1、復變函數復習重點（一）復數的概念1復數的概念：z x iy , x,y 是實數，x Re z , y Im z .i2 1.注：一般兩個復數不比較大小，但其模（為實數）有大小 2復數的表示1）模：z 一 x2 y2 ；2）幅角：在z 0時，矢量與x軸正向的夾角，記為 Arg z （多值函 數）；主值arg z是位于（，中的幅角3） arg z與arctanY之間的關系如下: x當 x 0, argz arctan-;xy 0,arg z 當x 0,y 0,arg z4）三角表示：z z,y arctan- x,y arctan- xcos isin ,其中argz;注：中間一定是“ +”5）指

2、數表75 : z zei ,其中 arg z（二）復數的運算1.加減法：若乙Xiiy1,z2x2iy2 ,貝U4zxx?iyV22乘除法：1）若 z1X1iy1,z2X2iy2 ,則乙馬X1X2 NN2i x1y2；47iy1z2X2iy2X iy X2 iy2x2 iy2 x2 iy2X1X2丫佻.XX2y2”22 i 220X2 V2X2V22）若 4 乙 ei 12z2 ei2 ,則Z1Z2ZiZ2ei 1 23.乘哥與方根1 ) 若 z z (cosi sinzn (cosn isinn ) zn ein。2) 若 z z (cosi sinn.zin cos2k ni sinn2k(

3、k 0,1,2L n 1)(有n個相異的值)18（三）復變函數1 .復變函數：w f z ,在幾何上可以看作把z平面上的一 個點集D變到w平面上的一個點集G的映射.2 .復初等函數1）指數函數：ez ex cosy isin y ,在z平面處處可導，處處解析；旦 ez ez。注：ez是以2 i為周期的周期函數。（注意與實函數不同）3）對數函數：Lnz ln z i（argz 2k ） （k 0, 1, 2L ）（多值函數）；主值：lnz lnz i arg z o (單值函數)Lnz的每一個主值分支ln z在除去原點及負實軸的z平面內處處解析，且lnz工； z注：負復數也有對數存在。（與實函數

4、不同）3）乘號與號函數：ab ebLna （a 0） ； zb ebLnz（z 0）注：在除去原點及負實軸的z平面內處處解析，且zbbzb1。iz iziz iz4）三角函數：e ee esin z coszsin z ,cos z , t gz , ctgz 2i2cosz sin zsin z,cos z在 z 平面內解析，旦 sin z cosz, cosz sin z注：有界性sinz 1, cosz 1不再成立；（與實函數不同）z zz z4） 雙 曲函數 shz -,chz - ； 22shz奇函數，chz是偶函數。shz, chz在z平面內解析，且shz chz, chz shz

5、。（四）解析函數的概念1 .復變函數的導數1）點可導zof limz 0zof zo2）區域可導：f z在區域內點點可導。2 .解析函數的概念1）點解析：f z在zo及其zo的鄰域內可導，稱f z在zo點解析；2）區域解析：f z在區域內每一點解析，稱 f z在區域內解析;3）若f（z）在zo點不解析，稱zo為f z的奇點；3 .解析函數的運算法則：解析函數的和、差、積、商（除分母為 零的點）仍為解析函數；解析函數的復合函數仍為解析函數；（五）函數可導與解析的充要條件1 .函數可導 的充要條件：f z u x, y iv x,y在z x iy可導u x, y和v x, y在x, y可微，且在x

6、, y 處滿足C D條件：u vuv,x yyx此時， 有f z i o x xiv x,y在區域內解析2 .函數解析的充要條件：f z u x, yu x, y和v x, y在x, y在D內可微，且滿足C D條件：、/、- 'C卜 4注息:此時f若u x,y ,v x,y在區域D具有一階連續偏導數，則u x,y ,v x,y在區域D內是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明u,v具有一階連續偏導且滿足C R條件時，函數f（z） u iv一定是可導或解析的3 .函數可導與解析的判別方法1）利用定義（題目要求用定義，如第二章習題1）2）利用充要條件（函數以f z u x,y iv

7、x,y形式給由，如第二章習題2）3）利用可導或解析函數的四則運算定理。（函數f z是以z的形式給由，如第二章習題 3）（六）復變函數積分的概念與性質n1. 復變函數積分的概念：c f z dz lim f k zk, c是光滑曲線。cnk 1注：復變函數的積分實際是復平面上的線積分。2. 復變函數積分的性質1） f z dz 1 f z dz（c1與c的方向相反）；cc2） f z g z dz f z dz g z dz,是常數；ccc3） 若曲線c由Ci與c2連接而成，則 c f z dz c f z dz % f z dz。3復變函數積分的一般計算法1）化為線積分： f z dz udx

8、 vdy i vdx udy ； （常用于理論證明） ccc2）參數方法：設曲線c ： z z t （ t ） ，其中 對應曲線 c 的起點， 對應曲線 勺終點，則 cf zdz fztz（t）dt。（七）關于復變函數積分的重要定理與結論1 .柯西一古薩基本定理：設f z在單連域B內解析，c為B內任一 閉曲線，則?f z dz 0 c2 .復合閉路定理： 設f z在多連域D內解析，c為D內任意一條 簡單閉曲線，Ci,C2,L Cn是c內的簡單閉曲線，它們互不包含互不 相交，并且以C1,C2,L Cn為邊界的區域全含于D內，則n？f z dz ?f z dz, 其中C與Ck均取正向； ck 1

9、ck?f z dz 0,其中 由c及c1（k 1,2,L n）所組成的復合閉路。3 閉路變形原理： 一個在區域D 內的解析函數f z 沿閉曲線 C 的積分，不因c在D內作連續變形而改變它的值，只要在變形過程 中c不經過使f z不解析的奇點。4 解析函數沿非閉曲線的積分： 設 f z 在單連域 B 內解析， G z為f z在B內的一個原函數，則z：fZdzGZ2 G .（z1，z2 B）說明：解析函數f z 沿非閉曲線的積分與積分路徑無關，計算時只要求出原函數即可。5。柯西積分公式：設f z在區域D內解析，c為D內任一正向簡 單 閉 曲 線 ， c 的 內 部完 全屬 于 D ， z0 為 c

10、內 任 意一 點 ， 則dz z02 ifzo6 .高階導數公式：解析函數f z的導數仍為解析函數，它的 n階導數為(z zo)n 1dz 2 f nn!(n 1,2L)其中c為f z的解析區域D內圍繞zo的任何一條正向簡單閉曲線,而且它的內部完全屬于Do7 .重要結論：12 i, n 0（c是包含a的任意正向簡單閉曲On-rdzc?（z a）0, n 08 .復變函數積分的計算方法1）若f z在區域D內處處不解析，用一般積分法c f z dz fz t z t dt2）設f z在區域D內解析，c是D內一條正向簡單閉曲線，則由柯西一古薩定理，2 f z dz 0c是D內的一條非閉曲線，ziz對

11、應曲線c的起點和終點，則有z2f z dz f z dz F z2F z1cz13）設f z在區域D內不解析曲線c內僅有一個奇點?Qdz(z 20)曲線c內有多于一個奇點:?f z dzcn?f z dz (g內只有一個奇 k 1 ck點Zk)n或：?f z dz 2 i Resf(z),Zk(留數基本定理)若被積函數不能表示成f ",則須改用第五章留數定理來計(Z Zo)算。(八)解析函數與調和函數的關系1 .調和函數的概念：若二元實函數(x,y)在D內有二階連續偏導數 22且滿足0, x y(x, y)為D內的調和函數。2 .解析函數與調和函數的關系解析函數f Z u iv的實部

12、u與虛部v都是調和函數，并稱虛部 v 為實部u的共輾調和函數。兩個調和函數u與v構成的函數f(Z) u iv不一定是解析函數； 但是若u,v如果滿足柯西一黎曼方程，則u iv一定是解析函數。3 .已知解析函數f Z的實部或虛部，求解析函數f Z u iv的方法。1)偏微分法：若已知實部u u x,y ,利用C R條件，得,，；x y對-v -u兩邊積分，得V dy g x(*)y xx再對(*)式兩邊對x求偏導 得dy g x (*) x x x由C R條件，-u,得-u - -udy g x ,可求由 g x ；y x y x x代入（*）式，可求得虛部vdy g xx2 ）線積分法：若已知

13、實部u u x,y ,利用C R條件可得, v . v , u , u .dv dx dydx dy ,x y y x故虛部為v ydx dy c ；x0,y0yx由于該積分與路徑無關，可選取簡單路徑（如折線）計算它，其 中xo,yo與x, y是解析區域中的兩點。3）不定積分法：若已知實部u u x,y ,根據解析函數的導數公式 和C R條件得知,u. vu . ui i x yx y將此式右端表示成z的函數U z ,由于f z仍為解析函數，故f Z u z dz c（ c為實常數）注：若已知虛部v也可用類似方法求生實部 u.（九）復數項級數1 .復數列的極限1）復數列 n an ibn （n

14、 1,2L ）收斂于復數 a bi的充要條件為 liman a, lim bn b（同時成立）nn2）復數列 n收斂 實數列%,4同時收斂。2 .復數項級數1）復數項級數n（ n an 0）收斂的充要條件是級數烝與bn同n 0n 0n 0時收斂；2）級數收斂的必要條件是pm n 0。注：復數項級數的斂散性可以歸納為兩個實數項級數的斂散性問題的討論。（十）哥級數的斂散性1 .哥級數的概念：表達式 Cn（Z Z0）n或CnZn為哥級數。 n 0n 02 .哥級數的斂散性1）級級數的收斂定理一 阿貝爾定理（Abel）:如果哥級數gzn在zo 0n 0處收斂，那么對滿足z |z0的一切z,該級數絕對收

15、斂；如果在Z0處發散，那么對滿足z匕的一切z,級數必發散。2）哥級數的收斂域一圓域事級數在收斂圓域內，絕對收斂；在圓域外，發散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法 如果pm c0 ,則收斂半徑R工；根值法”m屈°，則收斂半徑R 1 ；如果 0,則R ；說明在整個復平面上處處收斂；如果 ，則R 0；說明僅在z z。或z 0點收斂；注：若事級數有缺項時，不能直接套用公式求收斂半徑。（如cnz2n ） n 03 .哥級數的性質1）代數性質：設 anzn, bnzn的收斂半徑分別為R與R2 ,記 n 0n 0R min R,R2 ,則當z

16、 R時，有(anbn)znn 0n anZn 0bnZnn 0（線性運算）(anZn)( bnZn)n 0n 0(anb°n 0an ibi La°bn)zn（乘積運算）2）復合性質：設當| | r時，f且 g z r ,an n,當 IZ R時, 0g z解析則當z R時,fgz angn 0zn3）分析運算性質：設備級數anzn的收斂半徑為R 0, n 0其和函數f zanzn是收斂圓內的解析函數;n 0在收斂圓內可逐項求導，收斂半徑不變；且f znanzn 1n 0在收斂圓內可逐項求積，收斂半徑不變;zf z dz0an n 1zn 0 n 1z R（十一）哥函數的泰

17、勒展開1 .泰勒展開：設函數f z在圓域zR內解析，則在此圓域內f zn可以展開成哥級數f zz z0 n ；并且此展開式是唯一的。n 0 n!注：若f z在z0解析，則f z在z0的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑R z° a ;其中R為從z0到f z的距z0最近一個奇點a之間的距離。2 .常用函數在zo 0的泰勒展開式1)1 nzo n!2 z2!3 z3!n!2)3)sin z1)2n 1 zo(2n 1)!3 z3!5 z5!(1)(2n 1)!4)cosz0"2 z2!4 z4!L2nL(2n)!3.解析函數展開成泰勒級數的方法1)直接法：直接求由Cn-fn z0，

18、于是n!cn0nz zoo2)間接法：利用已知函數的泰勒展開式及哥級數的代數運算、復合運算和逐項求導、逐項求積等方法將函數展開。(十二)事函數的洛朗展開1 .洛朗級數的概念：Cn z z°n,含正事項和負事項。n2 .洛朗展開定理：設函數f z在圓環域R1 |z z00內處處解析,C為圓環域內繞z°的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環域內，有f zCn z z° n ,且展開式唯一。n3 .解析函數的洛朗展開法：洛朗級數一般只能用間接法展開。*4.利用洛朗級數求圍線積分：設 f z在r z耳R內解析，c為 r z z R內的任何一條正向簡單閉曲線， 則？cf z

19、dz 2 ic 1。其中 C1為f(z)在r |z z R內洛朗展開式中 的系數。z Zo說明：圍線積分可轉化為求被積函數的洛朗展開式中(z Z0)1的系(十三)孤立奇點的概念與分類 1。孤立奇點的定義 ：f z在Z0點不解析，但在Z0的0 |z Zo 內解 析。2。孤立奇點的類型：1)可去奇點：展開式中不含zzo的負事項； 2 f Z C0GZZ0 C2 z Zo Lc mC (m 1)/Tm、m 1(Z Zo)(Z Zo)2)極點：展開式中含有限項Z Z0的負事項；g Z7rm,(Z Zo)C 12Co C1(Z Zo) C2(Z Zo)L(Z Zo)其中 gZ C m C (m 1) (

20、Z Zo)L C 1(Z Zo)m1 Co(ZZo)mL 在 Zo 解析,且 g Zoo,m 1,c m o ;3)本性奇點：展開式中含無窮多項Z Zo的負事項；f Z L-C mm LCoC1(ZZo)LCm(ZZo)mL(Z Zo)(Z Zo)(十四)孤立奇點的判別方法1 .可去奇點：lim f z Co常數； Z zo2 .極點：lim f z Z Zo3 .本性奇點：lim f z不存在且不為。Z zo4 .零點與極點的關系1)零點的概念：不恒為零的解析函數f Z ,如果能表示成f Z (Z Zo)m Z ,其中Z在Zo解析，Zoo,m為正整數，稱Zo為f Z的m級零點；2)零點級數判

21、別的充要條件Z0是f z的m級零點f n z00, (n 1,2,L m 1)mfZo03）零點與極點的關系：Zo是f z的m級零點 Zo是 4 的m級極點; f z4）重要結論若z a分別是 z與 z的m級與n級零點，則za是 z g z的m n級零點；當m n時，z a是的m n級零點；z當m n時，z a是一z-的n m級極點； z當m n時，z a是一二的可去奇點； z當mn時，za是 z z的l級零點，l min（m,n）當m n時，z a是 z z的l級零點，其中l m（n）（十五）留數的概念1.留數的定義：設zo為f z的孤立奇點，f z在zo的去心鄰域0 z zol內解析，c為

22、該域內包含zo的任一正向簡單閉曲線， 則稱 積分,？ f z dz為f z在zo的留數（或殘留），記作2 i "1 .Resf z ,zo12f z dz2 .留數的計算方法若Zo是f z的孤立奇點，則Res f z ,zo c 1 ,其中c 1為f z在zo的去心鄰域內洛朗展開式中（z Zo） 1的系數。1）可去奇點處的留數：若Zo是f z的可去奇點，則Resf z ,zo o2) m級極點處的留數法則I若zo是f z的m級極點,則Resf z 41(m 1)!limz Zo dzm 1 ( Zm r zo) f特別地，若zo是f z的一級極點，則Resf z ,zo J嗎z z&

23、#176;)f z注：如果極點的實際級數比 m低，上述規則仍然有效。法則 II 設 f z P-z- , P z ,Q z 在 zo 解析，P zo 0, Q zP zP 4Q zo O,Q zo O,貝U Res-,zoQ zQ zo(十六)留數基本定理設f z在區域D內除有限個孤立奇點z1,z2L 2外處處解析，c為D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，則J z dz2 i Resf z ,zn n 1說明：留數定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉化為求被積 函數f z在c內各孤立奇點處留數的局部問題積分變換復習提綱、傅里葉變換的概念Ff(t) f(t)ejwtdt F(w)1 1j tF F( )F( )ej d f(t)2二、幾個常用函數的傅里葉變換1Fe(t)- j1Fu(t)()jF (t) 1F1 2 ()三、傅里葉變換的性質位移性(時域)：Ff(t to) ejwt0Ff(t)位移性(頻域)：Fejw0tfF(w)www0 F(w wo)位移性推論：Fsin wotf (t)F(wwo)F(w wo)位移性