1、國土信息與測繪工程系 教案（首頁） 班級： 課程：誤差理論與測量平差 授課日期： 年 月 日 第 周 A.提出問題，導(dǎo)入新課 觀測必然有誤差，衡量觀測數(shù)據(jù)精度的指標(biāo)有：方差和協(xié)方差、平均誤差、或然誤差、相對誤差、限差等概念外，還有權(quán)、協(xié)因素（權(quán)倒數(shù)） 本次課程的內(nèi)容：權(quán)與定權(quán)的常用方法、協(xié)因素傳播定律。B.授課章節(jié)名稱： §3.4 權(quán)與定權(quán)的常用方法，§3.5 協(xié)因素傳播定律 教學(xué)要點(diǎn)： 1、權(quán)和協(xié)因素的基本概念 2、協(xié)因素和協(xié)因素陣傳播定律重點(diǎn)： 1、權(quán)、確定權(quán)的常用方法 2、單位權(quán)方差難點(diǎn)：1、權(quán)和方差的關(guān)系、單位權(quán)方差的作用 2、權(quán)陣、方差陣、協(xié)因素陣的關(guān)系C.教學(xué)過

2、程設(shè)計(jì)權(quán)的概念單位權(quán)方差和單位權(quán)中誤差確定權(quán)常用的方法協(xié)因素和協(xié)因素陣的基本概念協(xié)因素和協(xié)因素陣的傳播定律一些需要注意的問題課堂習(xí)題作業(yè)題布置第六講同學(xué)們,我們上一節(jié)課學(xué)習(xí)了誤差傳播定律在大地測量具體問題中的一些應(yīng)用，例如：菲列羅公式、算術(shù)中數(shù)的中誤差、水準(zhǔn)測量高差的中誤差、三角高程測量的中誤差、若干獨(dú)立誤差聯(lián)合影響的中誤差、限差的確定、交會點(diǎn)的精度等。 本次課將學(xué)習(xí)誤差理論的另一個(gè)重要內(nèi)容：權(quán)、協(xié)因素和協(xié)因素傳播定律。§3.4 權(quán)與定權(quán)的常用方法一定的測量條件對應(yīng)著一定的誤差分布，而一定的誤差分布對應(yīng)著一個(gè)確定的方差。在實(shí)際測量中可通過各觀測值方差之間的比例關(guān)系來表征精度，這就是權(quán)

3、的概念。一、權(quán)的定義 設(shè)有一系列觀測值，它們的方差是，如果選定任意常數(shù)，則觀測值的權(quán)定義為：， 根據(jù)權(quán)的定義，可知各觀測值權(quán)之間的比例關(guān)系是：可見，對于一組觀測值，其權(quán)之比等于相應(yīng)方差的倒數(shù)之比，這表明方差越小其權(quán)約大，或者說精度越高其權(quán)越大。因此，權(quán)可以作為比較觀測值之間的精度高低的一種指標(biāo)。 就普遍情況而言，權(quán)定義中的方差，可以是同一個(gè)量的不同次觀測的精度，也可以是不同量的觀測值的精度。就是說，用權(quán)來比較各觀測值之間的精度高低，不限于是對同一個(gè)量的觀測值，同樣也適用于對不同量的觀測值。注意：1、選定了一個(gè)值，即有一組對應(yīng)的權(quán)。或者說，有一組權(quán)，比有一個(gè)對應(yīng)的值。2、一組觀測值的權(quán)，其大小與

4、有關(guān)，但權(quán)之間的比例關(guān)系與無關(guān)。3、在同一個(gè)問題中只能選定一個(gè)值。二、單位權(quán)方差（中誤差） 從權(quán)的定義可以看出，只是起到一個(gè)比例常數(shù)的作用；不同，各個(gè)觀測值的權(quán)的數(shù)值不同，但觀測值權(quán)之間的比例不變。一旦選定，它還有具體的含義。【例子】設(shè)有三個(gè)觀測值、和，其中誤差是、和。求各個(gè)觀測值的權(quán)。 解：根據(jù)權(quán)的定義有：，因?yàn)楸壤?shù)是任意選定的，故可以得出許多不同的權(quán)。例如我們選取、等，可得相應(yīng)權(quán)如下取時(shí)：，取時(shí)：，取時(shí)：，取時(shí)：，但不論如何選取，總是當(dāng)取時(shí)，觀測值的權(quán)是1，實(shí)際上就是以觀測值的精度作為標(biāo)準(zhǔn)，其它的觀測值精度都是和它進(jìn)行比較。當(dāng)取時(shí)，觀測值的權(quán)是1，實(shí)際上就是以觀測值的精度作為標(biāo)準(zhǔn)，其它

5、的觀測值精度都是和它進(jìn)行比較，等等。因此，通常稱為單位權(quán)中誤差，而稱為單位權(quán)方差，把權(quán)等于1的觀測值稱為單位權(quán)觀測值。三、測量中確定權(quán)的基本方法 在實(shí)際測量工作中，往往是要根據(jù)事先給定的條件，先確定出各觀測值的權(quán)，也就是先確定它們精度的相對數(shù)值指標(biāo)，然后通過平差計(jì)算，一方面求出各觀測值的最可靠值，另一方面求出它們精度的絕對數(shù)字指標(biāo)。下面根據(jù)權(quán)的定義和測量中經(jīng)常遇到的幾種情況，導(dǎo)出其實(shí)用的定權(quán)公式。 （1）算術(shù)中數(shù)的權(quán) 設(shè)對某個(gè)物理量等精度地觀測了次，即，若每一次觀測的精度是，權(quán)為。求算術(shù)中數(shù)的權(quán)？ 解：由于算術(shù)中數(shù)是其方差是根據(jù)權(quán)的定義有，所以算術(shù)中數(shù)的權(quán)是等精度觀測值的權(quán)的倍。 （2）水準(zhǔn)測

6、量的權(quán) 水準(zhǔn)測量中，設(shè)水準(zhǔn)路線長為的高差的權(quán)是，中誤差是；并設(shè)水準(zhǔn)路線長為的高差的權(quán)是1，單位權(quán)中誤差是。當(dāng)單位距離水準(zhǔn)測量所得高差的中誤差均為時(shí)，有，這樣可得路線長為的高差的權(quán)是所以水準(zhǔn)測量中高差的權(quán)與路線長成反比。（3）三角高程測量的權(quán) 在三角高程測量中，設(shè)兩三角點(diǎn)間的距離為的高差的權(quán)是，中誤差是；并設(shè)距離為的高差的權(quán)是1，單位權(quán)中誤差是。當(dāng)垂直角的觀測中誤差為時(shí)，有，這樣可得距離為時(shí)三角高程測量高差的權(quán)是所以三角高程測量高差的權(quán)與距離的平方成反比。§3.5協(xié)因素（權(quán)倒數(shù)）和協(xié)因素傳播定律權(quán)是一種比較觀測值之間精度高低的指標(biāo)，當(dāng)然，也可以用權(quán)來比較各個(gè)觀測值函數(shù)之間的精度。因此，

7、同方差傳播定律一樣，也存在根據(jù)觀測值的權(quán)來求觀測值函數(shù)權(quán)的問題。一、協(xié)因素與協(xié)因素陣設(shè)有一系列觀測值，它們的方差是，互協(xié)方差是，即觀測值向量的協(xié)方差陣是在此令，；，其中是選定的任意常數(shù)，則稱是觀測值的協(xié)因素（權(quán)倒數(shù)），是觀測值和的互協(xié)因素（互相關(guān)權(quán)倒數(shù)），是觀測值和的相關(guān)權(quán)。 這樣觀測值向量的協(xié)方差陣可表示為則稱是觀測值向量的協(xié)因素陣。可見協(xié)方差陣和協(xié)因素陣的關(guān)系是：同時(shí)又稱是觀測值向量的權(quán)陣。 【特別注意】觀測值向量的權(quán)陣不是由觀測值的權(quán)和相關(guān)權(quán)組成的矩陣，即：但是當(dāng)時(shí)，即觀測值互不相關(guān)時(shí)，有二、協(xié)因素傳播定律 由協(xié)因素和協(xié)因素陣的定義可知，協(xié)因素陣和協(xié)方差陣的關(guān)系只是相差一個(gè)比例常數(shù)；而且

8、觀測向量協(xié)因素陣的對角線元素是相應(yīng)的權(quán)倒數(shù)。因此，有了協(xié)因素和協(xié)因素陣的概念，根據(jù)方差傳播定律，可以方便地得到由觀測向量的協(xié)因素陣求其函數(shù)的協(xié)因素陣的計(jì)算公式，從而得到了函數(shù)的權(quán)。設(shè)有觀測值，已知它的協(xié)因素陣是又設(shè)有的函數(shù)和，即，下面求和的協(xié)因素陣和互協(xié)因素陣，和。假定觀測值的協(xié)方差陣是，按照方差傳播定律有，由于協(xié)因素陣和協(xié)方差陣的關(guān)系是，所以有，這就是線性函數(shù)的協(xié)因素（或協(xié)因素陣）傳播定律，也稱之為權(quán)逆陣傳播定律。在形式上與協(xié)方差陣傳播定律相同，所以將協(xié)方差陣傳播定律和協(xié)因素陣傳播定律合稱為廣義傳播定律。 如果和的各個(gè)分量是的非線性函數(shù)，可先求出和的全微分，即，則可得到和的協(xié)因素陣和互協(xié)因素

9、陣，和。【例1】設(shè)有獨(dú)立觀測值，假定各的權(quán)是。設(shè)有函數(shù)，求函數(shù)的權(quán)。 解：假定獨(dú)立觀測值的協(xié)方差陣是所以觀測值的協(xié)因素陣是對函數(shù)進(jìn)行全微分有展開后寫成純量的形式有這就是權(quán)倒數(shù)傳播定律。【例2】已知獨(dú)立觀測值中各的權(quán)是。求算術(shù)中數(shù)的權(quán)。 解：根據(jù)權(quán)倒數(shù)傳播定律有所以即算術(shù)中數(shù)的權(quán)是觀測值權(quán)的倍。【例3】已知獨(dú)立觀測值的權(quán)是。求加權(quán)平均值的權(quán)。 解：根據(jù)權(quán)倒數(shù)傳播定律有所以即加權(quán)平均值的權(quán)是所有觀測值權(quán)的和。【例4】已知觀測值向量和的協(xié)因素陣是、和互協(xié)因素陣是，設(shè)有函數(shù)向量和。試求和的互協(xié)因素陣。解：令觀測向量為，其協(xié)因素陣就是。而函數(shù)向量可寫為：，根據(jù)協(xié)因素傳播定律有【例5】已知觀測值向量的協(xié)因

10、素陣是，又設(shè)其中是對稱可逆陣。求和的協(xié)因素陣和互協(xié)因素陣。解：首先求出函數(shù)向量的協(xié)因素陣再把和表示為的函數(shù)，即，這樣有習(xí)題41設(shè)三角形三個(gè)內(nèi)角的中誤差是、，取為單位權(quán)中誤差，試求各角的權(quán)。2某角以每測回中誤差為的精度測量了9次，其平均值的權(quán)為1。試求單位權(quán)中誤差。3三角形中有兩個(gè)角利用同一經(jīng)緯儀測量了2回，每一測回的中誤差是；若第三個(gè)角利用另一臺經(jīng)緯儀測量，每測回的中誤差是。問第三角應(yīng)當(dāng)測量幾次才能與第一和第二角的權(quán)相等。4水準(zhǔn)路線長450米，其高差之權(quán)是4，若使得高差的權(quán)為1，路線長應(yīng)當(dāng)為多少？5三角高程測量中，已知8公里高差的權(quán)是1，則4公里高差的權(quán)是多少？6三角形中，A角測了3次，B角測了2次，若每一測回的權(quán)是1。求C角的權(quán)。7已知、的權(quán)分別是、，求函數(shù)的權(quán)。8設(shè)、的權(quán)均為，求函數(shù)的權(quán)9已知，的權(quán)為，求、的權(quán)和。1