1、信號處理方法及應用信號處理方法及應用FIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter721 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點線性相位條件線性相位條件)()()( jjjeeHeH 條件條件：)1()(nNhnh 且且實實)(nh)()( jeH 幅度函數幅度函數相位特性相位特性 )()(FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter73相位函數的特點相位函數的特點10( )( )NnnH zh n z 10(1)Nnnh Nn z 11(1)0()Nm NnNmmh m z 1(1)0()NNmm

2、zh m z (1)1()NzH z (1)11( )( )()2NH zH zzH z1(1)01( )2NnNnnh n zzz 111122201( ) 2NNNNnnnzh nzz 有有FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法l當當 時時l當當 時時Chapter74( )(1)h nh Nn 且且實實)(nh)(1021)()(cos)()(21 jNnNjwjeHnnheeHN ( )(1)h nh Nn 且且 1021)(sin)()(221NnNjjjnnheeHN 實實)(nhFIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter75幅度函數的特點幅度

3、函數的特點l 偶對稱，偶對稱，N 為奇數為奇數第第I類類1120( )( )cos ()NNnHh nn )(nh(1)2(1)1221()2 cos()NNNnhhnn 對對 偶對稱偶對稱)( H 2 , 0 FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter76l 偶對稱，偶對稱，N 為偶數為偶數第第II類類)(nh 21212)(cos)(2)(NnNnnhH 對對 奇對稱，奇對稱，不能用來設計高通、帶阻濾波器不能用來設計高通、帶阻濾波器)( H FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter77l 奇對稱，奇對稱，N 為奇數為奇數第第III類類)(n

4、h 2)1(121)sin()(2)(NnNnnhH 對對 奇對稱，奇對稱，不能用來設計低通、高通、帶阻濾波器不能用來設計低通、高通、帶阻濾波器)( H 2 , 0 FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter78l 奇對稱，奇對稱，N 為偶數為偶數第第IV類類)(nh 21212)(sin)(2)(NnNnnhH 對對 奇對稱，奇對稱，不能用來設計低通、帶阻濾波器不能用來設計低通、帶阻濾波器)( H 2 , 0 FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法零點位置零點位置特例特例1：零點是實數：成對出現：零點是實數：成對出現特例特例2：零點在單位圓上：成對出現：

5、零點在單位圓上：成對出現特例特例3：零點既是實數，又在單位圓上：成：零點既是實數，又在單位圓上：成單出現單出現Chapter791*1,)( , iiiizzzz是一組零點是一組零點)()(1)1( zHzzHNFIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法2 窗函數設計法窗函數設計法例例.設計一線性相位理想低通設計一線性相位理想低通Chapter710 ccjjdeeH0)()()(sin21)( nndeenhcnjjdcc)()()(nRnhnhNd FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法窗函數設計法的設計思路窗函數設計法的設計思路l給定要求的理想頻率響應給定要求的理

6、想頻率響應l計算計算l加窗截斷加窗截斷l求出加窗后的實際頻率響應求出加窗后的實際頻率響應l檢驗是否滿足設計要求，如不滿足，則檢驗是否滿足設計要求，如不滿足，則需重新設計。需重新設計。Chapter711)( jdeH deeHeHIDTFTnhnjjdjdd)(21)()()()()(nwnhnhd () njj nddnHeh n e FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法理想線性相位數字濾波器的表達式理想線性相位數字濾波器的表達式l理想低通理想低通l理想帶通理想帶通Chapter712 nnnndeenhccnjjdcc/)()(sin21)( 2121,00)(jjdeeH

7、 nnnnnnhd/)(sin)(sin)(1)(1212FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法l理想帶阻理想帶阻l理想高通理想高通Chapter7132121,00)( jjdeeH nnnnnnnnhd/1)()(sin)(sin)(sin)(1)(1212ccjjdeeH 00)( nnnnnhccd1)()sin()(FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter714低通、高通、帶通、帶阻濾波器間的低通、高通、帶通、帶阻濾波器間的關系關系l一個一個高通高通濾波器相當于一個濾波器相當于一個全通全通濾濾波器波器減去減去一個一個低通低通濾波器濾波器l一個一

8、個帶通帶通濾波器相當于一個截止頻濾波器相當于一個截止頻率為率為 的的低通低通濾波器濾波器減去減去另一個截止另一個截止頻率為頻率為 的的低通低通濾波器（濾波器（ ）l一個一個帶阻帶阻濾波器相當于一個截止頻濾波器相當于一個截止頻率為率為 的的低通低通濾波器濾波器加上加上另一個截止另一個截止頻率為頻率為 的的高通高通濾波器（濾波器（ ）2 1 12 1 12 2 FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法窗函數設計法的性能分析窗函數設計法的性能分析Chapter715()1()()()2jjjdH eHeW ed deWeHNjNjd)(2121)()(21 21)( NjeH )()(2

9、1)()(21)( WHdWHHdd FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter716FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter717FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter718l使理想特性不連續邊沿加寬，形成一個過使理想特性不連續邊沿加寬，形成一個過渡帶，過渡帶寬度（兩個肩峰間的寬度）渡帶，過渡帶寬度（兩個肩峰間的寬度）等于窗函數主瓣寬度。等于窗函數主瓣寬度。l在過渡帶兩側，幅頻響應出現最大肩峰值；在過渡帶兩側，幅頻響應出現最大肩峰值；最大肩峰的兩側，形成起伏振蕩，其振蕩最大肩峰的兩側，形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于

10、旁瓣的相對幅度，而振蕩的多幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少，則取決于旁瓣的多少。少，則取決于旁瓣的多少。l吉布斯現象：主瓣與旁瓣的相對比例只有吉布斯現象：主瓣與旁瓣的相對比例只有窗函數的形狀來決定。窗函數的形狀來決定。FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter719各種窗函數各種窗函數l選擇窗函數的標準：選擇窗函數的標準：1。使主瓣的寬度盡量窄，以獲得較陡的過。使主瓣的寬度盡量窄，以獲得較陡的過渡帶。渡帶。2。使能量盡量集中在主瓣中，從而減少肩。使能量盡量集中在主瓣中，從而減少肩峰和波紋，提高阻帶衰減。峰和波紋，提高阻帶衰減。窗形狀決定最小阻帶衰減，過渡帶的寬度窗

11、形狀決定最小阻帶衰減，過渡帶的寬度決定決定N的取值。的取值。FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter720Bartlett: 121210,122,12NnNNnNnNnnwFIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter721Hanning:)(12cos121nRNnnwN FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter722Hamming:)(12cos46. 054. 0nRNnnwN FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter723Blackman:)(14cos08. 012cos5 . 042

12、. 0nRNnNnnwN FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter724窗函數窗函數主瓣寬度主瓣寬度（2 /N）旁瓣峰值旁瓣峰值（dB）阻帶最小衰減阻帶最小衰減（dB）過渡帶寬過渡帶寬（2 /N）矩形窗矩形窗2-13-210.9Bartlett4-25-252.1Hann4-31-443.1Hamming4-41-533.3基本窗函數的特性基本窗函數的特性Blackman6-57-745.5FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter725偶對稱單位沖激響應濾波器設計步驟偶對稱單位沖激響應濾波器設計步驟l確定濾波器性能指標確定濾波器性能指標對低通

13、和高通對低通和高通對帶通和帶阻對帶通和帶阻l根據頻率響應函數求出根據頻率響應函數求出)n(hd2/ )(stpc 2/ )(, 2/ )(111222stpstp FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法l由過渡帶寬及阻帶最小衰減的要求，選由過渡帶寬及阻帶最小衰減的要求，選定窗的形狀及定窗的形狀及N的大小。的大小。l求得所設計的濾波器的單位抽樣響應求得所設計的濾波器的單位抽樣響應l檢驗是否滿足設計要求，如不滿足，則檢驗是否滿足設計要求，如不滿足，則需重新設計。需重新設計。Chapter726)n(w)n(h)n(hdFIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法通帶最大衰減、

14、阻帶最小衰減與波紋通帶最大衰減、阻帶最小衰減與波紋的關系的關系Chapter727)1/(lg20)(/ )(lg20)1/()1lg(20)(/ )(lg20maxmax HHAHHRstsppFIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法例例 用窗函數設計一個第一類線性相位高用窗函數設計一個第一類線性相位高通濾波器，其通帶截止頻率通濾波器，其通帶截止頻率 ，通帶衰減通帶衰減 ，過渡帶寬，過渡帶寬 ，阻帶最小衰減阻帶最小衰減解解 窗函數法的通帶和阻帶波紋是一樣的窗函數法的通帶和阻帶波紋是一樣的，由題中阻帶衰減對應的通帶衰減，由題中阻帶衰減對應的通帶衰減0.055dB小于題中的通帶衰減，

15、因此小于題中的通帶衰減，因此設計時直接采用所給的阻帶衰減設計時直接采用所給的阻帶衰減Chapter728 4 . 0 pdBRp1 . 0 3 . 0 dBAs50 FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法1）截止頻率）截止頻率2）求窗函數）求窗函數由阻帶衰減，可選海明窗由阻帶衰減，可選海明窗N=20，取，取N=21Chapter729 25. 022 ppstpcN 6 . 63 . 0 FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法例例 設計一個線性相位設計一個線性相位FIR帶阻濾波器，帶阻濾波器，其下阻帶截止頻率為其下阻帶截止頻率為，上阻帶，上阻帶截止頻率為截止頻率為

16、，通帶下截止頻，通帶下截止頻率為率為，通帶上截止頻率為，通帶上截止頻率為，阻帶最小衰減為，阻帶最小衰減為50dB，抽，抽樣頻率為樣頻率為解解 1）數字頻率）數字頻率Chapter730Hzfst401 Hzfst602 Hzfp151 Hzfp802 Hzfs250 48. 0,32. 064. 0,12. 02121 ststppFIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法2）帶阻濾波器上下截止頻率）帶阻濾波器上下截止頻率3）確定窗函數）確定窗函數由阻帶衰減，可選布萊克曼窗由阻帶衰減，可選布萊克曼窗過渡帶有兩個值過渡帶有兩個值取較小的一個取較小的一個Chapter731 22. 0,

17、56. 022111 stp 16. 0,2 . 02111 pst 16. 0),min(21 N 1116. 0 FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法線性相位微分器和希爾伯特變換器的線性相位微分器和希爾伯特變換器的設計設計l線性相位微分器設計線性相位微分器設計輸出是輸入連續信號的導數的抽樣值輸出是輸入連續信號的導數的抽樣值理想的離散時間微分器理想的離散時間微分器Chapter732 其它其它0)(TjjH TjHjd)e (0,sincos)(2 nnnnnnhd FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法理想的線性相位離散時間微分器理想的線性相位離散時間微分器C

18、hapter733 jjdejH)e ( 21021)()(sin)(cos)(2NnNnnnnnnhd 為偶數為偶數NnwNnnhNn),()2/ )1()1()(22/1 為奇數為奇數NNnNnwNnnhNn 21021n)(2/ )1()1()(2/ )1(FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法l離散時間希爾伯特變換器設計離散時間希爾伯特變換器設計理想的離散希爾伯特變換器理想的離散希爾伯特變換器通過希爾伯特變換器，可得到解析信號通過希爾伯特變換器，可得到解析信號Chapter734 00)( jjeHjd evennoddnnnhd02)( )()()(njxnxnxir

19、000)(2)( jrjeXeX)( jdeH)(nxr)(nxiFIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法線性相位的理想離散希爾伯特變換器線性相位的理想離散希爾伯特變換器Chapter735 00)( jjjdjejeeH nnnnnhd0)()(cos(1)( 2/ )1(02/ )1()()2/ )1()2/ )1(cos(1)(NnNnnwNnNnnh FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法窗函數設計法中的主要問題窗函數設計法中的主要問題l計算中常用求和代替求積分，即將理想計算中常用求和代替求積分，即將理想頻響抽樣后通過頻響抽樣后通過FFT來計算來計算l所選窗函

20、數和窗口長度不一定滿足頻響所選窗函數和窗口長度不一定滿足頻響指標指標l不能準確控制通帶和阻帶的截止頻率不能準確控制通帶和阻帶的截止頻率l窗函數法的通帶、阻帶最大波紋相等，窗函數法的通帶、阻帶最大波紋相等，不能分別控制不能分別控制Chapter736FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter7373 頻率抽樣設計法頻率抽樣設計法算法原理算法原理對理想頻響在一個周期內進行等間隔采樣對理想頻響在一個周期內進行等間隔采樣1, 1 , 0,)(1)(10/2 NnekHNnhNkNknjd 1, 1 , 0| )e (H)k(HkjddN2 Nk 1101( )( )1N Nkk

21、NzH kH zNWz 因此因此 11(1)22202sin1()( )sinkNkNjjNNjkkNNH eeH keN FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter738l要求要求必須符合線性相位的約束條件必須符合線性相位的約束條件影響逼近誤差的因素影響逼近誤差的因素頻率抽樣的兩種方法頻率抽樣的兩種方法l第一種：第一個抽樣點在第一種：第一個抽樣點在 處。處。0 FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter739l第二種：第一個抽樣點在第二種：第一個抽樣點在 處。處。/N 2120( )( )()( )NjnjnkjNNddkNNnH kHkHeh

22、 n ee 1/2/01( )( )Nj n Njkn Nkh n eH k eN 1()11221022cos(/ 2)( )()sin()jkNNNjjkNNH k eH eeNjk FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter740l線性相位第一種頻率抽樣線性相位第一種頻率抽樣第一大類第一大類*( )()( )()( )()H kH NkH kHNkkNk )1()(nNhnh 1 2( )2NkkN h(n)是實數，是實數，so21()221()()210,1,( )2( )1,1()2NjkNNjNkNNkH k eH kNkNH Nk e N為奇數時為奇數時F

23、IRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter741N為偶數時為偶數時 1,),12(2)12(, 1 , 0)(0)()()21)(2)21(2NNkNkNkekNHekHkHNkNNjNkNj even:N)k(sin)k(N(sin)k(sin)k(N(sinN| )k(H|)(Nsin)(sin| )0(H|e)e (H11kN2N2N2N222Njj2N21N FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter742第二大類第二大類( )(1)h nh Nn 1 2( )22NkkN 21()2221()()2210,1,( )2( )1,1()2N

24、jkNNjNkNNkH k eH kNkNH Nk e N為奇數時為奇數時N為偶數時為偶數時21()2221()(0)220,1,(1)2( )( )(/ 2)2()(1),12NjkNNjNkNNkH k eNH kH NkNH Nk ekN (0)0H FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter743l線性相位第二種頻率抽樣線性相位第二種頻率抽樣第一大類第一大類)1()(nNhnh *( )(1)( )(1)( )(1)H kH NkH kHNkkNk h(n)是實數，是實數，so211()()22211()()2230,1,2( )1( )(1)/ 2)21(1)

25、,12NjkNNjNkNNkH k eNH kHNkNH Nk ekN N為奇數時為奇數時FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter744211()()22211()()220,1,1( )2( ),1(1)2NjkNNjNkNNkH k eH kNkNH Nk e N為偶數時為偶數時vene:N)(k(sin)(k(N(sin)(k(sin)(k(N(sinN| )k(H|e)e (H11k21N221N221N221N2jj2N21N FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter745頻率抽樣法的逼近誤差及改進方法頻率抽樣法的逼近誤差及改進方法

26、l逼近誤差逼近誤差l減少逼近誤差的方法減少逼近誤差的方法設置過渡帶，增加過渡帶抽樣點設置過渡帶，增加過渡帶抽樣點選擇合適的過渡帶抽樣值選擇合適的過渡帶抽樣值根據阻帶最小衰減，確定過渡帶抽樣點數根據阻帶最小衰減，確定過渡帶抽樣點數m根據過渡帶寬確定濾波器長度根據過渡帶寬確定濾波器長度2(1)Nm FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter746頻率抽樣法的設計步驟頻率抽樣法的設計步驟l根據阻帶最小衰減確定過渡帶抽樣點數根據阻帶最小衰減確定過渡帶抽樣點數l由過渡帶寬確定濾波器長度由過渡帶寬確定濾波器長度l對理想頻率特性進行采樣對理想頻率特性進行采樣l根據頻率采樣值得到設計的

27、濾波器的頻根據頻率采樣值得到設計的濾波器的頻率響應率響應l由濾波器的頻率響應檢驗濾波器的阻帶由濾波器的頻率響應檢驗濾波器的阻帶衰減是否滿足要求，如不滿足，則要調衰減是否滿足要求，如不滿足，則要調整過渡帶采樣點的大小或增加過渡帶抽整過渡帶采樣點的大小或增加過渡帶抽樣點數樣點數FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法過渡帶抽樣點數過渡帶抽樣點數m與阻帶最小衰減與阻帶最小衰減 的經驗數據的經驗數據例例 用第一種和第二種頻率抽樣法設計一用第一種和第二種頻率抽樣法設計一個線性個線性FIR低通濾波器，要求低通濾波器，要求h(n)偶對偶對稱，理想的通帶截止頻率為稱，理想的通帶截止頻率為 ， 允許

28、過渡帶允許過渡帶 ，阻帶衰減，阻帶衰減 Chapter747sAm0123 (dB)1620405460758095sA 33. 0 p 1 . 0 dBAs40 FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法解解：根據阻帶衰減，過渡帶抽樣點數取：根據阻帶衰減，過渡帶抽樣點數取m=1根據過渡帶抽樣點數和過渡帶寬確定濾波器根據過渡帶抽樣點數和過渡帶寬確定濾波器長度長度1）用第一種頻率抽樣法）用第一種頻率抽樣法Chapter74840/ )1(2 mN 33. 02 pkkN76k0 k，過渡帶取，過渡帶取通帶取通帶取391343373288760388. 00388. 0)()()(403

29、9403940394039 NkNkNkkkeeeekHkNjkNjkjkj FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法2）用第二種頻率抽樣法）用第二種頻率抽樣法Chapter749 33. 02 pkkNN327176k0 Nkk及及過渡帶取過渡帶取，通帶取通帶取3913332713181876034. 0034. 0)()()()()(214039214039214039214039 NkNkNkkkeeeekHkNjkNjkjkj FIRFIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法Chapter7504 設計線性相位設計線性相位FIR濾波器的最優化方法濾波器的最優化方法均方誤差最小準則均方誤差最小準則要求的頻率響應要求的頻率響應 設計的頻率響應設計的頻率響應頻率響應誤差頻率響應誤差均方誤差均方誤差選擇一組選擇一組，使得，使得 最小最小矩形窗設計的結果滿足最小均方誤差準則矩形窗設計的結果滿足最小均方誤差準則()jdHe ()j