1、高等數學下冊知識點第八章 空間解析幾何與向量代數(一)向量線性運算定理1:設向量az0,則向量b平行于a的充要條件是存在唯一的實數 入，b=入a1、線性運算：加減法、數乘；2、空間直角坐標系：坐標軸、坐標面、卦限，向量的坐標分解式；3、 利用坐標做向量的運算：設a = ( ax , ay , az ) , b = (bx，by ,bz)；則 a - b = (ax - bx ,ay - by ,az - bz), a = ( ax , ay , az)；4、向量的模、方向角、投影：1) 向量的模：卜Jx2 + y2 + z2 ；I2222)兩點間的距離公式：AB| = p(x2-xJ +(y2

2、-yj +(Z2-zj3)方向角：非零向量與三個坐標軸的正向的夾角 ：；，4)方向余弦:COS：xyzN-,COSP -,COSf -Nrrr5)投影：PJua= a cos® ,其中為向量a與U的夾角(二)數量積，向量積1、數量積：a b = |a | b cos日1) a a = a2) a 一 b 二 a b = 02、向量積：C = a b大小：| a |b sin日，方向：a,b,c符合右手規則1) a a = 02) a / b = a b = 0運算律：反交換律 b a二- a b(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S : f (x, y, zp 02、旋轉曲面：yo

3、z 面上曲線 C : f (y, z)二 0，繞y軸旋轉一周：f (y,- PX z2) = 0繞 z 軸旋轉一周：f (- Jx2 y2 , zp 03、柱面:F(x,y) = F (x, y)二0表示母線平行于z軸，準線為I z = 04、 二次曲面0的柱面1)橢圓錐面:2xa2z2x22）橢球面：孑b2旋轉橢球面：a2zc23)單葉雙曲面:2X2ab22z_2c4)雙葉雙曲面:2X2ab22z"2c5)橢圓拋物面:2X2a6)雙曲拋物面（馬鞍面）7)橢圓柱面:2X2a8)雙曲柱面:9)拋物柱面:2X2a2X（四）空間曲線及其方程1、b22Xa2b2b2b2ayF(X, y,z)

4、般方程:G(x,y,z)a cos t/丄I2、參數方程：y二y（t），如螺旋線： y = asin tz = z（t）z 二 bt3、空間曲線在坐標面上的投影F（x, y,z） = 0（一 c，消去z ，得到曲線在面xoy上的投影G（x, y, z） = 0H （x,y）二 0z 二 0（五）平面及其方程1、 點法式方程：A（x - X。） B（y - y。） C （z - z。）= 0法向量：n = （A,B,C），過點（x°, y°, z°）2、一般式方程：Ax By Cz0截距式方程：xyz =abc3、 兩平面的夾角：m = （A,Bi,CJ， &

5、; = （A?, B2G），4、點 P0（X0,y°,Z0）到平面 Ax By Cz D 二 0 的距離:（六）空間直線及其方程1、一般式方程:A1xB1 yC1z D 0A2xB2y C2z D2 = 02、對稱式（點向式）方程： 、二丿0.三二0方向向量：s 二(m,n, p)，過點(x0, y0, z0)x 二 x0 mtI3、參數式方程：y = yo 'ntZ 二 Z°pt4、 兩直線的夾角：s - (mi,ni, pi) , $ = (me, P2),5、直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角，第九章多元函數微分法及其應用(一) 基本概念1、距離，

6、鄰域，內點，外點，邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區域，閉區域，有界集，無界集。2、 多元函數：(1)定義：設n維空間內的點集D是R2的一個非空子集， 稱映射f: DIR為定義在D上的n元函數。當n2時，稱為多元函數。記 為U=f (Xi, X2, ，Xn) , ( Xi , X2, ,Xn) Do3、 二次函數的幾何意義：由點集 D所形成的一張曲面。如z=ax+by+c的 圖形為一張平面，而z=x2+y2的圖形是旋轉拋物線。4、極限：(1)定義：設二元函數f(p)=f(x,y) 的定義域D,p0(x0,y0)是D 的聚點D,如果存在函數A對于任意給定的正數£ ,總存在正數3 ,使

7、得當點 p (x,y ) DAU( p0, 3)時，都有 I f(p)-A I = I f(x,y)-A I<e 成立，那 么就稱常數A為函數f(x,y)當(x,y)宀(x 0,y 0)時的極限，記作多元函數的連續性與不連續的定義5、 有界閉合區域上二元連續函數的性質：(1)在有界閉區域D上的多元連續函數，必定在 D上有界，且能取得它的最大值和最小值；(2)在有界區域D上的多元連續函數必取得介于最大值和最小值之間的 任何值6、偏導數：設有二元函數z=f(x,y)，點(xo,y。)是其定義域D內一點。把 y固定在y0而讓x在x0有增量(,相應地函數z=f(x,y)有增量(稱為對x/y的偏增

8、量)如果:與/ 之比當(0/ f 0時的極限存在，那么此極限值稱為函數z=f(x,y)在(x0,y0)處對x/y的偏導數記作fx(X0，y0)=馭。f(x。 x, y。)- f(x。，y。)也x7、混合偏導數定理：如果函數的兩個二姐混合偏導數fxy(x,y)和f yx(x,y)在D內連續，那么在該區域內這兩個二姐混合偏導數必相等。C f C fc f& 方向導數：COS：COS -其中:為I的方向角。c i c xc y9、全微分：如果函數z=f(x, y) 在(x, y)處的全增量 &=f(x , y%)-f(x,y)可以表示為:二A&+B%+o( p，其中A、B不依

9、賴于 ,僅與x,y有關，當PTD,此時稱函數z=f(x, y)在點(x, y)處可微分，A&+ B稱為函數z=f(x, y)在點(x, y)處的全微分，記為(二) 性質1、函數可微，偏導連續，偏導存在，函數連續等概念之間的關系:微分法偏導數存在3必要條件41)定義:2)復合函數求導：鏈式法則z f (u,v),u 二 u(x,y),v 二v(x, y),-:zz :u :z v :z : zL、L、L、：u z v+X ： U x v ： X '： y ： u3）隱函數求導：兩邊求偏導，然后解方程（組）（三）應用1、極值1）無條件極值：求函數z=f（x,y）的極值f0解方程組f

10、 = 0求出所有駐點，對于每一個駐點Ty 0(x°,y°)，令A=fxx(xo,y°)，B=fxy(x°,yo)，C = fyy(x°,yo)， 若AC - B20 , A 0，函數有極小值，若AC - B20 , A舟0，函數有極大值； 若AC - B2： 0，函數沒有極值； 若AC - B2 = 0，不定。2)條件極值：求函數z二f(x,y)在條件(x,y) = O下的極值令：L(x, y)二 f (x, y) (x, y) Lagrange 函數Lx = O解方程組 Ly = 0(x, y) 72、幾何應用1) 曲線的切線與法平面x =

11、x(t)曲線y = y(t)，則I上一點M (X0,y0,z。)(對應參數為t°)處的Z 二 z(t)切線方程為:X X。X(to)二 y 一 y° 二y (t。)Z- z0z(t。)X (to)(x - X。) y (to)( y - y。) Z (to)( z - z。)= 02) 曲面的切平面與法線z Z。曲面二：F (x, y, z)二0 ,貝上一點M(Xo,yo,Zo)處的切平面方程為:口x - x。y - y°法線方程為：Fx(x。，y°,z。)Fy(x°, y°, z°) Fz(x°, y°

12、, z°)第十章重積分（一）二重積分1、 定義：f（x,y）d；D2、性質：（6條）送k=1-u/kkaAkn3、幾何意義：曲頂柱體的體積4、計算：1）直角坐標D = (x, y)(x)D = (x, y)i(y)* 2(y) ?2）極坐標） 三重積分1、定義：2、性質：3、計算：1）直角坐標i"r；f (x,y,z)dv =n輒;j(k'k' k)50f (x, y,z)dz Z2(x,y)f (x,y,z)dv = dxdyDzi(x,y)b. f(x,y,z)dv 二 dz D f(x,y,z)dxdy “先二DZ亍_一 ”2) 柱面坐標x = : c

13、os 寸y = sin 二I，z 二 z111 f (x, y, z)d v !丨丨，f (' cos， sin, z)'d'dr dz3) 球面坐標(三)應用曲面 S: z = f (x, y), (x, y) D 的面積：第十二章無窮級數(一)常數項級數1、定義：O01)無窮級數：' u u1 u2 uunn=1n部分和：6八如二u1 U2Un，心QO正項級數：a Un，Un -0n =1QO交錯級數：v DS，Un _0n =4則稱級數a Un收斂，否則稱級數a Unn =1n=：12）級數收斂:若lim Sn = S存在，nj co7發散3）絕對收斂：送

14、片收斂，則送Un絕對收斂; n -1nd條件收斂：Un收斂，而Un發散，則Un條件收斂n =1n 丄n =1定理：若級數瓦Un|絕對收斂，則瓦片必定收斂。n 丄n =12、性質：1）級數的每一項同乘一個不為零的常數后，不影響級數的收斂性；O0OQO2） 級數V an與bn分別收斂于和s與，則' （an-bn）收斂且，其n Tn =1n P禾口為s+ （T3）在級數中任意加上、去掉或改變有限項，級數仍然收斂；4）級數收斂，任意對它的項加括號后所形成的級數仍收斂且其和不變。QO5） 必要條件：級數a Un收斂即limUn 7.nm3、審斂法正項級數：V Un , Un -0n=11）定義：

15、lim Sn二S存在；QO2）a Un收斂=S、有界;n T3）比較審斂法：a Un, a Vn為正項級數，且UVn （n=1,2,3）n =1n =1OOQO若v Vn收斂，則a Un收斂；若v叫發散，則V“發 n =1n=1n=1n=1m，當散4）比較法的推論:a Un ,Vn為正項級數，若存在正整數n Jn -1n m時，比空kVn,而v Vn收斂，貝y v Un收斂；若存在正整數 m ,n丄n丄當n m時，Un - kvn，而Vn發散，則v Un發散.n =1nV做題步驟：找比較級數（等比數列，調和數列，p級數1/np）;比較大小；是否收斂5)比較法的極限形式：設u心a Vn為正項級數

16、,n 二1(1)若limUnnVoOoO，而a Vn收斂，則Un收斂;n =1n -1(2)若limUnlimUnQOQO，而a Vn發散，則v Un發散.n dn T6)oO比值法：v Un為正項級數,n=1limUn 1QO"，則當l : 1時，級數a Unn=1收斂；則當I 1時，級數Un發散；當1=1時，級數Un可能收斂也可n =1n =1能發散.設吧，則當l 1時，級數UnCO7)根值法：Un為正項級數,n 二1收斂；則當I 1時，級數Un發散；當1=1時，級數Un可能收斂也可n =1n =1能發散."收斂，|q|<1發散，q - 1p -級數:1n7收斂，p 1發散，p8)極限審斂法：0為正項級數，若nim：n叮0或nimzn=，QO則級數a山發散；若存在p 1，使得lim np u = I (0乞I ：)，則級數 心foOv Un收斂