1、不等式選講(選修45)-2-3-4-5-6-1.絕對值三角不等式絕對值三角不等式(1)定理定理1:假設(shè)假設(shè)a,b是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù),那么那么|a+b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab0時時,等號等號成立成立;(2)性質(zhì)性質(zhì):|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理定理2:假設(shè)假設(shè)a,b,c是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù),那么那么|a-c|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時時,等號成立等號成立.-7-2.絕對值不等式的解法絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式含絕對值的不等式|x|a(a0)的解法的解法:|x|a-axaxa或或x0)和和|ax+b|c(c0)型不等式的解法型不等式的

2、解法:|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|cax+bc或或ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法型不等式的解法:利用絕對值不等式的幾何意義求解利用絕對值不等式的幾何意義求解,表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想;利用利用“零點(diǎn)分段法求解零點(diǎn)分段法求解,表達(dá)了分類討論的思想表達(dá)了分類討論的思想.通過構(gòu)造函數(shù)通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解利用函數(shù)的圖象求解,表達(dá)了函數(shù)與方程的思表達(dá)了函數(shù)與方程的思想想.-8-3.根本不等式根本不等式定理定理1:設(shè)設(shè)a,bR,那么那么a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時時,等號成立等號

3、成立.-9-4.不等式的證明方法不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等放縮法等.(1)比較法比較法:求差比較法求差比較法,求商比較法求商比較法.求差比較法求差比較法:由于由于aba-b0,aba-bb,只只要證明要證明a-b0即可即可.(2)分析法:從待證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直到將待證不等式歸結(jié)為一個已成立的不等式(條件、定理等).(3)綜合法:從條件出發(fā),利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理,經(jīng)過推理論證,推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,即“由因?qū)す姆椒?這種證明不等式的方法稱為綜合法.-1

4、0-5.柯西不等式 -11-考向一考向二考向三考向四解絕對值不等式、求參數(shù)范圍解絕對值不等式、求參數(shù)范圍解題策略一別離參數(shù)法求參數(shù)范圍解題策略一別離參數(shù)法求參數(shù)范圍例例1函數(shù)函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式求不等式f(x)1的解集的解集;(2)假設(shè)不等式假設(shè)不等式f(x)x2-x+m的解集非空的解集非空,求求m的取值范圍的取值范圍.當(dāng)x2時,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1.-12-考向一考向二考向三考向四(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x. 解題心得1.解含有兩個以上絕對值符號的不等式,一般解法是零點(diǎn)分段法.即令各個絕對值

5、式子等于0,求出各自零點(diǎn),把零點(diǎn)在數(shù)軸上從小到大排列,然后按零點(diǎn)分?jǐn)?shù)軸形成的各區(qū)間去絕對值,進(jìn)而將絕對值不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式.2.在不等式恒成立的情況下,求參數(shù)的取值范圍,可以采取別離參數(shù),通過求對應(yīng)函數(shù)最值的方法獲得.-13-考向一考向二考向三考向四對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練1函數(shù)函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|(m0).(1)當(dāng)當(dāng)m=1時時,解不等式解不等式f(x)3;(2)當(dāng)當(dāng)xm,2m2時時,不等式不等式 f(x)|x+1|恒成立恒成立,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)m的取的取值范圍值范圍.解:(1)m=1時,f(x)=|x+1|+|2x-1|, f(x)3,解得x-1或x1. -14-考向一考向二考向三

6、考向四-15-考向一考向二考向三考向四解題策略二求函數(shù)最值構(gòu)造不等式求參數(shù)范圍解題策略二求函數(shù)最值構(gòu)造不等式求參數(shù)范圍例例2函數(shù)函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當(dāng)當(dāng)a=1時時,求不等式求不等式f(x)g(x)的解集的解集;(2)假設(shè)不等式假設(shè)不等式f(x)g(x)的解集包含的解集包含-1,1,求求a的取值范圍的取值范圍.解:(1)當(dāng)a=1時,不等式f(x)g(x)等價于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.當(dāng)xa恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina無解f(x)maxa;f(x)0,

7、b0,a3+b3=2.證明證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3所以(a+b)38,因此a+b2. -19-考向一考向二考向三考向四解題心得不等式證明的常用方法是:比較法、綜合法與分析法.其中運(yùn)用綜合法證明不等式時,主要是運(yùn)用根本不等式證明,與絕對值有關(guān)的不等式證明常用絕對值三角不等式.證明過程中一方面要注意不等式成立的條件,另一方面要善于對式子進(jìn)展恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形.-20-考向一

8、考向二考向三考向四對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練3設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明: -21-考向一考向二考向三考向四(2)假設(shè)|a-b|c-d|,那么(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.因?yàn)閍+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|0,b0,函數(shù)函數(shù)f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值為的最小值為1.(1)求證求證:2a+b=2;(2)假設(shè)假設(shè)a+2btab恒成立恒成立,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)t的最大值的最大值.-25-考向一考向二考向三考向四(2)解:a+2btab恒成立, -26-考向一考向二考向

9、三考向四解題策略二解題策略二利用柯西不等式求最值利用柯西不等式求最值-27-考向一考向二考向三考向四解題心得利用柯西不等式求最值時,一定要滿足柯西不等式的形式.-28-考向一考向二考向三考向四對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練5(2021江蘇江蘇,21D)假設(shè)假設(shè)x,y,z為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù),且且x+2y+2z=6,求求x2+y2+z2的最小值的最小值.解:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)(x+2y+2z)2.因?yàn)閤+2y+2z=6,所以x2+y2+z24,所以x2+y2+z2的最小值為4. -29-考向一考向二考向三考向四絕對值三角不等式的絕對值三角不等式的應(yīng)用應(yīng)用(1)證明f(x)2;(2)假設(shè)f(3)0, 所以f(x)2. -30-考向一考向二考向三考向四解題心得絕對值三角不等式、根本不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問題中有著重要的應(yīng)用,無論運(yùn)用絕對值三角不等式還是運(yùn)用根本不等式時應(yīng)注意等號成立的條件.-31-考向一考向二考向三考向四對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練6f(x)=|x-a|+|x-3|.(1)當(dāng)當(dāng)a=1時時,求求f(x)的最小值的最小值;(2)假設(shè)不等式假設(shè)不等式f(x)3