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文檔簡介
1、常微分方程練習試卷、填空題。1 .方程x3 d。+1=0是階(線性、非線性)微分方程.dt2 .方程二dy = f (xy)經變換,可以化為變量分離方程 .y dx33 .微分萬程 駕y2 x =0滿足條件y(0) =1,y'(0) =2的解有個.dx4 .設常系數方程y"+ayPy=¥ex的一個特解y*(x) = e2x+ex + xex ,則此方程的系數0 =, P =,尸=.5 .朗斯基行列式W(t)三0是函數組xi(t),x2(t)|,xn(t)在aExMb上線性相關的 條件.6 .方程xydx +(2x2 +3y2 -20)dy = 0的只與y有關的積分因
2、子為 .7 .已知X ' = A(t)X的基解矩陣為 6(t)的,則A(t) =.8 .方程組x '=0 L的基解矩陣為.一0 5dy 33一二xy+y9 .可用變換 將伯努利方程辦化為線卜t方程.10 .二1是滿足方程y'"+2y” + 5y' + y=1和初始條件 的唯一解.11 .方程丁陽一 J二/的待定特解可取 的形式:12 .三階常系數齊線性方程y"-2y” + y = 0的特征根是 二、計算題1.求平面上過原點的曲線方程,該曲線上任一點處的切線與切點和點(1,0)的連線相互垂直.2.求解方程dy _ x y 7dx x - y 3
3、d2xdx c3 .求解方程xx十(dx)2=0 dt2dt4 .用比較系數法解方程. :;一;-.5 .求方程y'= y+sin x的通解.22 .6 .驗證微分萬程(cosxsinx-xy )dx + y(1-x )dy = 0是恰當萬程,并求出它的通解.7 .設a = ,' 1 1” =,1,試求方程組dX = AX的一個基解基解矩陣中,求S = AX12 Ml,I-dtdt滿足初始條件x(0)的解.8 .求方程dy = 2x-1-3y2通過點(1,0)的第二次近似解.dx9 .求(dy)3.4xydy +8y2 = 0 的通解dx dx2 110.若 A= I /人試求
4、方程組x'= Ax的解中(t),中(0)" = i ,并求expAt1 41勺2三、證明題1 .若6(t),干(t)是X JA(t)X的基解矩陣,求證:存在一個非奇異的常數矩陣C,使得空(t)=6(t)C.2 .設中(x)(a Wx0,xWP)是積分方程y(x) = y° : 2y( ) d , x0,x ; x0的皮卡逐步逼近函數序列叫(x)在% P上一致收斂所得的解,而5(x)是這積分方程在Ot,P上的連續解,試用逐步逼近法證明:在 邛上中(x)三p(x).3 .設閆都是區間(一電通)上的連續函數,且屣X)W是二階線性方程U+p(x)y+g 了二。的一個基本解組
5、.試證明:(i) 磯了)和加力都只能有簡單零點(即函數值與導函數值不能在一點同時為零);(ii) 加和爐沒有共同的零點;(iii) 和卜口)沒有共同的零點.4.試證:如果邛(t)是dX = AX滿足初始條件中(t0) = "的解,那么*(t) = exp A(t-t。)” dt答案一.填空題。111.二,非線性 2. u=xy,1du=dx 3. 無窮多 4. 口 =3,p =2,Y = 1u(f(u) 1) x- 2t 0 -I月5.必要 6.y37.叱8.eAt = l: 5t 9. z 二,j° e -10.二二-二廠i 11;“二i士石12. 1, 二二、計算題1
6、.求平面上過原點的曲線方程,該曲線上任一點處的切線與切點和點(1,0)的連線相互垂直.解:設曲線方程為二了(工),切點為(x,y),切點到點(1,0)的連線的斜率為工-1 ,則由題意 可得如下初值問題:x-1X0) = o分離變量,積分并整理后可得/=-U-l)3+c.代入初始條件可得。二1,因此得所求曲線為。- 1) +y=1 .dy x y -12 .求解萬程-=77 .dx x - y 3解:由!'"一1"0,求得 x= -1,y = 2 令x=:T, x -y 3=0y=2,則有 dv=.令 z=2,解得 (1z)dz = J ,積分得 arctan zln
7、(1 + z2) = In |+C ,dt t -n - i+z2t2,故原方程的解為arctan 2= ln (x 1)2(y-2)2C .x 1'd2xdx c3 .求解方程x + (d-)2=0dt2dt以勺=走中也解 令=y,直接計算可得 城 成,于是原方程化為 必舟 x + y =0y=-2/Gt有廣°或 右,積分后得工,即由工,所以x=4 + G (。廣2c)就是原方程的通解,這里4歷為任意常數。4 .用比較系數法解方程. :.解:特征方程為-4八42 = 0,特征根為 士: J Y .對應齊方程的通解為 .1 1 ': 一:+'.設原方程的特解有
8、形如''' 1 .一代如原方程可得 二-,-二-利用對應系數相等可得 U二。,故犬3二d.原方程的通解可以表示為( GGC 是任意常數)旗)=%(。+/ ©= / + 4+c".令y =c(x)ex為原方程的解,即有 c(x) = e*sin x ,. 1所以y = ce -(sin x + cosx)為原方程的通解.5 .求方程y' = y + sin x的通解.解:先解y' = y得通解為y = cex,代入得 c (x)ex c(x)ex = c(x)ex sin x,積分得 c(x) = -1e、(sinx cosx) c ,
9、226 .驗證微分萬程(cosxsin x -xy )dx + y(1-x )dy = 0是恰當萬程,并求出它的通解解:由于M (x, y) =cosxsin x -xy2,N(x, y) = y(1 -x2),因為二M = -2xy =所以原方程為恰當方程 :y二 x把原方程分項組合得 cosxsin xdx -(xy2dx yx2dy) ydy =0,1c 1 cc 1c或與成 d(-sin x)+d(x y )+d(-y ) =0,故原方程的通解為 sin x -x y +y =C.2227 .設A =13 1 1=,試求方程組dX = AX的一個基解基解矩陣6(t),求型=AX:2 4
10、_J1_dtdt滿足初始條件x(0)="的解.解:特征方程為 det(A-九E)=-321=(九+2)(九+5)=0, -4-X-2(:二0).可得一個基解矩陣1,(t) = "2 ,ee,5.,又因為,(0) = 1產11 3 J-1.于是,所求的解為(t)=:.:,(t)4,(0) J 3 |Le,5t e"2 e“ 2e$3 卜 _ 4e,t _8 .求方程dy = 2x-1-3y2通過點(1,0)的第二次近似解. dx解:令9°(x)=0 ,于是x.221(x)= y01 2x-1-3 0(x)dx =x -x,2(x) = y0, 2x -1
11、-3 12(x)dx = - - x x2 - x3 - x4 - 3x5, 110259 .求(dy)3-4xydy +8y2 = 0 的通解dx dx®3 8y2x=小4ydy解:方程可化為dxdy n x_ P3 8y2二p x 一 ,令dx 則有 4yp(*),2y( p3 - 4y2)dp p(8y2 p3) =4y2p(*)兩邊對y求導得dy(p3 -4y2)(2ydp - p) =0即dy由2ydp1p = 02dy 得p = cy2,y = £)2c將y代入(*)得x=c2 學4 c2 ,即方程的 含參數形式的通解為:c2 2p x 二4 c2y = (-)
12、2求得特征值九=-2, % =5,對應兀=-2,九2 = -5的特征向量分別為1322、不y =又由p -4y =0得p = (4y尸代入(*)得y也是方程的解.10.若A= 2_-114試求方程組x'= Ax的解列t),1中(0)" =11 憶并求expAt解:特征方程p(')=1 -42-2-69=02,解得 ,2=3,此時 k=1, n1 = 2。3t 1 tii 1(t)=e3tlz -(A-3E)i | 1mi!一”21二 +t(】- -i3t 1(1二e_ 2 t(- 1由公式expAt =n -1 Je J -(A- E)ii =0 i !expAt =
13、e3t IE t(A-3E)l = e3t廠 1 01 /-11:0 111 3t 1-t t=e3tIL -t三、證明題1 .若6(t),里(t)是X' = A(t)X的基解矩陣,求證:存在一個非奇異的常數矩陣C ,使得空(t)=6(t)C.證:6(t)是基解矩陣,故九t)存在,令X(t) =6,(t)乎(t),則 X(t)可微且 detX(t) #0 ,易知富(t) =O(t)X(t).所以可(t)=中(t)X(t) :,(t)X (t) = A(t):,(t)X(t) - :,(t)X (t) = A(t)'P(t) :,(t)X (t)而里=A(t)里(t),所以(t)
14、X(t)=0,X'(t) =0, X(t) =C (常數矩陣),故中(t)=(t)C .2 .設中(x)(a Wxo,xWP)是積分方程x - 2-_.:y(x) = y° . y( ) d ,x0,x 二,-x0的皮卡逐步逼近函數序列鴛(x)在% P上一致收斂所得的解,而5(x)是這積分方程在慳,P上的連續解,試用逐步逼近法證明:在a,P上中(x)三學(x).證明:由題設,有¥(x)三y。x21 () d,x0中 0(x) =y0$(x)三 y。+ 必2叫儲)+£dJ Xo,xwa,P, (n=1,2,). x下面只就區間x。ExmP上討論,對于“ Ex
15、 Mx。的討論完全一樣。x因為|(x) -<p0(x) |< 心2 N代)| + | Dd。E M (x x。),其中 M =maxx2 N (x) | + |x |,xoxx所以 1yx) - ;i(x)|< (2|1-:( ) - ;o( )|)d <L M( -xo)d =x。x。ML2!(x - x。),Ml n, 一.其中L =maxx ,設對正整數n有W(x)-中n(x)區必L1(x-x0)n,則有x|' (x)- n(x)| ”( 2|一( )一 n()|)dx故由歸納法,對一切正整數k,有ML曲 xo nn 1nx。)% ;!(。廣k 1k 1M
16、Lk MLk卜(x)- k(x)|(x - Xo)(- - -).k!k!而上不等式的右邊是收斂的正項級數的通項,故當 kT g時,它T。,因而函數序列華n (x)在x。W x宅P上一致收斂于中(x).根據極限的唯一性,即得'''' (x)三-1(x) , x。£ x E :3.設P聞 都是區間(一電故)上的連續函數,且 砒外即 是二階線性方程y”+p(i)y+o了二 0的一個基本解組.試證明:(i) 0和弧都只能有簡單零點(即函數值與導函數值不能在一點同時為零);(ii) 或X)和口(1)沒有共同的零點;(iii) 伊,和廣沒有共同的零點證明:。的和曲)的伏朗斯基行列式為印二我(工)因網和血是基本解組,故即(x)=0 aE (-00,4®).若存在瓦£(一00網,使得 幽)二磯而)二°,則由行列式性質可得取偏)二°,矛盾.即忒工)最多只能有簡單零點.同理對弧有同樣的性質,故(i)得證.若存在為£卜電*0),使得成瓦)二貝耳)=。,則由行列式性質可得 陽與)二。,矛盾.即 。與口無共同零點.故(ii)得證.若存在而E (-00網,使得磯)=歲()=。,則同樣由行列式性質
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