1、函數的性質與畫函數圖象題1.如圖，在四邊形 ABCD中，AD/BC, / ADC=90,點E是BC邊上一 動點，連接AE,過點E作AE的垂線交直線CD于點F.已知AD=4 cm, CD=2 cm, BC=5 cm,設 BE 的長為 x cm, CF 的長為 y cm.第1題圖小東根據學習函數的經驗，對函數y隨自變量x的變化而變化的規律進行探究.下面是小東的探究過程，請補充完整：(1)通過取點、畫圖、測量，得到了 x與y的幾組值，如下表：x/cm00.511.522.533.544.55y/cm2.51.100.91.51.92.01.90.90(說明：補全表格時相關數據保留一位小數)(2)建立

2、直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象；第1題圖(3)結合畫出的函數圖象，解決問題：當BE=CF時，BE的長度約為 cm.解：(1) 1.5;(2)根據題意作圖如解圖；第1題解圖(3) 0.7 (0.60.8之間均可).【解法提示】根據題意，所畫圖象與直線 y=x交點即為所求數值.故測量 數據在0.60.8之間,可取x=0.7,故BE=0.7.2.在數學興趣小組活動中，同學們證明了數學定理：直角三角形中，30角所對直角邊等于斜邊的一半”.那么在直角三角形中，對于銳角O的任意 一個確定的值內它的對邊與斜邊的比值y都是多少呢？為了研究這個問題， 小華在平面直角坐標系中

3、，以坐標原點為圓心，5 cm為半徑畫了一個圓弧分別交x, y軸于C, D兩點，A為圓弧上一動點(不與C, D重合)，連接 OA,過點A作AB，x軸于點B,設/ AOB= % / AOB的對邊AB與斜邊OA 的比值為y (如圖).根據函數定義，小華判斷y與口具有函數關系，并根據學習函數的經驗， 對函數y隨自變量的變化而變化的規律進行探究.下面是小華的探究過程，請補充完整：(1)通過取點、畫圖、測量、計算，得到了口與丫的幾組值，如下表：/ 1020304050607080y0.170.340.500.640.770.940.98(說明：補全表格時相關數值保留兩位小數)(2)寫出該函數自變量0c的取

4、值范圍.(3)在圖中描出 以補全后的表中各對對應值為坐標”的點，畫出該函數的大致圖象；(4)根據圖象，寫出此函數的一條性質.(5)結合畫出的函數圖象，解決問題：當銳角為45時，這個比值約為.(保留兩位小數)圖解：(1) 0.87;(2) 0 c %90 ;(3)由題意描點畫圖如解圖;(4)性質：在自變量取值范圍內，函數沒有最大、最小值；在自變量取值范圍內，y隨口增大而增大；函數圖象只分布在第一象限.(答案不唯一)(5) 0.71.【解法提示】由于銳角為45時，滿足條件的點是所畫函數圖象與直線 y=x 的交點，故測量得比值在 0.70-0.72之間即可，可取0.71.3.問題情境：課堂上，同學們

5、研究幾何變量之間的函數關系問題：如圖，菱形ABCD的對角線AC, BD相交于點O, AC=4, BD=2 .點P是AC上的 一個動點，過點P作MNLAC,垂足為點P (點M在邊AD, DC上，點N 在邊AB, BC上).設AP的長為x (0q), AAMN的面積為y.圖3題圖建立模型：（1）求y與x的函數關系式；解決問題：（2）為進一步研究y隨x變化的規律，小明想畫出此函數的圖象.請你補充列表，并在如圖的坐標系中畫出此函數的圖象：xo121322523724yo1898158780（3）觀察所畫的圖象，寫出該函數的兩條性質 解：（1）由題意可知，設AP=x, 當04攵時,. MN/ BD, .

6、APM s/Xaod.AP = PM . AO - OD.AP AO=2.PM DO.PM= 1x.2.AC垂直平分MN,.PN =PM = -x.2MN=x.1，1 2y= AP MN x ;22當2xq時，P在線段OC上,. CP=4-x, .CPM ACOD.CP PM . CO OD.CP CO 0 =2PM OD1 . PM =2(4 -x). 二 MN =2PM =4-x. .y=2APjMN =gx(4 x) 2x2 2x.1x2(0M2),2x2 2x(2 .4)；1.3（2）由（1）可知，當 x=1 時，y =,當 x=2 時，y = 2,當 x=3 時，y =一;第3題解圖

7、（3）根據（1）畫出函數圖象示意圖可知：當04攵時，y隨x的增大而增大；當2xq時，y隨x的增大而減小.（答案不唯一）4.如圖，在 4ABC 中，/B=90, AB=6 cm, BC=12 cm,動點 P 從 A 點開 始沿AB邊向B點以1 cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿BC邊向點C 以3 cm/s的速度移動.已知點P、Q分別從點A、B同時出發，點P到點B 或點Q到點C時，點P與Q同時停止運動.5-5圖-圖第4題圖(1)求4PBQ的面積S (cm2)關于移動時間t (s)的函數關系式及t的取值范圍；(2)畫出這個函數的圖象；(3)指出4PBQ的面積S隨移動時間t如何變化.解：(1)根據

8、題意可知：PB=AB-AP=6-t, BQ=3t. /B=90 , /. ABXBC, PBXBQ.1 13 2. .S=1PBLBQ= (6-t) 3t= -t 9t .2 22S與t的函數關系式為y=-3t2+9t(0 t = 4);(2)函數圖象如圖所示：第4題解圖(3)根據函數圖象可知：當0Vt3時，S隨t的增大而增大；當3t4時, S隨t的增大而減小.5.如圖，RtzABC 中，/C=90 , AC=BC, AB=4 cm.動點 D 沿著 A CB 的方向從A點運動到B點.DELAB,垂足為點E.設AE長為x cm, BD 長為y cm (當D與A重合時，y=4;當D與B重合時y=0

9、).小云根據學習函數的經驗，對函數y隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究.下面是小云的探究過程，請補充完整：(1)通過取點、畫圖、測量，得到了 x與y的幾組值，如下表：x/cm00.511.522.533.54y/cm4.03.53.2t2.82.11.40.70補全上面表格，要求結果保留一位小數，則 tw；(2)在下面的網格中建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象；(3)結合畫出的函數圖象，解決問題：當DB=AE時,AE的長度約為 cm.圖圖第5題圖解：(1) 2.9;(2)如解圖，根據已知數據描點連線得；第5題解圖(3) 2.3.【解法提示】當DB=

10、AE時，y與x滿足y=x,在(2)圖中，畫y=x圖象， 測量交點橫坐標為2.3,故AE長度名勺為2.3 cm.6.如圖，點E是矩形ABCD邊AB上一動點(不與點 B重合)，過點E 作 EFLDE 交 BC 于點 F,連接 DF,已知 AB=4 cm, AD=2 cm,設 A, E 兩點間的距離為x cm, ADEF面積為y cm2.小明根據學習函數的經驗，對函數y隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究.下面是小明的探究過程，請補充完整：(1)確定自變量x的取值范圍是;通過取點、畫圖、測量、分析，得到了 x與y的幾組值，如下表:x/cm00.511.522.533.5y/cm24.03.73.9

11、3.83.32.0(說明：補全表格時相關數值保留一位小數)(3)建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點， 畫出該函數的圖象；(4)結合畫出的函數圖象，解決問題：當 4DEF面積最大時，AE的長度 為.解：(1) 044;【解法提示】點E在AB上，AB=4,:。蟲 4. 3.8,4.0;【解法提示】四邊形ABCD是矩形，.BC =AD =2, CD =AB =4, A = =/B =90 ./ADE +/AED =90 .VEFXDE,./AED + /BEF =90 ./ADE =/BEF.又/A =/B =90 ,.ADE s/bEF.ADBEAEBFv AE =x,.B

12、E =AB -AE =4-x.xx(4 - x)./.BF =2當 x =1 時，BF =3, CF =BC -BF=2-3 = - 22 2二角形 DEF 的面積為 S巨形 ABCD - SA ADE - S*A BEF - SA CDF =- 1_ _ 1- 311一_ _8 父2父1 黑 3M 黑4乂 一 = 3.75 3 3.8 ,22222當 x =2 時，BF =2, .CF =BC-BF=0.此時，點F和點C重合,一 DEF 面積為 S 矩形 ABCD 一 SL ADE 一 SA BEF =8-2父2：2 2 *2乂2 = 4.0 .(3)描點，連線，畫出如解圖所示的圖象，+X第

13、7題圖第6題解圖(4)?；?2.【解法提示】由圖象可知，當 x=0或2時，zDEF面積最大，即當4DEF 面積最大時，AE=0或AE=2.7.如圖，P是半圓弧AB上一動點，連接 PA,PB,過圓心。作OC/BP交 PA于點C,連接CB.已知AB=6 cm,設O, C兩點間的距離為x cm, B, C兩點間的距離為y cm.圖圖小東根據學習函數的經驗，對函數 y隨自變量x的變化而變化的規律進行 探究.(2)建立直角坐標系，描出以補全后的表中各對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象；(3)結合畫出的函數圖象，解決問題：直接寫出 AOBC周長C的取值范圍 是.解：(1)經過測量，x=2時，y值為4.6;

14、(2)根據題意，畫出函數圖象如解圖；(3) 6012.【解法提示】根據圖象，可以發現，y的取值范圍為：3可.AB=6,. OB=3.C=OB+OC+BC=3+x+y.C=6+y0叔3,3可擊，.3叔+y 包. .62時，y隨x的增大而增大等(答案不唯一)；(5) 3.9 .【解法提示】由圖象可得一個正數根約為 3.9.2110有這樣一個問題：探究函數y = -1x的圖象與性質.21 一一. 一一 .、小東根據學習函數的經驗，對函數 y = W-x的圖象與性質進行了探究.F面是小東的探究過程，請補充完整，并解決相關問題： (1)函數y=x的自變量X的取值范圍是(2)下表是y與x的幾組對應值，求 m的值;x-4-3-23-2-1y1783118325936522 -2123433292531-23m662218 如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點.根據描出的點，畫出該函數的圖象;（4）進一步探究發現，該函數圖象在第二象限內的最低點的坐標是（-2,3）,結合函數的圖象，寫出該函數的其它性質（一條即2可）.21-.（5）根據函數圖象估算萬程y = W-x=2的