1、第12章 圖像的小波變換處理圖像的小波變換處理12.1 12.1 小波變換的基本概念小波變換的基本概念12.2 12.2 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換12.3 12.3 離散小波變換離散小波變換 （第一講）（第一講）信號分析：信號分析：獲得時間和頻率之間的相互關(guān)系。獲得時間和頻率之間的相互關(guān)系。傅立葉變換：傅立葉變換：提供頻率域的信息，但有關(guān)時提供頻率域的信息，但有關(guān)時間的局部化信息卻基本丟失。間的局部化信息卻基本丟失。小波變換：縮放小波變換：縮放母小波的寬度來獲得信號的母小波的寬度來獲得信號的頻率特征，頻率特征，平移平移母小波來獲得信號的時間信母小波來獲得信號的時間信息?？s放和平移操作是為了計算

2、小波系數(shù)，息?？s放和平移操作是為了計算小波系數(shù)，小波系數(shù)反映了小波和局部信號之間的相關(guān)小波系數(shù)反映了小波和局部信號之間的相關(guān)程度。程度。12.1 12.1 小波變換的基本概念小波變換的基本概念小波小波(Wavelet)(Wavelet)，“小波小波”就是小區(qū)域、就是小區(qū)域、長度有限、均值為長度有限、均值為0 0的波形。的波形。所謂所謂“小小”是指它具有是指它具有衰減性衰減性；而稱之；而稱之為為“波波”則是指它的則是指它的波動性波動性，其振幅正，其振幅正負相間的負相間的震蕩形式震蕩形式。小波變換的基本概念小波變換的基本概念墨西哥帽小波墨西哥帽小波離散小波變換將一幅圖象分解為大離散小波變換將一幅圖

3、象分解為大小，位置和方向都不同的分量。一小，位置和方向都不同的分量。一個圖像作小波分解后，可得到一系個圖像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，小波變換列不同分辨率的子圖像，小波變換正是沿著多分辨率這條線發(fā)展起來正是沿著多分辨率這條線發(fā)展起來的。的。一幅地圖的尺度是地域?qū)嶋H大小與一幅地圖的尺度是地域?qū)嶋H大小與它在地圖上表示的比值，地圖通常它在地圖上表示的比值，地圖通常以不同尺度來描述以不同尺度來描述. .小波變換的基本概念小波變換的基本概念小波變換進行圖像分解小波變換進行圖像分解與與FourierFourier變換相比變換相比: :小波變換是時間小波變換是時間( (空空間間) )頻率的

4、局部化分析，它通過頻率的局部化分析，它通過伸縮平移伸縮平移運算對信號運算對信號( (函數(shù)函數(shù)) )逐步進行逐步進行多尺度細化多尺度細化，最終達到最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細高頻處時間細分，低頻處頻率細分分，能自動適應(yīng)時頻信號分析的要求，從，能自動適應(yīng)時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意而可聚焦到信號的任意細節(jié)細節(jié)，解決了，解決了FourierFourier變換的困難問題，成為繼變換的困難問題，成為繼FourierFourier變換以來在科學(xué)方法上的重大突破。有人變換以來在科學(xué)方法上的重大突破。有人把小波變換稱為把小波變換稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡數(shù)學(xué)顯微鏡”。 小波變換的基本概念小波變換的

5、基本概念小波：小波：一類在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到一類在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到0 0的函的函數(shù)，平均值為數(shù)，平均值為0 0，小波趨于不規(guī)則、不對稱。，小波趨于不規(guī)則、不對稱。正弦波：正弦波：從負無窮一直延續(xù)到正無窮，平從負無窮一直延續(xù)到正無窮，平滑而且可預(yù)測的?；铱深A(yù)測的。小波和正弦波形狀看出：小波和正弦波形狀看出：變化劇烈的信號變化劇烈的信號用用不規(guī)則的小波分析比用平滑的正弦波更不規(guī)則的小波分析比用平滑的正弦波更好好，用小波更能描述信號的，用小波更能描述信號的局部局部特征。特征。小波變換的基本概念小波變換的基本概念(a )(b )連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet

6、TransformContinuous Wavelet Transform， CWTCWT）： dttpositionscaletfpositionscaleC),()(),(小波變換：小波變換：信號信號f(x)f(x)與被縮放和平移的小波與被縮放和平移的小波函數(shù)函數(shù)()()之積在信號存在的整個期間里求和之積在信號存在的整個期間里求和的結(jié)果。的結(jié)果。CWTCWT的變換結(jié)果是小波系數(shù)的變換結(jié)果是小波系數(shù)C C，這些，這些系數(shù)是縮放因子）和平移的函數(shù)。系數(shù)是縮放因子）和平移的函數(shù)。 小波變換的基本概念小波變換的基本概念dxxxffbaWbabaf)()(,),(,)(|1)(),(abxaxba2

7、),(0)(),(1)(adadbxbaWCxfbaf 一維連續(xù)一維連續(xù)小波變換小波變換一維連續(xù)小波變換一維連續(xù)小波變換一維連續(xù)小波一維連續(xù)小波逆逆變換變換墨西哥帽小波墨西哥帽小波)(1)(002/00000,nbtaaaanbxaxmmmmmnmdtnbtatfafCmmnmnm)()(,002/0,)2(2)(2/,kxxijkjdxkxxfxxfcjjkjkj)2()(2)(),(2/,一維離散一維離散小波變換小波變換二進小波變換二進小波變換dxdyyxyxfbbaWyxbbayxf),(),(),(, 3,0),(),(1),(adadbdbyxbbaWCyxfyxbbayxfyx 二

8、維連續(xù)二維連續(xù)小波變換小波變換二二維連續(xù)小波變換維連續(xù)小波變換二二維連續(xù)小波維連續(xù)小波逆逆變換變換縮放：縮放：壓縮或伸展基本小波，縮放系數(shù)越小，壓縮或伸展基本小波，縮放系數(shù)越小， 則小波越窄。則小波越窄。OOOf (t)f (t)f (t)tttf (t)(t)； scale 1f (t)(2t)； scale 0.5f (t)(4t)； scale 0.25小波變換小波變換-縮放縮放平移：平移：小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上，小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上， 函函數(shù)數(shù)f f( (t t) )延遲延遲k k的表達式為的表達式為f f( (t-kt-k) )。 (a) (a) 小波函數(shù)小波函數(shù)( (t

9、t) )； ( (b b) ) 位移后的小波函數(shù)位移后的小波函數(shù)( (t-kt-k) ) Ot(t)Ot(t k)(a)(b)小波變換小波變換-平移平移小波變換進行圖像分解小波變換進行圖像分解CWTCWT計算主要有如下計算主要有如下五個步驟五個步驟： 1)1)取一個小波，將其與原始信號的開始一節(jié)取一個小波，將其與原始信號的開始一節(jié)進行比較。進行比較。 2)2)計算數(shù)值計算數(shù)值C C，C C表示小波與所取一節(jié)信號的表示小波與所取一節(jié)信號的相似程度，計算結(jié)果取決于所選小波的形狀。相似程度，計算結(jié)果取決于所選小波的形狀。3)3)向右移動小波，重復(fù)第一步和第二步，直向右移動小波，重復(fù)第一步和第二步，直

10、至覆蓋整個信號。至覆蓋整個信號。4)4)伸展小波，重復(fù)第一步至第三步。伸展小波，重復(fù)第一步至第三步。 5)5)對于所有縮放，重復(fù)第一至第四步。對于所有縮放，重復(fù)第一至第四步。 小波變換小波變換步驟步驟小波的縮放因子與信號頻率之間的關(guān)系小波的縮放因子與信號頻率之間的關(guān)系：縮放因子縮放因子scalescale越小，表示小波越窄，越小，表示小波越窄，表示信號頻率越表示信號頻率越高高, ,度量的是信號的度量的是信號的細細節(jié)節(jié)變化；縮放因子變化；縮放因子scalescale越大，越大， 表示小表示小波越寬，表示信號頻率越波越寬，表示信號頻率越低低, ,度量的是度量的是信號的粗糙程度。信號的粗糙程度。小波

11、變換小波變換步驟步驟雙通道子帶編碼雙通道子帶編碼: :原始的輸入信號，通過兩原始的輸入信號，通過兩個互補的濾波器組。個互補的濾波器組。1 1）低通濾波器，通過該濾波器可得到信號）低通濾波器，通過該濾波器可得到信號的近似值的近似值A(chǔ) A；2 2）高通濾波器，通過該濾波器可得到信號）高通濾波器，通過該濾波器可得到信號的細節(jié)值的細節(jié)值D D。 小波變換小波變換SAD濾 波 器 組低 通高 通小波變換小波變換近似值近似值: :是大的縮放因子計算的系數(shù)，表示是大的縮放因子計算的系數(shù)，表示信號的低頻分量，信號的低頻分量，細節(jié)值細節(jié)值: :是小的縮放因子計算的系數(shù)，表示是小的縮放因子計算的系數(shù)，表示信號的高

12、頻分量。信號的高頻分量。實際應(yīng)用中，信號的低頻分量往往是最重實際應(yīng)用中，信號的低頻分量往往是最重要的，而高頻分量只起一個修飾的作用。要的，而高頻分量只起一個修飾的作用。小波變換小波變換小波變換小波變換: :可以表示成可以表示成由低通濾波器和高通由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹濾波器組成的一棵樹。原始信號經(jīng)過一對。原始信號經(jīng)過一對互補的濾波器互補的濾波器組進行的分解稱為一級分解，組進行的分解稱為一級分解，可以進行多級分解。可以進行多級分解。信號的多分辨率分析信號的多分辨率分析: :如果對信號的高頻分如果對信號的高頻分量量不再分解不再分解，而，而對低頻分量進行連續(xù)分解對低頻分量進行連續(xù)分解，就

13、可以得到信號不同分辨率下的低頻分量。就可以得到信號不同分辨率下的低頻分量。 小波變換小波變換A3D3A2D2SA1D1小波變換小波變換信號的多分辨率分析信號的多分辨率分析: :在每個縮放因子和平移參數(shù)下計算小波系在每個縮放因子和平移參數(shù)下計算小波系數(shù)，計算量大，數(shù)據(jù)多，還有許多無用數(shù)數(shù)，計算量大，數(shù)據(jù)多，還有許多無用數(shù)據(jù)。選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進行據(jù)。選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進行計算，會使分析的數(shù)據(jù)量減少。計算，會使分析的數(shù)據(jù)量減少。雙尺度小波變換雙尺度小波變換: :如果縮放因子和平移參數(shù)如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為都選擇為2j2j（j0j0且為整數(shù)）的且為整數(shù)）的倍數(shù)倍數(shù)，在每，

14、在每個通道內(nèi)（高通和低通通道）個通道內(nèi)（高通和低通通道）每兩個樣本每兩個樣本數(shù)據(jù)取一個數(shù)據(jù)取一個，可得離散小波變換的系數(shù)。，可得離散小波變換的系數(shù)。小波變換小波變換（DWTDWT）雙尺度雙尺度小波變換小波變換 小波分解：小波分解：具體實現(xiàn)過程可以分別設(shè)計具體實現(xiàn)過程可以分別設(shè)計高通濾波器和低通濾波器，得到高頻系數(shù)高通濾波器和低通濾波器，得到高頻系數(shù)和低頻系數(shù)，并且每分解一次數(shù)據(jù)的長度和低頻系數(shù)，并且每分解一次數(shù)據(jù)的長度減半。減半。 利用各層系數(shù)進行信號分解過程，是利用各層系數(shù)進行信號分解過程，是將信號通過一系列的不同類型的濾波器，將信號通過一系列的不同類型的濾波器，從而得到不同頻率范圍內(nèi)的信號

15、，及將信從而得到不同頻率范圍內(nèi)的信號，及將信號分解。號分解。 小波小波分解分解對應(yīng)于信號的多層小波分解：對應(yīng)于信號的多層小波分解：小波小波多層分解多層分解AAA3DAA3AA2SA1ADA3DDA3DA2AAD3DAD3AD2D1ADD3DDD3DD2小波重構(gòu)：小波重構(gòu)：利用信號的小波分解的系數(shù)還利用信號的小波分解的系數(shù)還原出原始信號（原出原始信號（IDWTIDWT）。）。為分分解的為分分解的逆過逆過程，先進行增采樣，及在每兩個數(shù)之間插程，先進行增采樣，及在每兩個數(shù)之間插入入一個一個0 0，與共軛濾波器卷積，最后對卷，與共軛濾波器卷積，最后對卷積結(jié)果求和。積結(jié)果求和。 小波小波重構(gòu)重構(gòu) 在應(yīng)用

16、程中，利用各層系數(shù)對信號在應(yīng)用程中，利用各層系數(shù)對信號進行重構(gòu)（注意雖然系數(shù)數(shù)少于原信號進行重構(gòu)（注意雖然系數(shù)數(shù)少于原信號點數(shù)，但是重構(gòu)后的長度是一樣的），點數(shù)，但是重構(gòu)后的長度是一樣的），從而可有選擇性地觀看每一頻段的時域從而可有選擇性地觀看每一頻段的時域波形，確定沖擊成分所在頻率范圍。波形，確定沖擊成分所在頻率范圍。小波小波重構(gòu)重構(gòu)二維離散小波變換：二維離散小波變換：是一維離散小波變換是一維離散小波變換的推廣，是將二維信號在不同尺度上的分的推廣，是將二維信號在不同尺度上的分解，得到原始信號的近似值和細節(jié)值。由解，得到原始信號的近似值和細節(jié)值。由于信號是二維的，因此分解也是二維的。于信號是二

17、維的，因此分解也是二維的。分解的結(jié)果為：分解的結(jié)果為：近似分量、水平細節(jié)分量、近似分量、水平細節(jié)分量、垂直細節(jié)分量和對角細節(jié)分量垂直細節(jié)分量和對角細節(jié)分量。二維離散二維離散小波變換小波變換LL2HL2HL1LH2HH2LH1HH1二維離散二維離散小波變換小波變換使用小波變換完成圖像分解的方法很多，使用小波變換完成圖像分解的方法很多，例如，均勻分解、非均勻分解、八帶分解、例如，均勻分解、非均勻分解、八帶分解、小波包分解等。小波包分解等。八帶分解：八帶分解：把低頻部分分解成比較窄的頻把低頻部分分解成比較窄的頻帶，而對每一級分解得到的帶，而對每一級分解得到的高頻部分不再高頻部分不再進一步進行分解。進

18、一步進行分解。用小波變換進行圖像分解用小波變換進行圖像分解小波變換進行圖像分解小波變換進行圖像分解 使用小波分析可以將原始信號分使用小波分析可以將原始信號分解為一系列的解為一系列的近似分量和細節(jié)分量近似分量和細節(jié)分量，信號的信號的噪聲噪聲主要集中表現(xiàn)在信號的主要集中表現(xiàn)在信號的細細節(jié)分量節(jié)分量上。使用一定的閾值處理細節(jié)上。使用一定的閾值處理細節(jié)分量后，再經(jīng)過小波重構(gòu)就可以得到分量后，再經(jīng)過小波重構(gòu)就可以得到平滑的信號。平滑的信號。小波去噪小波去噪方法：方法：硬門限：硬門限：當數(shù)據(jù)的絕對值小于給定的門當數(shù)據(jù)的絕對值小于給定的門限時限時, ,令其為零令其為零, ,而數(shù)據(jù)為其他值時不變。而數(shù)據(jù)為其他

19、值時不變。 軟門限軟門限: :當數(shù)據(jù)的絕對值小于給定的門當數(shù)據(jù)的絕對值小于給定的門限時限時, ,令其為零令其為零, ,然后把其他數(shù)據(jù)點向零然后把其他數(shù)據(jù)點向零收縮。收縮。小波去噪小波去噪圖像增強問題主要通過空域和頻域處理兩種方法。圖像增強問題主要通過空域和頻域處理兩種方法。空域法：空域法：方便快速，但會丟失很多點與點之間方便快速，但會丟失很多點與點之間的相關(guān)信息。的相關(guān)信息。頻域法：頻域法：詳細地分離出點之間的相關(guān)性，計算詳細地分離出點之間的相關(guān)性，計算量大?；谠紙D像尺度上所有點的變換，但量大?；谠紙D像尺度上所有點的變換，但對于問題本身的要求，不需要這么大的分辨率對于問題本身的要求，不

20、需要這么大的分辨率，而單純的空域分析又顯得太粗糙。，而單純的空域分析又顯得太粗糙。小波變換小波變換: :是一種時間尺度分析方法，而且是一種時間尺度分析方法，而且具有多分辨率的特點，在處理時所進行的是空具有多分辨率的特點，在處理時所進行的是空域和頻域的局部變換。域和頻域的局部變換。 小波去噪小波去噪小波變換不同于傅立葉變換，小波系數(shù)小波變換不同于傅立葉變換，小波系數(shù)于原始圖象存在著空間上的對應(yīng)關(guān)系，于原始圖象存在著空間上的對應(yīng)關(guān)系，因此對于濾波處理十分有利，通過了解因此對于濾波處理十分有利，通過了解小波系數(shù)的分布情況，利用不同的濾波小波系數(shù)的分布情況，利用不同的濾波器處理小波系數(shù)，經(jīng)過逆變換后可

21、以得器處理小波系數(shù)，經(jīng)過逆變換后可以得到理想的處理結(jié)果。到理想的處理結(jié)果。小波去噪小波去噪 一般的傅里葉算法，一般可以是一般的傅里葉算法，一般可以是IIRIIR濾波和濾波和FIRFIR濾波。兩者各有優(yōu)缺濾波。兩者各有優(yōu)缺點。而小波的消噪，一般也是由多層點。而小波的消噪，一般也是由多層分解和閾值策略組成。分解和閾值策略組成。 需要了解信號的特點，噪聲的需要了解信號的特點，噪聲的特點，然后確定用不用小波，或用什特點，然后確定用不用小波，或用什么小波。這點上，小波的優(yōu)勢并不是么小波。這點上，小波的優(yōu)勢并不是很明顯。很明顯。小波去噪小波去噪 壓縮壓縮是小波最大的優(yōu)勢。小波包是小波最大的優(yōu)勢。小波包是從

22、頻域上實現(xiàn)的。從時域上，我們是從頻域上實現(xiàn)的。從時域上，我們也可采用類似的分裂和并算法，來實也可采用類似的分裂和并算法，來實現(xiàn)信號最優(yōu)的表達?，F(xiàn)信號最優(yōu)的表達。 傅里葉變換的壓縮，已經(jīng)廣泛應(yīng)傅里葉變換的壓縮，已經(jīng)廣泛應(yīng)用了。簡化版本就是用了。簡化版本就是DCTDCT變換。而小波變換。而小波包的提出，也就使包的提出，也就使DCTDCT有些相形見拙。有些相形見拙。小波壓縮小波壓縮傅里葉變換傅里葉變換：用正弦函數(shù)的和來表示用正弦函數(shù)的和來表示，只在只在頻域頻域上是局部的上是局部的短時傅里葉變換短時傅里葉變換 (STFT) (STFT)也是時域和頻域也是時域和頻域都局部化的都局部化的. .但有些頻率和

23、時間的分辨率但有些頻率和時間的分辨率問題問題。小波小波：在時域和頻域都是局部的。通常在時域和頻域都是局部的。通常通過通過多分辨率分析多分辨率分析給出信號更好的表示。給出信號更好的表示。小波變換小波變換與與傅里葉變換比較傅里葉變換比較對于對于平穩(wěn)信號，傅里葉平穩(wěn)信號，傅里葉再好不過了。它再好不過了。它反映的是信號總體的整個時間段的特點。反映的是信號總體的整個時間段的特點。在頻率上，是點頻的。在頻率上，是點頻的。對于對于非平穩(wěn)信號非平穩(wěn)信號，它就無能為力了。而，它就無能為力了。而小波恰好對此派上用場。小波是反映信小波恰好對此派上用場。小波是反映信號，某個時間段的特點的。在頻域上，號，某個時間段的特

24、點的。在頻域上，是某個頻率段的表現(xiàn)。但小波，作為頻是某個頻率段的表現(xiàn)。但小波，作為頻譜分析確實存在很多問題。譜分析確實存在很多問題。小波變換小波變換與與傅里葉變換比較傅里葉變換比較BeylkinBeylkinCoifletCoiflet多貝西小波多貝西小波( (DaubechiesDaubechies小波小波) )Cohen-Daubechies-FeauveauCohen-Daubechies-Feauveau小小波波，哈爾小波轉(zhuǎn)換哈爾小波轉(zhuǎn)換VaidyanathanVaidyanathan濾波器濾波器SymmletSymmlet復(fù)小波變換復(fù)小波變換離散離散小波變換小波變換種類種類墨西哥帽小

25、波墨西哥帽小波厄爾米特小波厄爾米特小波厄爾米特帽小波厄爾米特帽小波復(fù)墨西哥帽小波復(fù)墨西哥帽小波MorletMorlet小波小波修正修正MorletMorlet小波小波AddisonAddison小波小波希爾伯特希爾伯特- -厄爾米特小波厄爾米特小波連續(xù)連續(xù)小波變換小波變換種類種類墨西哥帽小波墨西哥帽小波第12章 圖像的小波變換處理圖像的小波變換處理 12.4 12.4 小波變換編程實現(xiàn)小波變換編程實現(xiàn) 12.5 12.5 基于小波變換的圖象濾波處理基于小波變換的圖象濾波處理（第二講）（第二講）12.4.112.4.1小波行變換小波行變換開辟一個圖像緩沖區(qū)開辟一個圖像緩沖區(qū)temp1;temp1

26、;獲得圖像灰度化處理后的數(shù)據(jù)區(qū)指針獲得圖像灰度化處理后的數(shù)據(jù)區(qū)指針m_pData2m_pData2；Temp1Temp1的左半部分存儲的左半部分存儲m_pData2m_pData2的偶數(shù)列，的偶數(shù)列，temp1temp1的右半部存儲的右半部存儲m_pData2m_pData2的奇數(shù)列的奇數(shù)列; ;將將temp1temp1奇數(shù)列數(shù)據(jù)依次減去其前面的偶數(shù)奇數(shù)列數(shù)據(jù)依次減去其前面的偶數(shù)列，并將結(jié)果存入列，并將結(jié)果存入temp1temp1的右半部分。的右半部分。實現(xiàn)步驟實現(xiàn)步驟效果圖效果圖實現(xiàn)步驟實現(xiàn)步驟12.4.212.4.2小波列變換小波列變換開辟一個圖像緩沖區(qū)開辟一個圖像緩沖區(qū)temp1;temp1;獲得圖像灰度化處理后的數(shù)據(jù)區(qū)指針獲得圖像灰度化處理后的數(shù)據(jù)區(qū)指針m_pData2m_pData2；Temp1Temp1的上半部分存儲的上半部分存儲m_pData2m_pData2的偶數(shù)行的偶數(shù)行數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)，temp1temp1的下半部分存儲的下半部分存儲m_p