1、一道競賽試題的進一步探究中學數學論文競賽試題的進一步探究江蘇省常熟市中學(215500)錢春蘭賽題呈現已知 a,b,c 是正實數，求證： a3c(a2+bc) + b3a(b2+ca)+c3b(c2+ab)>32o這是2009年韓國數學奧林匹克競賽的一道不等式證明題，文1給出了這道試 題的一個證明和推廣。筆者對這個結構優美、內涵豐富的齊次分式不等式再作進 坯探究”供參考。1試題變形根據不等式是齊次的特點可將上述待證不等式作適當變形,得ac2ac+ba+ba2ba+cb+cb2cb+ac>32o令ba二x , cb二y , ac=z ,則上述不等式等價于下列結論:若正實數 x,y,z

2、 滿足 xyz二 1,則 x2x+y+y2y+z+z2z+x>32o2解法薈萃證明 1 : x2x+y+y2y+z+z2z+x>32 (2x)2x+y+(2y)2y+z+(2z)2z+x>6o 由基本不等式a2 + b2>2ab在b0時變形，得a2b>2a - b ,因此 (2x)2x+y+(2y)2y+z+(2z)2z+x>4x - (x+y)+4y - (y+z)+4z - (z+x)>2(x+y+z)>63xyz=6o證明2 :由a - b22>0在b0時變形，得a2b>a - b4 ,于是x2x+y+y2y+z+z2z+x&g

3、t;x - x+y4+y - y+z4+z - z+x4=x+y+z2>33xyz2=32o證明3 :利用簡單的均值不等式a2a+b+a+b4na z得x2x+y+x+y4>x f y2y+z+y+z4>y f z2z+x+z+x4>zo上述三式相加 / 得 x2x+y+y2y+z+z2z+x>x+y+z2>33xyz2=32o證明4:利用柯西不等式z得 x2x+y+y2y+z+z2z+xn（x+y+z）2x+y+y+z+z+x 二 x+y+z2n33xyz2=32。3追根溯源在上述證明中我們獲得了一個中間不等式x2x+y+y2y+z+z2z+xnx+y+z

4、2,由此自然聯想到一道友誼杯國際邀請賽不等式試題:已知 x,y,z 是正數,則 x2y+z+y2z+x+z2x+y>x+y+z2o （ 1998 年第二屆友誼 杯國際數學邀請賽）由對稱性不妨設xnynz ,則有 x2>y2>z2 , ly+z>lz+x>lx+yo 由排序不等式,得 x2y+z+y2z+x+z2x+ynx2x+y+y2y+z+z2z+x, 故本題是對友誼杯邀請賽不等式的一個加強。另外,注意到 x2y+z+y2z+x+z2x+y>x+y+z2 xy+z+yz+x+zx+y>32o 而后一個不等式就是著名的Nesbitt不等式： 已知 x,

5、y,zeR+ ,求證 xy+z+yz+x+zx+yn32。（Nesbittl903o 1963莫斯科數學競賽）因此2009年韓國數學奧林匹克競賽不等式的本質是Nesbitt不等式一個加強 版。4.探究拓展采用上述證明方法,同樣可證得x2x+y+y2z+x+z2y+z>32o由排序不等式, 得x2x+y+y2y+z+z2z+xnx2x+y+y2z+x+z2y+z ;x2y+z+y2z+x+z2x+ynx2x+y+y2z+x+z2y+z ;x2z+x+y2x+y+z2y+znx2x+y+y2z+x+z2y+z;x2y+z+y2x+y+z2z+xnx2x+y+y2z+x+z2y+z;x2z+x

6、+y2y+z+z2x+ynx2x+y+y2z+x+z2y+z。將ba二x , cb二y , ac二z回代，可得到這個賽題的四個類似不等式和一個加強不等 式：若a,b,c是正實數，則b3ca2(c2+ab)+c3b(c2+ab)+a3bc2(b2+ca)>32; a2bc(c2+ab)+b2ca(a2+bc)+c2ab(b2+ca)>32; a3c(a2+bc) + b3ca2(c2+ab)+c2ab(b2+ca)>32; c3b(c2+ab)+a3bc2(b2+ca)+b2ca(a2 + bc)>32;b3a(b2+ca)+ac3b2(a2 + bc)+a2bc(c2+ab)>32o另外,可將這一問題推廣至n元情形：命題已知xiwR+(i二12,n),求證：x31x2(x21+xnx2)+x32x3(x22+xlx3)+x33x4(x23+x2x4)+.+x3n - lxn(x2n-1+xn - 2xn)+x3nxl(x2n+xn - lxl)>n2。證明：利用柯西不等式的變式，得xlx22xnxl+xlx2+x2x32xlx2+x2x3+.+xnxl2x n-lxl+x nxlnxlx2+x2x3+.+xnxl22xlx2+x2x3+.+