1、-高等數學-第一章函數、極限、連續函數是微積分的研究對象，極限是微積分的理論基礎，而連續性是可導性與可積性的重要條件。它們是每年必考的內容之一。第一節數列極限與函數極限【大綱內容】數列極限與函數極限的定義以及它們的性質；函數的左極限與右極限；無窮小和無窮大的概念及其關系；無窮小的性質及無窮小的比較；極限的四則運算；極限存在的兩個準則；單調有界準則和夾逼準則；兩個重要極限：；洛必達（）法則。【大綱要求】理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關系；掌握極限的性質及四則運算法則；掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限；掌握利用兩個重要極限求極限的方法；理解無

2、窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限；掌握用洛必達（）法則求未定式極限的方法。【考點分析】數列極限的考點主要包括：定義的理解，極限運算法則的理解，單調有界準則和夾逼準則求極限，利用定積分的定義求和式的極限等等。函數極限的考點主要包括：用洛必達法則求未定式的極限，由已知極限求未知極限，極限中的參數問題，無窮小量階的比較等等。一、數列的極限1.數列的極限無窮多個數按一定順序排成一列：稱為數列，記為數列，其中稱為數列的一般項或通項。設有數列 和常數A。若對任意給定的，總存在自然數，當n>N時，恒有，則稱常數A為數列的極限，或稱數列收斂于A，記為或。沒有極限的數列稱為發

3、散數列。收斂數列必為有界數列，其極限存在且唯一。2.極限存在準則（1）定理（夾逼定理）設在的某空心鄰域內恒有，且有， 則極限存在，且等于A .注對其他極限過程及數列極限，有類似結論. （2）定理：單調有界數列必有極限. 3.重要結論：（1）若，則，其中為任意常數。（2）。（3）。【考點一】（1）單調有界數列必有極限. （2）單調遞增且有上界的數列必有極限，單調遞增且無上界的數列的極限為.（3）單調遞減且有下界的數列必有極限，單調遞減且無下界的數列的極限為.【評注】（1）在應用【考點一】進行證明時，有些題目中關于單調性與有界性的證明有先后次序之分，需要及時進行調整證明次序。（2）判定數列的單調性

4、主要有三種方法：計算. 若，則單調遞增；若，則單調遞減。當時，計算. 若，則單調遞增；若，則單調遞減。令，將n改為x，得到函數。若可導，則當時，單調遞增；當時，單調遞減。【例1·證明題】設數列滿足證明數列的極限存在并求極限.【答疑編號911010101】1.X0>0X0>0 ,假設 Xn>0 , n2 Xn>0 , 假設成立 Xn>0 , , n1 ，n1 時 Xn+1Xn 且令，因為，由極限的保號性知令n， a2=2【例2·證明題】設f（x）是區間上單調減少且非負的連續函數，證明數列的極限存在。【答疑編號911010102】例2 f（x）且

5、f（x）0 f（x） 又 f（x）00 0an0 ， 且an+1an 存在【考點二】（夾逼準則）設有正整數，當時，且，則.【評注】在使用夾逼準則時，需要對通項進行“縮小”和“放大”，要注意：“縮小”應該是盡可能地大，而“放大”應該是盡可能地小，在這種情況下，如果仍然“夾”不住，那么就說明夾逼準則不適用于這個題目，要改用其他方法。【例3·計算題】計算極限：【答疑編號911010103】例3 SinX0 ,根據積分的不等式定理若在a ，b f（x）g（x），則。 令n0 0 0（取右端點） （取左端點）【考點三】用定積分的定義計算和式的極限：由定積分的定義知，當連續時，有， 【例4

6、83;計算題】求下列極限：【答疑編號911010104】【例5·選擇題】等于（）【答疑編號911010105】【考點四】設，則。也就是說，將數列中的正整數改為連續變量，令，則數列的極限等于相應的函數的極限。綜合題也很重要。 【例6·解答題】設在x=0某鄰域內可導，且.求極限.【答疑編號911010201】6. f（0）=1 ，f（0）=2 令 1 再利用重要極限 【例7·選擇題】設, 則極限等于（）【答疑編號911010202】 而 【例8·證明題】設，證明：（1）對于任何自然數n，方程在區間中僅有一根。（2）設【答疑編號911010203】要證:有根令

7、 （1）令，至少存在使F（xn）=0 F（x）在嚴格單減則F（xn）=0 且 xn 唯一8.（2） 在內在上嚴格單減二、函數的極限【考點五】也就是說，函數極限存在且等于A的充分必要條件是，左極限與右極限都存在，并且都等于A。 【評注】在求極限時，如果函數中包含或項，則立即討論左右極限和，再根據【考點五】判斷雙側極限是否存在。【例9·解答題】確定常數a的值，使極限存在。【答疑編號911010204】不存在 X<0X0 , x>0令a=3-a【考點六】使用洛必達（）法則求型未定式的極限之前，一定要將所求極限盡可能地化簡。化簡的主要方法：（1）首先用等價無窮小進行代換。注意：等

8、價無窮小代換只能在極限的乘除運算中使用，而不能在極限的加減運算中使用，但在極限的加減運算中高階無窮小可以略去；（2）將極限值不為零的因子先求極限；（3）利用變量代換（通常是作倒代換，令）（4）恒等變形：通過因式分解或根式有理化消去零因子，將分式函數拆項、合并或通分達到化簡的目的。（5）常見的等價無窮小代換：當X0時，我們有：未定式極限： ， 0×1 ，00 ，0【例10·解答題】求極限.【答疑編號911010205】x0,xln（2cosx）ln3 【例11·解答題】求極限【答疑編號911010206】解： x0 ln（1+x）x 【例12·解答題】設函

9、數f（x）在x=0處可微，又設，函數，求極限【答疑編號911010207】 【考點七】求型未定式極限的方法： （1）分子、分母同時除以最大的無窮大 （2）使用洛必達（ ）法則【例13·解答題】求極限 .【答疑編號911010301】13.【考點八】化和型未定式為型和型的方法是： （1）通分法（2）提因子法（3）變量代換法，0×【例14·解答題】求極限.【答疑編號911010302】14.（，-）x0 ,（1+x）2-12x【例14】求極限.【例15·解答題】求極限：【答疑編號911010303】 【例16·解答題】求極限 .【答疑編號91101

10、0304】【例17·解答題】求極限.【答疑編號911010305】17. 【考點九】（1）求冪指函數型不定式的極限，常用“換底法”或“用e抬起法”，化為型后再使用洛必達法則，即（2）計算型極限的最簡單方法是使用如下的 型極限計算公式：。推導如下（為簡便，略去自變量 ）： 【例18·解答題】（北京大學，2002年）求極限.【答疑編號911010306】【例19·解答題】計算.【答疑編號911010307】19.（1）當a1時，19.當0a1時【考點十】（1）已知 ，則有：（2）已知 ，若 ，則 .【評注】在已知函數的極限求未知的參數問題時，【考點十】是主要的分析問題

11、與解決問題的方法。若且則【例20·解答題】設 ，則.【答疑編號911010401】【例21·選擇題】設為兩實常數，且有，則的值分別為（）【答疑編號911010402】（A），（B） ， （C），（D），【考點十一】在已知條件或欲證結論中涉及到無窮小量階的比較的話，則“不管三七二十一”，先用無窮小量階的比較的定義處理一下再說。【評注】無窮小量階的比較，是一個重要考點。其主要方法是將兩個無窮小量相除取極限，再由定義比較階的高低。設是同一過程下的兩個無窮小，即。若若 則稱是比低階的無窮小；若若則稱與是等價無窮小。若C0,0,則稱是的階無窮小。【例22·解答題】已知當時，

12、與是等價無窮小，與是等價無窮小，求常數和。【答疑編號911010403】 （k0） 【例23·選擇題】當時，和都是關于的n階無窮小量，而是關于的m階無窮小，則（）。【答疑編號911010404】 （A）必有m=n（B）必有 （C）必有（D）以上幾種情況都有可能若則時，是的n階無窮小量；若A+B=0則時，是比還高階的無窮小； 【例24·證明題】設函數f（x）在x=0的某鄰域內具有二階連續導數，且，。證明：存在唯一的一組實數，使得當時，是比高階的無窮小。【答疑編號911010405】證明方程組有唯一解 第二節 函數的連續性【考點分析】主要考點包括：函數連續的充要條件，間斷點的類

13、型及其判斷，閉區間連續函數的性質定理及其應用等。一、函數的連續性與間斷點.函數連續性概念連續：定義1設函數在點的某鄰域內有定義，若，則稱函數在點處連續，并稱為連續點。定義2若函數在點的某個左（右）鄰域內有定義，并且，則稱函數在點處左（右）連續。顯然，函數在點處連續的充要條件是在點既左連續又右連續。定義3函數在開區間內連續，是指在內每點都連續；在閉區間上連續，是指在開區間內連續，并且在左端點處右連續，在右端點處左連續。使函數連續的區間，稱為的連續區間。.函數的間斷點及其分類定義函數不連續的點稱為函數的間斷點，即在點處有下列三種情況之一出現：（1）在點附近函數有定義，但在點無定義；（2）不存在；（

14、3）與都存在，但，則稱在點處不連續，或稱為函數的間斷點。 間斷點的分類：設為函數的間斷點，間斷點的分類是以點的左、右極限來劃分的。 第一類間斷點：若與都存在，則稱為第一類間斷點： （1）若，則稱為跳躍型間斷點，并稱為點的跳躍度； （2）若存在（即=），則稱為可去間斷點。此時，當在無定義時，可以補充定義，則在連續；當存在，但時，可以改變在的定義，定義極限值為該點函數值，則在連續。 第二類間斷點：若與中至少有一個不存在，則稱為第二類間斷點，其中若與中至少有一個為無窮大，則稱為無窮型間斷點；否則稱為擺動型間斷點。【例25·解答題】設函數 問a為何值時，在x=0處連續；a為何值時，x=0是的

15、可去間斷點？【答疑編號911010501】在處連續【例26·解答題】設，其中試求的表達式，并求函數在間斷點處的左、右極限。【答疑編號911010502】 由于 【例27·解答題】試確定和的值，使有無窮間斷點，且有可去間斷點.【答疑編號911010503】二、閉區間上連續函數的性質定理定理1:（有界性定理） 閉區間a,b上的連續函數 必在a,b上有界。定理2:（最大值最小值定理） 閉區間a,b上的函數，必在a,b上有最大值和最小值，即在a,b上，至少存在兩點 ，使得對a,b上的一切x，恒有.此處與就是 在a,b上最小值與最大值。定理3:（介值定理） 設函數在閉區間a,b連續，m與M分別為 在a,b上的最小值與最大值，則對于任一實數c（mcM），至少存在一點，使。定理4: