1、8.3諧振法測量阻抗一、諧振法測量阻抗的原理 諧振法是利用LC串聯電路和并聯電路的諧振特性來進行測量的方法。圖氏31(a)和(b)分別畫出了LC串聯諧振電路和并聯諧振電路的基本形式，圖中電流、 電壓均用相量表示。圖8.31 LC串、并聯諧振電路的基本形式當外加信號源的角頻率等于回路的固有角頻率。時，即1 = 0=LC（8.3-1）時，LC串聯或并聯諧振電路發生諧振，這時L =10 2CC =10 2 L（8.3-2）（8.3-3）由式(83-2)和(83-3)可測得L或C的參數。對于圖83-1(a)所示的LC串聯諧振電路，其電流為I& =R +U&j(L 1)C（8.3-4）電流 I&的幅值為

2、I =R2 +U s(L 1 )2C（8.3-5）當電路發生諧振時，其感抗與容抗相等，即 0 L= 1 / 0C，回路中的電流達最大值，即I = I0= U sR此時電容器上的電壓為U= U0=1I=1U& s= QU（8.3-6）cc 0式中Q =10CR0C= 0 L R0CRs（8.3-7）由式(8，3-5)得I = U s（8.3-8） =22L R1 + 0 0 R 0由于諧振時電流U sI0 =R，回路的品質因數Q = 0 L ，R故式(83-8)改寫為I = 1I0 1 + Q 2 2 0 （8.3-9） 0在失諧不大的情況下，可作如下的近似 0 2 20= (+ 0 )( 0

3、)000這樣，式(83-9)可改寫為I=I01 + Q 21 2(2 0 ) （8.3-10）0調節頻率，使回路失諧，設 = 2和 = 1 分別為半功率點處的上、下限頻率，如圖83-2所示。此時，I/ I0= 1 /2 = 0.707，由式(83-10)得Q 2(2 0 ) = 1（8.3-11）0由于回路的通頻帶寬 度，故由式(83-11)得B =f2 f1 =2 f2 f0 Q =f0 =Bf0f2 f1（8.3-12）由式(83-12)可知，只需測得半功率點處的頻率f2、f1和諧振頻率f0，即可求得品質因數Q。這種測量Q值的方法稱為變頻率法。由于半功率點的判斷比諧振點容 易，故其準確、度

4、較高。圖8.32變頻時的諧振曲線圖8.33變容時的諧振曲線設回路諧振時的電容為C0，此時若保持信號源的頻率和振幅不變，改變回路的調諧電容。設半功率點 處的電容分別為C1和C2，且C2C1，變電容時的諧振曲線如圖833所示。類似于變頻率法，可以推得Q = 2C0（8.3-13）C2 C1由上式可求得品質因數Q。這樣測量Q值的方法，稱為變電容法。二、Q表原理Q表是基于LC串聯回路諧振特性基礎上的測量儀 器，其基本原理電路如圖8.34所示。采用電阻耦合法 的Q表原理圖如圖8.35所示。圖8.34Q表原理圖8.35電阻耦合法Q表原理圖Q = U coUi（8.3-14）若保持回路的輸入電壓Ui大小不變

5、，則接在電容C兩端的電壓表就可以直接用Q表值采標度。若使V減少一半，由式(83工4)可知，同樣大小的Uco所對應 的Q值比原來增加一倍，故接在輸入端的電壓表可用作 Q值的倍乘指示。實際的Q表，電壓Ui和Uc的測量是通 過一個轉換開關而用同一表頭來完成的，如圖834 所示。圖8.36電感耦合法Q表原理圖三、元件參數的測量利用Q表測量元件參數的簡單方法是將被測元件直 接跨接到測試接線端，稱為直接測量法。圖835和 圖836也是直接測試電感線圈的原理圖。通過調節 信號源的頻率或調節回路的可變電容，使回路發生諧 振，由電容器兩端的電壓表可直接讀出Q值，然后乘上 倍乘值即可得到電感線圈的Q值。由于Q表中

6、測量回路本身的寄生參量及其他不完善性對測量結果所產生的影響，稱為殘余效應，由此而 導致的測量誤差，稱為殘差。由于直接測量法不僅存 在系統測量誤差，而且存在殘差的影響，因此一般采 用比較法進行測量，它可以比較有效地消除系統測量 誤差和殘差的影響。比較法又分為串聯比較法和并聯 比較法，前者適用于低阻抗的測量，后者適用于高阻 抗的測量。圖8.37串聯比較法原理圖當電感線圈的電感量較小或電容器的電容量很大時，屬于低阻抗測量，需要采用圖837所示的串聯 比較法測量元件參數。圖中LK為已知的輔助線圈，Z M = RM +jX M 為其損耗電阻RH為被測元件阻抗。由于電阻RH很小，故在討論中忽略其影響。首先

7、用一短路線將被測元件ZM短路，調節電容C，使回路諧振。設此時的電容量為Cl，被測得的品質因數為Q1。根據諧振時回路特性，得X LK= X C1 或LX=1C1（8.3-15）Q1 =LKRK=1或RKC1RK =1Q1C1（8.3-16）然后斷開短路線，被測元件ZM被接入回路。保持頻率不變，調節電容器C，使回路再次諧振。設此時的電容量為C2，品質因數為Q2，回路中的電抗滿足CLMX+ X= XK2（8.3-17）X = 1 / C1由于，故式(8317)可改寫為LXX= X X=11= C1 C2（8.3-18）MC 2LKCCC C2112回路的品質因數1Q2 =或( RK+ RM)C2RK

8、 + RM =故1RM =1Q2C2 1= C1Q1 Q2C2Q2C2Q1C1C1C2Q1Q2（8.3-19）若被測元件為電感線圈，XM為感性，必有XM 0。由式(8.3lg)可知，此時C1C2，并求得L = C1 C2（8.3-20）M 2C C1 2線圈的品質因數可由式(8.318)和式(8.319)求得，即X MQM= Q1Q2 (C1 C2 )（8.3-21）RMC1Q1 C2C2若被測元件為電容器，XM為容性，必有XMC1，X M由式(83-18)求得= 1 / CM，CM=C1C2(8.3-22)C2 C1其Q值的計算公式與式(8321)相同。若被測元件為純電阻，則ClC2C0，由

9、式(8319)可求得其阻值為RM=Q1 Q2(8.3-23)C0Q1Q2測量電感量較大的電感器和電容。量較小的電容器等高阻抗元件需要采用并聯比較法測量元件參數， 其原理圖如圖8.38所示。首先不接被測元件，調節可 變電容C，使電路諧振。設此時電容量為C1，品質因數 為Q1，則LK= 1C1(8.3-24)Q1 =LKRK= 1RKC1(8.3-25)然后將被測元件并接在可變電容C的兩端。保持信號源頻率不變，調節電容C，使回路再次發生諧振。設 此時的電容量為C2，品質因數為Q2，回路中的電抗滿足CXXX=2MLKXC2+ X M將式(8324)代入上式，可解得1X M =(8.3-26) (C1

10、 C2 )圖8.38并聯比較法原理圖若被測元件是電感，X M= LM，由上式解得LM=12(C1 C2 )(8.3-27)若被測元件是電容，X M= 1 / CM，由式(8326)解得CM = C1 C2(8.3-28)諧振時，并聯諧振回路的總電阻RF為RT =KQ2 X L= Q2X C 1=Q2C1(8.3-29)令GT= 1 / RT為回路的總電導，GM= 1 / RM為被測阻抗的電導， GK為輔助線圈的電導，G = RK2KR2+ X 2即GT= GM+ GK，由于K，得LKGM = GT GK(8.3-30)或1=C1RK2= C1 11RM Q2RK + X LQ2 RK LK 1

11、 + K C1Q1RQ 2RK2 K 1式(83-25)代入上式，得由上式解得1= C1RM Q2 C1Q1RM=Q1Q2（8.3-31）C1 (Q1 Q2 )由式(83-26)和式(83-31)，求得被測元件的Q值為RMQM = (C1 C2 )Q1Q2（8.3-32）X MC1 (Q1 Q2 )若被測元件為純電阻，則由式(8.3-31)可求得其電阻值。采用諧振法測量電感線圈的Q值，其主要誤差有：耦合元件損耗電阻(如RH)引起的誤差，電感線圈分布電 容引起的誤差，倍率指示器和Q值指示器讀數的誤差， 調諧電容器C的品質因數引起的誤差以及Q表殘余參量 引起的誤差。為了減少測量中的誤差，需要選 擇

12、優質高精度的器件作為標準件，例如調諧電容器應選擇介 質損耗小、品質因數高、采用 石英絕緣支撐的空氣電容器。另一方面，可根據測量時的實際情況，對測量 的Q值作些修正，例如，若線圈的分布電容為CM，那 么真實的Q值為Q = Q C + CMCe （8.3-33）四、數字式Q表原理構成數字式Q表的方法有多種，這里僅介紹衰減振 蕩法構成Q表的原理，其框圖如圖8310所示。當脈沖電壓作用于RLC串聯振蕩回路時，在欠阻尼 情況下，回路中的電流為 R ti = I m e2 Lcosd t= Im e d t2Qcosd t（8.3-37）圖8.310衰減振蕩法測Q原理圖式中d=1 (LCR )22L為回路

13、電流i的衰減振蕩角頻率，其波形如圖8.311所示。由圖可知，電流的幅值是按指數規律衰減 的，即I = I d t2Qem設t1和t2時刻電流i的幅值分別為dI1 = t1mIe 2Qd和I 2= I m t2e 2Q則 I1 I 2 d ( t2 t1 )= e 2Q圖8.311電流i的波形對上式兩邊取對數，得Q =d (t2 2 ln( I1 /t1 )I2 )（8.3-38）設由t1到t2的時間內，電流振蕩N次，即t2 t1 =NTd（8.3-39）其中Td= 2 / d為電流i的振蕩周期。將式(83-39)代入式(83-38)得Q =N（8.3-40）ln( I1 /I 2 )由上式可見

14、，若選取 ln( I1 / I 2 )= ，即I1 / I 2= 23.14 ，則Q = N即Q值可以通過直接計數振蕩次數N求得。I1/I2值的選定，可以通過調節圖8.310中的比較電壓U1和U2來實現。8.4利用變換器測量阻抗設一被測阻抗ZX與一標準電阻Rb相串聯，其電路如 圖841所示，圖中電流、電壓均用相量表示。由于Z x = Rx +jX x= U&1=U&1= RbU&1(8.4-1)故U&1U& 2= Rx +RbI&j X xRbU& 2/ RbU& 2(8.4-2)圖 8.41一、電阻電壓變換器法將被測電阻變換成電壓，并由電壓的測量確定只 霉值，其線路如圖842所示。圖中運算放

15、大器為理想器件，即放大系數A ，輸入阻抗 Ri ，輸出阻抗Ro0，并且輸入端虛短路(Ui0)和虛斷路(Ii0)。圖8.42電阻電壓變換器對于圖(a)的電路而言，運算放大器作為電壓跟隨器。由于運放的輸入端虛短路，由圖可知，運放的輸 出電壓Uo即為電阻Rb上的電壓，故Uo =解得sRb U Rx + RbU sRx=UoRb Rb(8.4-3)由上式可知，當Rb和Us一定時，只霉可以通過測量相應的電壓Uo而求得。對于圖(b)的電路而言，由于 Ib= I x ,Ui= 0 得U s=RbRx= UoRxb UoR U s(8.4-4)同樣，當Us和Rb一定時，Rx可以通過測量相應的電壓Uo求得。二、

16、阻抗電壓變換器法采用鑒相原理的阻抗電壓變換器原理圖如圖843所示。由于激勵源為正弦信號，故圖中電流、電壓均用相量表示，被測阻抗Z x = Rx +jX x 。圖8.43采用鑒相原理的阻抗電壓變換器1由圖可知，變換器的輸出電壓相量 U&即為被測阻抗Zx兩端的電壓，故U&1 =Rx +jX xRb + Rx +jX x(8.4-5)Rb Rx +jX x則式(845)近似為U&1 Rx U&+sRbj X xRbU& s= U&1r+ U&1i(8.4-6)其中U&1r =sRx U&Rb(8.4-7)U&1i =j X xRbU& s(8.4-8)由式(84-7)可得Rxb= U1rR U s(8.4-9)若被測元件為電感，由式(84-8)得Lx =U1rRbU s(8.4-10)若被測元件為電容器，則由式(84-8)得C=U s(8.4-11)x R Ub 1i下面將討論如何利用鑒相原理將電壓u1的實部和虛部分離開。圖84-3中的鑒相器包含乘法器和低通濾波器，設us為參考電壓，即us= U scostu1的實部電壓ulr和虛