1、第三節 向量組的線性相關性分布圖示 線性相關與線性無關 例1 例2 證明線性無關的一種方法線性相關性的判定 定理1 定理2 例3 例4 例5 例6 定理3 定理4 定理5 例7 內容小結 課堂練習 習題3-3內容要點一、線性相關性概念定義1 給定向量組 如果存在不全為零的數 使 (1)則稱向量組線性相關, 否則稱為線性無關. 注: 當且僅當時，(1)式成立, 向量組線性無關; 包含零向量的任何向量組是線性相關的; 向量組只含有一個向量時，則（1）的充分必要條件是是線性無關的；（2）的充分必要條件是是線性相關的； 僅含兩個向量的向量組線性相關的充分必要條件是這兩個向量的對應分量成比例；反之，僅含

2、兩個向量的向量組線性無關的充分必要條件是這兩個向量的對應分量不成比例. 兩個向量線性相關的幾何意義是這兩個向量共線, 三個向量線性相關的幾何意義是這三個向量共面.二、線性相關性的判定定理1 向量組線性相關的充必要條件是向量組中至少有一個向量可由其余個向量線性表示.定理2 設有列向量組 則向量組線性相關的充要條件是: 是矩陣的秩小于向量的個數.推論1 個維列向量組線性無關（線性相關）的充要條件是: 矩陣 的秩等于（小于）向量的個數.推論2 個維列向量組線性無關（線性相關）的充要條件是:矩陣 的行列式不等于（等于）零.注: 上述結論對于矩陣的行向量組也同樣成立.推論3 當向量組中所含向量的個數大于

3、向量的維數時, 此向量組必線性相關.定理3 如果向量組中有一部分向量(部分組)線性相關，則整個向量組線性相關.推論4 線性無關的向量組中的任何一部分組皆線性無關.定理4 若向量組線性相關, 而向量組線性無關, 則向量可由線性表示且表示法唯一.定理5 設有兩向量組向量組B能由向量組A線性表示, 若, 則向量組B線性相關.推論5 向量組B能由向量組A線性表示, 若向量組B線性無關, 則推論6 設向量組A與B可以相互線性表示, 若A與B都是線性無關的, 則例題選講 例1 設有3個向量(列向量): 不難驗證 因此是3個線性相關的3維向量. 例2 設有二個2維向量: 如果他們線性相關, 那么存在不全為零

4、的數 使 也就是 即 于是 這同不全為零的假定是矛盾的. 因此,是線性無關的二個向量.例3 (E01) 維向量組稱為維單位坐標向量組, 討論其線性相關性.解 維單位坐標向量組構成的矩陣是階單位矩陣.由知即等于向量組中向量的個數, 故由推論2知此向量是線性無關的.例4 (E02) 已知 , 試討論向量組及的線性相關性. 解 對矩陣施行初等行變換成行階梯形矩，可同時看出矩陣及的秩，利用定理2即可得出結論.易見，故向量組線性相關. 向量組線性無關.例5 判斷下列向量組是否線性相關: 解 對矩陣施以初等行變換化為階梯形矩陣: 秩所以向量組線性相關.例6 證明：若向量組線性無關, 則向量組亦線性無關.證 設有一組數使 （1）成立，整理得由線性無關，故 （2）因為故方程組（2）僅有零解.即只有時（1）式才成立.因而向量組線性無關.例7 (E03) 設向量組線性相關, 向量組線性無關, 證明(1) 能由線性表示;(2) 不能由線性表示.證明（1）因線性無關，故線性無關，而線性相關，從而能由線性表示；（2）用反證法. 假設能由線性表示，而由（1）知能由線性表示，因此能由表示，這與線性無關矛盾.證畢.課堂練習1. 試證明:(1) 一個向量線性相關的充要條件是;(2) 一個