1、.WORD完美格式.1-3五個基本假定在建立彈性力學基本方程時有什么用途？答：1、連續性假定：引用這一假定后，物體中的應力、應變和位移等物理 量就可以看成是連續的，因此，建立彈性力學的基本方程時就可以用坐標的 連續函數來表示他們的變化規律。2、完全彈性假定：引用這一完全彈性的假定還包含形變與形變引起的正應 力成正比的含義，亦即二者成線性的關系，符合胡克定律，從而使物理方程 成為線性的方程。3、均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內部各點的物理性質顯然都是相同的。因此，反映這些物理性質的彈性常數（如彈性模量E和泊松比 以等）就不隨位置坐標而變化。4、各向同性假定：所謂“各向同性”是指物體的物理性

2、質在各個方向上都 是相同的。進一步地說，就是物體的彈性常數也不隨方向而變化。5、小變形假定：我們研究物體受力后的平衡問題時，不用考慮物體尺寸的 改變而仍然按照原來的尺寸和形狀進行計算。同時，在研究物體的變形和位 移時，可以將他們的二次幕或乘積略去不計，使得彈性力學中的微分方程都 簡化為線性微分方程。在上述假定下，彈性力學問題都化為線性問題，從而可以應用疊加原理。2-1已知薄板有下列形變關系：J"如百"為1九二:一月此式中A,B,C,D皆為常數，試檢查在形變過程中是否符合連續條件，若滿足并列出應力 分量表達式。解：1、相容條件：將形變分量帶入形變協調方程（相容方程）2、其中二

3、丁=0=0d2y dxdy所以滿足相容方程，符合連續性條件。在平面應力問題中，用形變分量表示的應力分量為E % 2AE（號+/）二（S + 刈）=E1-dE1"(Axy + yBy"(fjAxy + By二 Gy.二 G(C 為 2).3、平衡微分方程注+冬dx dy河 dr. _|VdydxEA 她E(3度+心),3劉 八- = 07 = -2GZ)y,其中 r 0若滿足平衡微分方程，必須有EA»2G%+£ = 0,(3 陟+“0 + / =0.分析：用形變分量表示的應力分量，滿足了相容方程和平衡微分方程條件, 若要求出常數A,B,C,D還需應力邊界條

4、件。.技術資料.專業整理.WORD完美格式.例2-2如圖所示為一矩形截面水壩， 其右側面受靜水壓力（水的密度為p ）, 頂部受集中力P作用。試寫出水壩的應力邊界條件。解：根據在邊界上應力與面力的關系左側面：= AS）二 Q （%筋二力（M 二 0；右側面：. LE癡一！上下端面為小邊界面，應用圣維南原理，可列出三個積分的應力邊界條件。上端面額面力向截面形心O簡化，得到面力 的主矢量和 主矩分 別為九%Ph .FN-Pa,Fs -Pca.M0 = sintz,y=0坐標面，應力主矢量符號與面力主矢量符號相反；應力主矩與面力主矩的轉向相反。所以£ （%）片口辦二一% 二一尸 sin %&

5、#163;（“）了=0杰=一然=0 xdx - -Mo = _ g Phsin a,=尸 cos a.下端面的面力向截面形心D簡化，得到主矢量和主矩為I2 Fn = 一產 sin a, % = Pcosapg.d Ph. 尸MdPL cos cisma26y=l坐標面，應力主矢量、主矩的符號與面力主矢量、主矩的符號相同。所以（%）小二& 二一Psins，Ph .PL cos a - -sina 一 一 pg. 26女I2L（%）方小二4二 Pcoa-pg.分析：1、與坐標軸平行的主要邊界只能建立兩個等式，而且與邊界平行的應力分量不會出現。如在左、右側面，不要加入2、在大邊界上必須精確滿

6、足應力邊界條件，當在小邊界（次要邊界）上無 法精確滿足時，可以應用圣維南原理使應力邊界條件近似滿足，使問題的求 解大為簡化。應力合成的主矢（主矩）符號的取法亦可用外力主矢（主矩） 的方向判斷，二者方向一致時去正號，反之取負號。2-8試列出題2-8圖（a）,題2-8圖（b）所示問題的全部邊界條件。在其 端部邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件。解:圖（a）圖（b）1、對于圖（a）的問題在主要邊界不二。/二卜上,應精確滿足下列邊界條件:（%）= Psy（%）x=o - °，（ctJ = -pgy,«守）工9二0.在小邊界（次要邊界）y二°上，能精確滿足下列

7、邊界條件：（%）六0 二-郎4；（%）="在小邊界（次要邊界）一也上，有位移邊界條件：（%啕=°，（%*=0這兩個位移邊界條件可以應用圣維南原理，改用三個積分的應力邊界條件來代替，當板厚3二1時，9y)f dx 二一咫(九 + Mb,二（外）用小心二Q加二0.技術資料.專業整理.2、對于圖（b）所示問題在主要邊界y二士%上，應精確滿足下列邊界條件:“°，=0.當板在次要邊界1二0上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件,厚，二1時，產/2（氏晨辦二-不J-h/2Js（b=oy吐-ML/2（K）x=0宓=-%在小邊界（次要邊界）1二/上，有位移邊界條件： 明QR

8、）=0, 這兩個位移邊界條件可以應用圣維南原理，改用三個積分的應力邊界條件來代替， fh/2C/22-17設有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F,如題2-17所示，體力可以不計。根據材料力學公式，寫出彎應力 口和切應力Pxy的表達式, 并取擠壓應力 山=0,然后證明，這些表達式滿足平衡微分方程和相容方程， 再說明，這些表達式是否就表示正確的解答。解：M=-Fx1、矩形懸臂梁發生彎曲變形，任意橫截面上的玩具方程為，橫截一 t 山山，12M(x)y12F6 二一二一xhh '. h2y4（加-月；該截面上的剪力為、,剪應）.竺 £ 2）0 二。肥4；并取擠壓應力 1。面對z

9、軸（中性軸）的慣性矩為，根據材料力學公式，彎應力2、經驗證，上述表達式能滿足平衡微分方衡dbcdx+力二a+3+dx也能滿足相容方程產 ",八、河X孤j(y + + %) - -(I + -) - 0齒2獷八工”、產八齒砂/y-+h/l再考察邊界條件：在,的主要邊界上，應精確滿足應力邊界條件:二 0,能滿足。0,=0.在次要邊界上，列出三個積分的應力邊界條件:力二 a產2/I /1鼠(入岫四=0.滿足應力邊界條件。在次要邊界列出三個積分的應力邊界條件：加2阿2 12F(%)1均=J分=0,月以41月J4jMi網 2M2 12F 9L/bJiXr = Lmk"二一鞏JJ1 &

10、gt; 2Jni2. 2j網2M26F M、(%屋的二j 聲(7_y )dy = 一F.滿足應力條件。因此，它們是該問題的正確解答例3-1如圖所示矩形截面簡支梁受三角形分布荷載作用，試取應力函數0二山3/ +3城+&丁 +加3+芯+ pxy求簡支梁的應力分量（體力不計）。解：1、相容條件：-2-5T = °，dx dx2dy dy代入應力函數，得：72 + 120 = 0由此得 5nA = B3于是應力函數可改寫為=-2加/+扇/+ C?y +的+尸劃2、應力分量表達式Sy-10Bx3y + 2QBxy3 + 6Dxy外二 d215Bx2y2 - 5ByA-3Cx2-3Dy2

11、-F8 j1 OBxv，+ 6C*av + 6Ex dx3、考察邊界條件：確定應力分量中的各系數(%)產.2 =-與X得5層一 3c力+ 6H二-牛;155 S(%)=一入門=0,W(3C- -5/?)x2 + ( Bh4 + DA3 +F) = 0;(i») 4164(%)產磯=0,得；* 3ch 十 6月=0; (c)15%9"=。，得(3C 一 9 班2)/ + 號明 4 +* + 尸)=0; (d) 41 o 4若式(b)恒成立，必須滿足4二3/+ D爐+ 干=0«）164聯立求解以上各式，得月二8二至 C 二% E二-魚 況5閥4"12/

12、9;3C-Bh2=0； (e)再根據簡支梁的端面條件確定常數D,F。由圣維南原理得M20=_&+紇可得1C山/ 3.尸=_曼+處再帶入式（f）得VI 8。/4、應力分量表達式rcr = -xy(2y2 -x2 +尸-/i3),加八10 7* 仃=-(3/z2y-4>2 -/?)了 lh3l%二騫(4»+歐)"4加20例3-2圖示懸臂梁，梁的橫截面為矩形，其寬度取為 1,右端固定、左端自由, 荷載分布在自右端上，其合力為 P (不計體力)，求梁的應力分量。M3-2IB解：這是一個平面應力問題，采用半逆解法求解。(1)選取應力函數。由材料力學可知，懸臂梁任一截面上

13、的彎矩方程 M (x) 與截面位置坐標x成正比，而該截面上某點處的正應力又與該點的坐標 y成正比， 因此可設(a)式中”的為待定常數。將式(a)對y積分兩次，得Q £+"。)+八(b)式中的8(x), f/x)為X的待定函數，可由相容方程確定。將式(b)代入相 容方程忖二。，d4fzW dx4上式是y的一次方程，梁內所有的y值都應是滿足它，可見它的系數和自由 項都必須為零，即積分上二式，得f1(x) = a2x3+a3x2 + tt4x+as式中flr«9為待定的積分常數。將（2（x）代入式（b），得應力函數為0 = Yy3 + («2x3 + a3x2

14、 + a4x + g)y + (ax3 + a7x2 + a8x + (c)（2）應力分量的表達式6尸 apjy詢= 6（咽+%）x+2 ® y+a?） 1 «Txy = ; «iy2 - 3a2x2 - 2a3x - a4（3）考察應力邊界條件：以確定各系數，自由端無水平力；上、下部無荷載; 自由端的剪力之和為P,得邊界條件（oJx二。二。，自然滿足；0，得一號- 3a2x2 - 2ct資 aA=Q；上式對x的任何值均應滿足,x取任何值均應滿足，因此得二（卜二0.因此得 Q?二肉二 0, 一#- y = 0,I（Txy）x=ody = | （-|aiy2-

15、71;i）dy = -p將式（e）代入上式積分，得f i （2h）3彳皿其中 一.：-橫截面對Z軸的慣性矩。最后得應力分量為P:13-3試考察應力函數0二xy（3h2-4y2）能滿足相容方程，并求出應力分量（不計體力），畫出題3-2圖所示矩形體邊界上的面力分布（在次要邊界上表示 出面力的主矢量和主矩），指出該應力函數所能解決的問題。,挈飛匕±2* 解 （1）相容條件：將代入相容方程癡+ 2 +獷=0,顯然滿足。（2）應力分量表達式12F3F/4y2、取=.豆燈,%=0=前1一茁）（3）邊界條件：在y二年11/2主要邊界上，應精確定滿足應力邊界條件在次要邊界x=o, x=l上，應用圣維

16、南原理，可列出三個積分的應力邊界條件，蕨）=01/ = 0£：2®）x=oydy = 0 J黑（%）x=iydy =-F1 I對于如圖所示矩形板和坐標系，當板內發生上述應力時，由應力邊界條件式（a） （b）、（c）可知上邊、下邊無面力；而左邊界上受有鉛直力；右邊界上有按線性變 化的水平面力合成為一力偶，和鉛直面力。所以，能解決懸臂在自由端受集中力 作用的問題。3-6如題3-6圖所示的墻，高度為h,寬度為b,h>>b,在兩側上受到均布剪力q的作用，試用函數。二 Axy”求解應力分量解：（1）相容條件將應力函數0代入相容方程州二0,其中淳二J540J?:2 打二很顯

17、然滿足相容方程。(2)應力分量表達式a20a2。臍= 6Bxy,% 一旃=-A - 3Bx2(3)考察邊界條件，在主要邊界上，各有兩個應精確滿足的邊界條件,X在次要邊界y=0上,3)H=O，(X)H而的條件不可能精確滿足(否則只有A=B=0,可用積分的應力邊界條件代替.技術資料.專業整理.(4)把各應力分量代入邊界條件，得qA2q京應力分量為3-7設單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用， 體力可以不計，l>>h如題3-7圖所示，試用應力函數0 = Axy+By2+Cy3+Dxy3求解應力分量。y (l>>h,(lAh口二 D.WORD完美格式.解(1 )相容條件-

18、Axy+By2+Cy3+Dxy3代入相容方程，顯然滿足。(2)應力分量表達式a20a20a20% = 彳 = 2B + 6Cy + 6Dxy,% =猊二°戶初二一病=一 (A + 3Dy2)考察邊界條件，在主要邊界各有兩個應精確滿足的邊界條件3 -1得；, Dn(a)4在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩， 應用圣維南原理，用三個積分的應力邊界條件代替。注意 x=0是負x面，由此得心/2pI (q)xody= -Fn，得 B 二-奈J-h/z,nfb/22M(%)x=oydy = - Mj 得 C =一而J-h/2n就。或耕 Y南融+；處:4(b)由式(a) (b)解出3F

19、S2FSA = 一一- D =-2卜h3最后一個次要邊界條件(x=l上)，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下，是必然滿足的，故不必再校核。代入應力公式，得r Fn 12M 12FS六二二一干丫一下召二 Q%=一票 OY）3-9設題3-9圖中的簡支梁只受重力作用，而梁的密度為 p,試用教材§ 3-4中 的應力函數（e）求解應力分量，并畫出截面上的應力分布圖。解(1)應力函數為x?A0 = y (Ax2 + By2 + Cy + D) + x(Ey3 + Fyz + Gy) - -yB-zy4 + Hy3 + Ky2 o(2)應力分量的表達式wox = y (6Ay + 2B)

20、 + x(6Ey + 2F) - 2Ay3 - 2By2 + 6Hy(c)+ 2K (b) ay=Ay3 + By2 + Cy + D-pgy.WORD完美格式.Txv = -x(3Ay2 + 2By+C)-(3Eyz + 2Fy+G) (d)1/這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的，因此，如果能夠選擇適當 的常數A,B,，K,使所有的邊界條件都滿足，則應力分量式（b） ,（c）,（d）就是 正確的解答。（3）考慮對稱性。因為yz面是梁和荷載的對稱面，所以應力分布應當對稱于yz面。這樣是x的偶函數，而x的奇函數，于是由式（b).技術資料.專業整理.和（d）可見E=F=G=ll（4）考察邊

21、界條件：在主要邊界上，應精確滿足應力邊界條件尸 J = °Dy=J = °將應力分量式（c）和（d）代入，并注意到前面已有見這些邊界條件要求h3h2 hpgh-A + -B+-C + D- = O8422h3 h2 hpgh'A+/-/ + D +彳 o4( Z4-x.h2A + hB + C)= 0 即酬2八 + 118 + (：=0<3 ._3 .-x Ta-hB + C =0 即了A-hB + C = 0<4/4聯立求解得到A二一部= 0,C=鄂=0將以上已確定的常數代入式(b),式(c)和(d),得6Pg 2 _?Pg 3/口 xnv m

22、6;x = "17xy+Vy +6Hy+2K®(g)(h)2pg 3 Pg +yy6Pg 2 3pg Txv = Tvxzy-x xy h2 2考慮左右兩邊的次要邊界條件。由于問題的對稱性，只需考慮其中的一邊, 例如右邊。梁的右邊沒有水平面力，x=l時，不論y取任何值 (4/2<y<h/2)， 都有。X二0。由式(f)可見，這是不可能滿足的，除 非是均為零。因此，用多項式求解，只能要求0X在這部分邊界上合成的 主矢量和主矩均為零，也就是要求rh/2(ox)x=Ldy = 00)J-h/2rh/2m=Lydy = 0( j)J-h/2將式(f)代入式(i ),得f

23、 1 (一需 2y +整 3 + 6Hy+2K)dy=0J-b/21 h h/積分以后得將式(f)代入式(j),得1：卜需"耨"6動煙=0積分以后得K=Pg(44)將K, H的值代入式(f ),得6Pg 2 14Pg.“二一市玲+可(k)另一方面，梁右邊的切應力應當合成為反力pglhdy 二-pglh6Pg 9 3pg注意梁截面的寬度取為一個單位，可見慣性矩是1二一，靜夕 1 X.|22S二 匕。根據材料力學應用截面法求橫截面的內力，可求得梁任意截面上的彎矩方程和剪力方程分別為 M(x) = pgh ； Fs(x) = 一pghx.。式(I)£i可以寫成M(x)

24、/ v2 3% 二 y + pgy 4萬一百載q,試檢驗應力函數J=Ay5+Bxzy3+Cy3 + Dx2“ Ex2y能否成為此3-10如題3-10圖所示的懸臂梁，長度為l ,高度為h, l>>h,在上邊界受均布荷問題的解？如可以，試求出應力分量解 (1 )相容條件副3 I。圖將0二Ay° + Bx,yi+C? + Dx2 + Ex,代入相容方程，得120Ay+24By=0,若滿足相容方程，有1 A=-B5(2)應力分量表達式a)¥0320工=2OAy3 - 30Ax2y+ 6Cy dya20,ov = t5 = TOAy3 + 2D + 2Ey oxi,20?

25、% = -，= 30Axy2 - 2Ex J ox oy(3)考察邊界條件；主要邊界 y 二 ±b/2上，應精確滿足應力邊界條件10二0得一/Ah3 + 2D + Eh = 0O10h = oAh3+2D-Eh = -qo皿 15 ,=0,得 EAh工二04(b)(c)在次要邊界上x=0上，主矢和主矩為零，應用圣維南原理,用三個積分的應力邊界條件代替C)x=ody = 0,滿足條件/-h/2 Wx=0ydy =仇得當 + Ch3 = °(e)聯立求解式(a) ,(b),(c),(d) 和(e),得q q q q 3qA=a?3=-c=-D="?E=s將各系數代入應

26、力分量表達式，得3-12為什么在主要邊界（占邊界絕大部分）上必須滿足精確的應力邊界條 件，教材中式（2-15）,而在次要邊界（占邊界很小部分）上可以應用圣維南原 理，用三個積分的應力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要 邊界上用三個積分的應力邊界條件代替教材中式（2-15）,將會發生什么問題？解：彈性力學問題屬于數學物理方程中的邊值問題，而要邊界條件完全得到滿足，往往遇到很大的困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應力邊界 條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同， 但靜力等效 的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應力分布，對遠處的應力影響可以 忽略不計

27、。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個應力邊界條件來代替精確 的邊界條件。教材中式（2-15）,就會影響大部分區域的應力分布，會使問題的 解答具有的近似性。3-15 試分析簡支梁受均布荷載時，平面截面假設是否成立？解：彈性力學解答和材料力學解答的差別，是由于各自解法不同。簡言之，彈性力學的解法，是嚴格考慮區域內的平衡微分方程， 幾何方程和物理方程，以 及邊界上的邊界條件而求解的，因而得出的解答是比較精確的。而在材料力學中 沒有嚴格考慮上述條件，因而得出的是近似解答。例如，材料力學中引用了平面 假設而簡化了幾何關系，但這個假設對一般的梁是近似的。所以，嚴格來說，不 成立。例4-2如圖所示楔形體

28、右側面受均布荷載 q作用，試求應力分量【解】（1）楔形體內任一點的應力分量決定于 q、P、口，中其中q的量綱為NL2,與應力的量綱相同。因此，各應力分量的表達式只可能取 Kq的形式，而 K是以口，中表示的無量綱函數，亦即應力表達式中不 能出現P ,再由。中=當知，應力函數應是中的函數乘以P2,可設；-2f）(a)將式（a）代入雙調和方程0,4dd4f( ) 4d2f()二0,P cP P2 /2 ,上式的通解為(b)(c)f (中)=Acos2邛 + Bsin 2中 +C中 + D ,將上式代入式（a）,得應力函數為2._ .6=P (Acos2中十Bsin 2中+C中+D)。(2)應力表達式

29、為21工 1 二0一/o'口 =十一rr = 2(Acos25 一 Bsin 2中十C中十 D),2 P cP P2 6cp2記2 6cp = 2(Acos2中 + Bsin 2中+C中 + D),P c-Pc= 2Asin2 ： - 2Bcos2 ： -C（3）應力邊界條件(仃邛)勉=q ,得 2 (A+D =-q ;(d)(e)(o-qjLa = 0,得 Acos2a +B sin2 + +C +D=0,(工酣蟲=0,得2B C=0,(g)(7 仰)邛辿=0,2Asin2 « 2Bcos2a C =0。聯立求解式（d） -（g）,得各系數A = - qta科，4（tan、

30、工、工）B=4(tanq 一)'C=-2(tanqi),D=-q(tan： 一2：)。4(tan :-)將系數代入（c）,得應力分量產 p=_qtan ： (1 cos2 :) -(2 : sin 2 )2(tan : - -)(h)tan ： (1 -cos2 ) -(2 : -sin2 )q，2(tan 二 y)(1 -cos2 ) - tan 二 sin 2 ： 伸=q。2(tan ： -二)分析：應力函數表達式（a）中不出現口，這是因為f（中）中包含了 «角（在應用應力邊界條件時，中="處（。中）怩 = 0 , （T仰）怩 =。中體現）4-3在軸對稱位移問題

31、中，試導出按位移求解的基本方程，并證明UpnAP+BuqO可以滿足此基本方程。【解】（1）設u p = u& P） , u（p = 0,代入幾何方程，教材中式（4-2）得形變分量:u 7U 7容-a中",即=0（a）C rr將式（a）代入物理方程，教材中式（4-3）得用位移表示的應力分量CJ n -21 -ufu ：、u :(-u-), v cP PE 二 u : u :22(u),1 -u2，(b)將式（b）代入平衡微分方程，教材中式（4-1）,在軸對稱問題中,平衡方程為6仃p 1石七的 bp 一 仃中1科一P ,Y 1及中十分仰十2 :仰J £50P P 一式（

32、C）中的第二式自然滿足，第一式為2du： 1 du ： u ：L 0 二0d：2： d： ：2(c)(d)上式即為求u P的基本方程。(2)將up = AP+：,u中=0將代入式(d),很顯然滿足方程。4-7實心圓盤在P = r的周界上受有均布壓力q的作用，試導出其解 答。【解】實心圓盤是軸對稱的，可引用軸對稱應力解答，教材中式(4-11 ),即A一-+ B(1 +2ln P) +2C,Aj a(p = -+ B(3+2ln P)+2C,(a)If 伴=Tqp首先，在圓盤的周界(P = r)上，有邊界條件9p)m=-q,由此得A+ B(1 +2ln r) +2C = -q ,(b)r其次，在圓

33、盤的圓心，當Pt。時式(a)中。p。中的第一、第二項均 趨于無限大，這是不可能的。按照有限值條件(即，除了應力集中點 以外，彈性體上的應力應為有限值。)，當P = 0時，必須有A=B=0 把上述條件代入(b)式中，得C22所以，得應力的解答為4-9半平面體表面上受有均布水平力q,試用應力函數=P2(Bsn 2cp +c中)求解應力分量，如題4-9圖所示。【解】(1)相容條件：將應力函數中代入相容方程56=0,顯然滿足。(2)由中求應力分量表達式二-2Bsin2 : 2C :,c- 二2Bsin2 ： 2C :,.:二二-2Bcos2 : -C考慮邊界條件：注意本題有兩個喃，即*士,分別為士中面

34、, 在土中面上，應力符號以正面正向、負面負向為正。因此，有（。中 k = ± 3y2 = 0, 得 c = 0仲 % = 土% = -q,得B =一微將各系數代入應力分量表達式，得；=；=q sin 2 ;:,:-=-qsin21：: q cos2 ;4-12楔形體在兩側面上受有均布剪力 q,如題4-12圖所示，試求其應力分量。【解】（1）應用應力函數=P2（Acos29+Bsin29+C9+ D）,進行求解。由應力函數中得應力分量 P f $言=2Acos2, + Bsin2P-CP-D),仃中=市=2(Acos2 中 +Bsin# +C 邛 + D),1、仰=() =2Asin2

35、中一2Bcos2中-C叫 cP P cP(a)（2）考察邊界條件：根據對稱性，得k（；j.0;二- 二q;（b）2二 一 二0;（c）2:一 -q2同式（a）得2Acos : 2Bsin ： C ： 2D = 0;同式（b）得2Asin。2Bcos：-C 二 q;(e)(f)同式（c）得2Acos : -2Bsin : - C = 2D = 0;(g)同式（d）得-2Asin 可 一2Bcos5 - C = -q;(h)式（e）、（g）、（h）聯立求解，得. q _ qA =,B=C = QD = cot 三2sin ：2將以上各系數代入應力分量，得cos2 :cot-i “ sin ;c-

36、= qcos2 :-cot 二sin 一:：7 仰=qsin ：sin 2 :4-14設有一剛體，具有半徑為R的圓柱形孔道，孔道內放置外半徑為 R而內半徑 為r的圓筒，圓筒受內壓力為q,試求圓筒的應力。【解】本題為軸對稱問題，故環向位移 u（p = 0,另外還要考慮位移的單值條件。（1）應力分量引用軸對稱應力解答，教材中式（4-11）,取圓筒解答中的系數為 A, B, C,剛體 解答中的系數為A" B"。由多連體中的位移單值條件，有B=0,（a）B，=0（b）現在，取圓筒的應力表達式為AA仃p = 五+2C ,仃中=一產+2C（c）剛體的應力表達式A'：22C

37、9;(d)考慮邊界條件和接觸條件來求解常數A,A，C,C，和相應的位移解答首先，在圓筒的內面，有邊界條件（。目修=7,由此得A今 2C = -q r其次，在遠離圓孔處，應當幾乎沒有應力，于是有（：）：,二二0,（二：）：- 二=。由此得2。=0再次，圓筒和剛體的接觸面上，應當有二，：R =二'P）RR于是有式（c）及式（d）得(e)(f)AA3 2C = S 2C'R2R2(g)（2）平面應變問題的位移分量應用教材中式（4-12）的第一式，稍加簡化可以寫出圓筒和剛體的徑向位移表達+1 cos中 + K sin 中,(h)1 uAu -： - - 2(1 -2u)C:剛體的徑向位移為零，在接觸面上，圓筒與剛體的位移相同且都為零，即將式（h）和式（i ）代入，得2(1 -2u)CR -AI cos :