1、5 5. .3 3平面向量的數量積與平面平面向量的數量積與平面 向量的應用向量的應用知識梳理-2-知識梳理雙基自測23416571.平面向量的數量積(1)定義:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為,則數量|a|b|cos 叫做a與b的數量積(或內積),記作ab,即ab=,規定零向量與任一向量的數量積為0,即0a=0.(2)幾何意義:數量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積.8|a|b|cos 知識梳理-3-知識梳理雙基自測23416572.平面向量數量積的性質及其坐標表示 設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),為向量a,b的夾角.(1)數量積:ab=|a|

2、b|cos = .8x1x2+y1y2 知識梳理-4-知識梳理雙基自測2341657(5)已知兩非零向量a與b,abab=0;abab=|a|b|.(6)|ab|a|b|(當且僅當ab時等號成立),即8x1x2+y1y2=0 知識梳理-5-知識梳理雙基自測23416573.平面向量數量積的運算律(1)ab=ba(交換律).(2)ab=(ab)=a(b)(結合律).(3)(a+b)c=ac+bc(分配律).8知識梳理-6-知識梳理雙基自測23416574.平面向量數量積運算的常用公式(1)(a+b)(a-b)=a2-b2.(2)(ab)2=a22ab+b2.8知識梳理-7-知識梳理雙基自測234

3、16578知識梳理-8-知識梳理雙基自測23416576.向量在三角函數中的應用對于向量與三角函數結合的題目,其解題思路是用向量運算進行轉化,化歸為三角函數問題或三角恒等變形等問題或解三角形問題.8知識梳理-9-知識梳理雙基自測23416577.向量在解析幾何中的應用向量在解析幾何中的應用,主要是以向量的數量積給出一種條件,通過向量轉化,進而利用直線和圓錐曲線的位置關系等相關知識來解答.8知識梳理-10-知識梳理雙基自測234165788.向量在物理中的應用物理學中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解、合成與向量的加減法相似,因此可以用向量的知識來解決某些物理問題;物理學中的功是一個標量,是力

4、F與位移s的數量積,即W=(為F與s的夾角).|F|s|cos 知識梳理2-11-知識梳理雙基自測34151.下列結論正確的打“”,錯誤的打“”.(1)一個向量在另一個向量方向上的投影為數量,且有正有負. ()(2)若ab0,則a和b的夾角為銳角;若ab0,則a和b的夾角為鈍角. ()(3)若ab=0,則必有ab. ()(4)(ab)c=a(bc). ()(5)若ab=ac(a0),則b=c. () 答案 答案關閉(1)(2)(3)(4)(5)(6) 知識梳理-12-知識梳理雙基自測234152.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,則m=()A.-8B.-6C.6D.8

5、答案解析解析關閉由題意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)b,得43+(m-2)(-2)=0,解得m=8,故選D. 答案解析關閉D 知識梳理-13-知識梳理雙基自測23415A.30 B.45 C.60D.120 答案解析解析關閉 答案解析關閉知識梳理-14-知識梳理雙基自測234154.已知向量a,b的夾角為60,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=. 答案解析解析關閉 答案解析關閉知識梳理-15-知識梳理雙基自測23415 答案解析解析關閉 答案解析關閉-16-考點1考點2考點3B -17-考點1考點2考點3思考求向量數量積的運算有幾種形式? -18-考點1考點2考點3解析：

6、(1)法一(基向量法): -19-考點1考點2考點3法二(坐標法):建立如圖所示的平面直角坐標系,-20-考點1考點2考點3-21-考點1考點2考點3解題心得1.求兩個向量的數量積有三種方法:(1)當已知向量的模和夾角時,利用定義求解,即ab=|a|b|cos (其中是向量a與b的夾角).(2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.(3)利用數量積的幾何意義.數量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積.2.解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時,可利用向量的加減運算或數量積的運算律化簡.但一定要

7、注意向量的夾角與已知平面角的關系是相等還是互補.-22-考點1考點2考點3A.-15 B.-9C.-6 D.0(3)(2018寧夏銀川模擬)已知|a|=1,|b|= ,且a(a-b),則向量a在向量b方向上的投影為. -23-考點1考點2考點3解析:(1)以C為原點,CB為x軸正半軸,建立坐標系,則B(3,0). -24-考點1考點2考點3-25-考點1考點2考點3(2)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?-26-考點1考點2考點3-27-考點1考點2考點3-28-考點1考點2考點3解題心得1.求向量

8、的模的方法:的運算轉化為數量積運算;(2)幾何法,先利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(或范圍)的方法:(1)求函數最值法,把所求向量的模表示成某個變量的函數再求;(2)數形結合法,弄清所求的模表示的幾何意義,結合動點表示的圖形求解.-29-考點1考點2考點3 答案 答案關閉-30-考點1考點2考點3-31-考點1考點2考點3-32-考點1考點2考點3考向一求平面向量的夾角 思考兩個向量數量積的正負與兩個向量的夾角有怎樣的關系? A 120 -33-考點1考點2考點3-34-考點1考點2考點3考向二求參數的值或范圍 思考兩個向量的垂

9、直與其數量積有何關系? 答案解析解析關閉 答案解析關閉-35-考點1考點2考點3考向三在三角函數中的應用例5已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)記f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.思考利用向量求解三角函數問題的一般思路是什么?-36-考點1考點2考點3-37-考點1考點2考點3 答案 答案關閉5 -38-考點1考點2考點3解析：由點P在雙曲線的右支上及雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a.又3|PF1|=4|PF2|,解得|PF1|=8a,|PF2|=6a.-39-考點1考點2考點3解題心得1.數量積大于0說明不共線的兩個向量的夾角為銳角,數量積等于0說明不共線的兩個向量的夾角為直角,數量積小于0說明不共線的兩個向量的夾角為鈍角.2.若a,b為非零向量,則abab=0.3.解決與向量有關的三角函數問題的一般思路是應用轉化與化歸的數學思想,即通過向量的相關運算把問題轉化為三角函數問題.4.向量在解析幾何中的作用:(1)載體作用:解決向量在解析幾何中的問題時關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”,導出曲線上點的坐標之間的關系,從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.(2)工具作用:利用數量積與共線定理可解決垂直、平行問題.特別地,向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析