1、2019 年湖南沙市中考數學試卷一、選擇題（本題共 12 小題，每題 3 分，共 36 分）1（3 分）下列各數中，比3 小的數是（）A5B1C0D12（3 分）根據長沙市電網供電能力提升三年行動計劃，明確到 2020 年，長沙電網建設改造投資規模達到元，確保安全供用電需求數據用科學記數法表示為（）A15×109B1.5×109C1.5×1010D0.15×10113（3 分）下列計算正確的是（）B（a3）2a6D（a+b）2a2+b2A3a+2b5abCa6÷a3a24（3 分）下列中，是必然的是（）A一張，B射擊運動員射擊一次，命中靶心C經

2、過有交通信號燈的路口，遇到紅燈D任意畫一個三角形，其內角和是 180°5（3 分）如圖，平行線 AB，CD 被直線 AE 所截，180°，則2 的度數是（）A80°B90°C100°D110°6（3 分）某個幾何體的三視圖，該幾何體是（）第1頁（共23頁）ABC7（3 分）在慶祝D的校園歌唱比賽中，11 名參賽同學的成績各不相同，成立 70按照成績取前 5 名進入決賽如果小明知道了的比賽成績，要能否進入決賽，小明需要知道這 11 名同學成績的（）A平均數B中位數C眾數D方差8（3 分）一個扇形的半徑為 6，圓心角為 120°

3、，則該扇形的面積是（）A2B4C12D249（3 分）如圖，RtABC 中，C90°，B30°，分別以點 A 和點 B 為圓心，大于 AB的長為半徑作弧，兩弧相交于 M、N 兩點，作直線 MN，交 BC 于點 D，連接 AD，則CAD 的度數是（）A20°B30°C45°D60°10（3 分）如圖，一艘輪船從位于燈塔 C 的北偏東 60°方向，距離燈塔 60n的小島 A出發，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔 C 的南偏東 45°方向上的 B 處，這時輪船 B 與小島 A 的距離是（）第2頁（共23頁）A30n

4、B60nC120nD（30+30）n11（3 分）孫子算經是中國傳統數學的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長、繩子還剩余 4.5 尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余 1尺，問木頭長多少尺？可設木頭長為 x 尺，繩子長為 y 尺，則所列方程組正確的是（）ABCD12（3 分）如圖，ABC 中，ABAC10，tanA2，BEAC 于點 E，D 是線段 BE 上的一個動點，則 CD+BD 的最小值是（）A2B4C5D10二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分）13（3 分

5、）式子在實數范圍內有意義，則實數 x 的取值范圍是3 分）分解因式：am29a14（15（3 分）不等式組的解集是16（3 分）在一個不透明的袋子中有若干個小球，這些球除顏色外無其他差別，從袋中隨機摸出一球，記下其顏色，這稱為一次摸球試驗，然后把它重新放回袋中并搖勻，不斷第3頁（共23頁）重復上述過程以下是利用計算機模擬的摸球試驗統計表：根據試驗所得數據，估計“摸出黑球”的概率是 （結果保留小數點后一位）17（3 分）如圖，要測量池塘相對的 A，B 兩點間的距離，可以在池塘外選一點 C，連接 AC，BC，分別取 AC，BC 的中點 D，E，測得 DE50m，則 AB 的長是m18（3 分）如圖

6、，函數 y （k 為常數，k0）的圖象與過原點的 O 的直線相交于 A，B兩點，點 M 是第一象限內雙曲線上的動點（點 M 在點 A 的左側），直線 AM 分別交 x 軸，y 軸于 C，D 兩點，連接 BM 分別交 x 軸，y 軸于點 E，F現有以下四個結論：ODM 與OCA 的面積相等；若 BMAM 于點 M，則MBA30°；若 M 點的橫坐標為 1，OAM 為等邊三角形，則 k2+；若 MF MB，則 MD2MA其中正確的結論的序號是 （只填序號）第4頁（共23頁）摸球實驗次數100100050001000050000100000“摸出黑球”的次數3638720194009199

7、7040008“摸出黑 球”的頻率（結果保留小數點后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400三、解答題（本大題共 8 個小題，第 19、20 題每題 6 分，第 21、22 題每題 8 分，第 23、24 題每題 9 分，第 25、26 題每題 10 分，共 66 分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或驗算步驟）|+（ ）119（6 分）計算：|÷2cos60°20（6 分）先化簡，再求值：（）÷，其中 a321（8 分）某學校開展了主題為“分類，綠色生活新時尚”的宣傳活動為了解學生對分類知識的掌握情況，該校環保社團成員在校園內隨機抽取

8、了部分學生進行問卷，將他們的得分按優秀、良好、待四個等級進行統計，并繪制了如下不完整的統計表和條形統計圖第5頁（共23頁）等級頻數頻率優秀2142%良好m40%6n%待36%（1）本次隨機抽取了名學生；表中 m，n；（2）補全條形統計圖；（3）若全校有 2000 名學生，請你估計該校掌握分類知識達到“優秀”和“良好”等級的學生共有多少人22（8 分）如圖，正方形 ABCD，點 E，F 分別在 AD，CD 上，且 DECF，AF 與 BE 相交于點 G（1）求證：BEAF；（2）若 AB4，DE1，求 AG 的長23（9 分）近日，長沙市教育局出臺長沙市中小學教師志愿輔導工作實施意見，鼓勵教師參

9、與志愿輔導，某區率先示范，推出名師公益大課堂，為學生提供線上線下輔導，據統計，第一批公益課受益學生 2 萬人次，第三批公益課受益學生 2.42 萬人次（1）如果第二批，第三批公益課受益學生人次的增長率相同，求這個增長率；（2）按照這個增長率，預計第四批公益課受益學生將達到多少萬人次？24（9 分）根據相似多邊形的定義，我們把四個角分別相等，四條邊成比例的兩個凸四邊形叫做相似四邊形相似四邊形對應邊的比叫做相似比（1）某同學在探究相似四邊形的判定時，得到如下三個命題，請它們是否正確（直接在橫線上填”或“假”）四條邊成比例的兩個凸四邊形相似；（ 命題）三個角分別相等的兩個凸四邊形相似；（ 命題）兩個

10、大小不同的正方形相似（ 命題）（2）如圖 1，在四邊形 ABCD 和四邊形 A1B1C1D1 中，ABCA1B1C1，BCDB1C1D1，求證：四邊形 ABCD 與四邊形 A1B1C1D1 相似（3）如圖 2，四邊形 ABCD 中，ABCD，AC 與 BD 相交于點 O，過點 O 作 EFAB 分別交 AD，BC 于點 E，F記四邊形 ABFE 的面積為 S1，四邊形 EFCD 的面積為 S2，若第6頁（共23頁）四邊形 ABFE 與四邊形 EFCD 相似，求的值25（10 分）已知拋物線 y2x2+（b2）x+（c2020）（b，c 為常數）（1）若拋物線的頂點坐標為（1，1），求 b，c

11、的值；（2）若拋物線上始終存在不重合的兩點關于原點對稱，求 c 的取值范圍；（3）在（1）的條件下，存在正實數 m，n（mn），當 mxn 時，恰好，求 m，n 的值26（10 分）如圖，拋物線 yax2+6ax（a 為常數，a0）與 x 軸交于 O，A 兩點，點 B 為拋物線的頂點，點 D 的坐標為（t，0）（3t0），連接 BD 并延長與過 O，A，B 三點的P 相交于點 C（1）求點 A 的坐標；（2）過點 C 作P 的切線 CE 交 x 軸于點 E如圖 1，求證：CEDE；如圖 2，連接 AC，BE，BO，當 a，CAEOBE 時，求的值第7頁（共23頁）2019 年湖南沙市中考數學試

12、卷參考與試題一、1A【分析】有理數大小比較的法則：正數都大于 0；負數都小于 0；正數大于一切負數；兩個負數，絕對值大的其值反而小，據此即可【解答】解：53101，所以比3 小的數是5，故選：A【點評】此題主要考查了有理數大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：正數都大于 0；負數都小于 0；正數大于一切負數；兩個負數，絕對值大的其值反而小2C【分析】科學記數法的表示形式為 a×10n 的形式，其中 1|a|10，n 為整數確定 n的值時，要看把原數變成 a 時，小數點移動了多少位，n 的絕對值與小數點移動的位數相同當原數絕對值1 時，n 是正數；當原數的絕對值1 時，n

13、 是負數用科學記數法表示為 1.5×1010【解答】解：數據故選：C【點評】此題考查科學記數法的表示方法科學記數法的表示形式為 a×10n 的形式，其中 1|a|10，n 為整數，表示時關鍵要正確確定 a 的值以及 n 的值3B【分析】分別根據合并同類項的法則、同底數冪的除法法則、冪的乘方法則以及完全平方公式解答即可【解答】解：A、3a 與 2b 不是同類項，故不能合并，故選項 A 不合題意；B、（a3）2a6，故選項 B 符合題意；C、a6÷a3a3，故選項 C 不符合題意；D、（a+b）2a2+2ab+b2，故選項 D 不合題意 故選：B第8頁（共23頁）【點

14、評】本題主要考查了冪的運算性質、合并同類項的法則以及完全平方公式，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵4D【分析】先能肯定它一定會發生的稱為必然，事先能肯定它一定發生的事件稱為不可能，必然和不可能都是確定的【解答】解：A一張，屬于隨機，不合題意；B射擊運動員射擊一次，命中靶心，屬于隨機，不合題意；C經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈，屬于隨機，不合題意；D任意畫一個三角形，其內角和是 180°，屬于必然，符合題意；故選：D【點評】本題主要考查了必然，事先能肯定它一定會發生的稱為必然5C【分析】直接利用鄰補角的定義結合平行線的性質得出【解答】解：180°，3100°，AB

15、CD，23100°故選：C【點評】此題主要考查了平行線的性質以及鄰補角的定義，正確掌握平行線的性質是解題關鍵6D【分析】根據幾何體的三視圖即可【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為圓錐故選：D【點評】考查了由三視圖幾何體的知識，解題的關鍵是具有較強的空間想象能力，難度不大第9頁（共23頁）7B【分析】由于比賽取前 5 名參加決賽，共有 11 名選手參加，根據中位數的意義分析即可【解答】解：11 個不同的成績按從小到大排序后，中位數及中位數之后的共有 6 個數，故只要知道的成績和中位數就可以知道是否進入決賽了故選：B【點評】本題考查了中位數意題的關鍵是正確的求出這組數據的中位數8C【分析

16、】根據扇形的面積公式 S計算即可【解答】解：S12，故選：C【點評】本題考查的是扇形面積的計算，掌握扇形的面積公式 S是解題的關鍵9B【分析】根據內角和定理求得BAC60°，由中垂線性質知 DADB，即DABB30°，從而得出【解答】解：在ABC 中，B30°，C90°，BAC180°BC60°，由作圖可知 MN 為 AB 的中垂線，DADB，DABB30°，CADBACDAB30°，故選：B【點評】本題主要考查作圖基本作圖，熟練掌握中垂線的作圖和性質是解題的關鍵10D【分析】過點 C 作 CDAB，則在 RtAC

17、D 中易得 AD 的長，再在直角BCD 中求出 BD，相加可得 AB 的長【解答】解：過 C 作 CDAB 于 D 點，ACD30°，BCD45°，AC60在 RtACD 中，cosACD，第10頁（共23頁）CDACcosACD60×30在 RtDCB 中，BCDB45°，CDBD30，ABAD+BD30+30答：此時輪船所在的 B 處與燈塔 P 的距離是（30+30）n故選：D【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線11A【分析】根據題意可以列出相應的方程組，本題

18、得以解決【解答】解：由題意可得，故選：A【點評】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組12B【分析】如圖，作 DHAB 于 H，CMAB 于 M由 tanA2，設 AEa，BE2a，利用勾股定理構建方程求出 a，再證明 DHBD，推出 CD+BDCD+DH，由垂線段最短即可解決問題【解答】解：如圖，作 DHAB 于 H，CMAB 于 M第11頁（共23頁）BEAC，AEB90°，tanA2，設 AEa，BE2a，則有：100a2+4a2，a220，a2或2（舍棄），BE2a4，ABAC，BEAC，CMAB，CMBE4（等腰三角形兩腰上的高相

19、等）DBHABE，BHDBEA，sinDBH，DHBD，CD+BDCD+DH，CD+DHCM，CD+BD4，CD+BD 的最小值為 4故選：B【點評】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型二、13x5【分析】直接利用二次根式有意義的條件進而得出在實數范圍內有意義，則 x50，【解答】解：式子第12頁（共23頁）故實數 x 的取值范圍是：x5故為：x5【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握相關定義是解題關鍵14a（m+3）（m3）【分析】先提取公因式 a，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解

20、【解答】解：am29aa（m29）a（m+3）（m3）故為：a（m+3）（m3）【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止151x2【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：大小小大中間找，確定不等式組的解集【解答】解：解不等式得：x1，解不等式得：x2，不等式組的解集為：1x2，故為：1x2【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵16. 0.4【分析】大量重復試驗下摸球

21、的頻率可以估計摸球的概率，據此求解；【解答】觀察表格發現隨著摸球次數的增多頻率逐漸穩定在 0.4 附近，故摸到白球的頻率估計值為 0.4；故為：0.4【點評】本題考查了利用頻率估計概率的知識，解題的關鍵是了解大量重復試驗中某個發生的頻率能估計概率17. 100【分析】先出 DE 是ABC 的中位線，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等第13頁（共23頁）于第三邊的一半可得 AB2DE，問題得解【解答】解：點 D，E 分別是 AC，BC 的中點，DE 是ABC 的中位線，AB2DE2×50100 米故為：100【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理

22、并準確識圖是解題的關鍵18【分析】設點 A（m， ），M（n， ），構建一次函數求出 C，D 坐標，利用三角形的面積公式計算即可OMA 不一定是等邊三角形，故結論不一定成立設 M（1，k），由OAM 為等邊三角形，推出 OAOMAM，可得 1+k2m2+，推出 mk，根據 OMAM，構建方程求出 k 即可如圖，作 MKOD 交 OA 于 K利用平行線分線段成比例定理解決問題即可【解答】解：設點 A（m，），M（n， ），則直線 AC 的式為 yx+ + ，C（m+n，0），D（0，），SODMn×，SOCA（m+n）× ，ODM 與OCA 的面積相等，故正確；反比例函數與正

23、比例函數關于原點對稱，O 是 AB 的中點，BMAM，OMOA，kmn，A（m，n），M（n，m），AM（nm），OM，AM 不一定等于 OM，第14頁（共23頁）BAM 不一定是 60°，MBA 不一定是 30°故錯誤，M 點的橫坐標為 1，可以假設 M（1，k），OAM 為等邊三角形，OAOMAM，1+k2m2+，m0，k0，mk，OMAM，（1m）2+1+k2，k24k+10，k2，m1，k2+，故正確，如圖，作 MKOD 交 OA 于 KOFMK， ， ，OAOB， ， ，KMOD，2，DM2AM，故正確故為第15頁（共23頁）【點評】本題考查反比例函數與一次函數的

24、交點問題，三角形的面積，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，學會構造平行線，利用平行線分線段成比例定理解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題三、19解：原式+22×+211【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍20解：原式，當 a3 時，原式 【點評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵21解：（1）本次隨機抽取了 21÷42%50 名學生，m50

25、5;40%20，n×10012，故為：50，20，12；（2）補全條形統計圖；（3）2000×1640 人，答：該校掌握分類知識達到“優秀”和“良好”等級的學生共有 1640 人第16頁（共23頁）【點評】本題考查的是條形統計圖，讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據22（1）證明：四邊形 ABCD 是正方形，BAEADF90°，ABADCD，DECF，AEDF，在BAE 和ADF 中，BAEADF（SAS），BEAF；（2）解：由（1）得：BAEADF，EBAFAD，GAE+AEG90°，AGE90&

26、#176;，AB4，DE1，AE3，BE5，在 RtABE 中，AB×AE BE×AG，AG【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、正方形的性質、勾股定理以及三角形面積公式；熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵23解：（1）設增長率為 x，根據題意，得第17頁（共23頁）2（1+x）22.42，解得 x12.1（舍去），x20.110%答：增長率為 10%（2）2.42（1+0.1）2.662（萬人）答：第四批公益課受益學生將達到 2.662 萬人次【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方

27、程，再求解24 （1）解：四條邊成比例的兩個凸四邊形相似，是假命題，角不一定相等三個角分別相等的兩個凸四邊形相似，是假命題，邊不一定成比例兩個大小不同的正方形相似是真命題故為假，假，真（2）證明：如圖 1 中，連接 BD，B1D1BCDB1C1D1，且，BCDB1C1D1，CDBC1D1B1，C1B1D1CBD，ABCA1B1C1，ABDA1B1D1，ABDA1B1D1，AA1，ADBA1D1B1，第18頁（共23頁），ADCA1D1C1，AA1，ABCA1B1C1，BCDB1C1D1，四邊形 ABCD 與四邊形 A1B1C1D1 相似（3）如圖 2 中，四邊形 ABCD 與四邊形 EFCD

28、相似，EFOE+OF，EFABCD，+，ADDE+AE，2AEDE+AE，AEDE，1【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，相似多邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題25【分析】（1）利用拋物線的頂點坐標和二次函數式 y2x2+（b2）x+（c2020）第19頁（共23頁）可知，y2（x1）2+1，易得 b、c 的值；（2）設拋物線線上關于原點對稱且不重合的兩點坐標分別是（x0，y0），（x0，y0），2代入函數式，經過化簡得到 c2x0，易得 c2020；（3）由題意知，拋物線為 y2x2+4x12（x1）2+1，則 y1利用不等式的性質推知：，易得 1mn由二次函數圖象的性質得到：當 xm 時，y 最大值2m2+4m1當 xn 時，y 最小值2n2+4n1所以 2m2+4m1， 2n2+4n1 通過解方程求得 m、n 的值【解答】