A.A=MB.AAMC.ACMD.大小關系不能確定2_2_b-1a-1,5 .若實數a#b,且a,b滿足a8a+5=0,b8b+5=0,則代數式十的a-1b-1值為()A.-20B.2C.2或20D.2或20.一.26 .如果方程(bc)x+(ca)x+(ab)=0的兩根相等，則a,b,c之間的關系是27 .已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程2x-8x+7=0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是.8 .若方程2x2(k+1)x+k+3=0的兩根之差為 1,則 k 的值是.229 .設x1,x2是萬程x

7、+px+q=0的兩實根，x1+1,x2+1是關于x的萬程x+qx+p=0的兩實根， 則p=,q=.21k取何值時，方程存在兩個正實數根?10 .已知頭數a,b,c滿足a=6b,c=ab9,則a=,b=,c=.211 .對于二次三項式x-10 x+36,小明得出如下結論：無論x取什么實數，其值都不可能等于 10.您是否同意他的看法？請您說明理由.-21m,12 .右n0,關于x的方程x(m2n)x+mn=0有兩個相等的的正實數根，求的4n值.213 .已知關于x的一兀二次方程x+(4m+1)x+2m1=0.(1)求證：不論為任何實數，方程總有兩個不相等的實數根；r111(2)右方程的兩根為x1,

8、x2,且滿足一+=,求m的值.x1x2221214 .已知關于x的方程x2(k+1)x+k2+1=0的兩根是一個矩形兩邊的長.41(2)當矩形的對角線長是時，求k的值.21.已知關于x的萬程(k1)x+(2k3)x+k+1=0有兩個不相等的實數根x1，X2.(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實數k,使方程的兩實根互為相反數？如果存在，求出k的值；如果不存在，請您說明理由.22.已知關于x的方程x+3x-m=0的兩個實數根的平方和等于 11.求證：關于x的方程(k-3)x2+kmx-m2+6m-4=0有實數根.3 .若x1,x2是關于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的兩個實數根，且x1,x2都大于1.(1)求實數k的取值范圍；4 X1,一(2)右=,求k的值.x22答案1.B2,A3.A4,A6.a+c=2b,且b豐c7.38.9 或310.a=3,b=3,c=0一2_一一13.=16m50(2)m314.(1