1、第六章 桿與板的穩定性 6.1 .1 概述概述2，與，與各種因素密切相關各種因素密切相關眾多不穩定性因素中，眾多不穩定性因素中，與之相關的與之相關的 以在端點沿中和軸以在端點沿中和軸 ox 方向受靜壓方向受靜壓力力 T 作用的等直梁為例進行分析作用的等直梁為例進行分析 在強度檢驗時通常假定梁的中和軸是直線、等斷面、力作用在強度檢驗時通常假定梁的中和軸是直線、等斷面、力作用于中心、無側向力作用等于中心、無側向力作用等 應力變形狀態由下列關系描述應力變形狀態由下列關系描述0 = - -T/ /A = w = 0 u = - -Tx/ /(EA) (6.1.1)(6.1.1) 實際上：實際上：；30

2、( , )( )( , ) ( , )M x t ZTTAAI xww x tx t(6.1.2)(6.1.2) 式式(6.1.2)(6.1.2)和式和式(6.1.1)(6.1.1)間間的的計算結果的差異，計算結果的差異， 在一些條件下，離散的界限不大，在一些條件下，離散的界限不大，式式(6.1.1)(6.1.1)給出可靠的應給出可靠的應力描述力描述；變形過程是穩定的變形過程是穩定的 在另一些條件下，離散的界限很大，在另一些條件下，離散的界限很大，式式(6.1.1)(6.1.1)的解給出不的解給出不正確的應力描述，正確的應力描述，變形過程是不穩定的變形過程是不穩定的 相應于這些條件的力和其他特

3、征量稱為相應于這些條件的力和其他特征量稱為、和和4 上述分析給出了變形過程穩定性的實質性概念，這對上述分析給出了變形過程穩定性的實質性概念，這對已足夠詳盡已足夠詳盡 在同一準則下，偏離理想形狀愈大的梁就愈不穩定在同一準則下，偏離理想形狀愈大的梁就愈不穩定 未指明初始擾動的量值未指明初始擾動的量值( (未考慮因素未考慮因素) )，一般情況下是不可能，一般情況下是不可能評估結構穩定性的評估結構穩定性的 問題復雜性問題復雜性 結構穩定性分析中很少采用上面敘述的方法結構穩定性分析中很少采用上面敘述的方法 實際計算中，通常利用結構給定平衡實際計算中，通常利用結構給定平衡形式的比較簡單的穩定性分析結果形式

4、的比較簡單的穩定性分析結果5 TE 表征這樣的表征這樣的T 值，在達到它時直線平衡形式是不穩定的，值，在達到它時直線平衡形式是不穩定的，為為 作為從穩定狀態向不穩定狀態過渡的界限提供了依據作為從穩定狀態向不穩定狀態過渡的界限提供了依據 換言之，判斷結構穩定性只要利用平衡穩定的分析結果，而換言之，判斷結構穩定性只要利用平衡穩定的分析結果，而不必考慮變形過程的穩定性不必考慮變形過程的穩定性 計算校核穩定性需要說明的一個重要問題計算校核穩定性需要說明的一個重要問題即在這些坐即在這些坐標中過程的變化是次要因素標中過程的變化是次要因素 由于穩定性的檢驗正是與評估這些因素有關，在進行穩定性由于穩定性的檢驗

5、正是與評估這些因素有關，在進行穩定性評估時必須考慮已被忽略坐標的過程變化評估時必須考慮已被忽略坐標的過程變化6 綜上所述，從幾何和力方面評價結構穩定性，必須指明綜上所述，從幾何和力方面評價結構穩定性，必須指明結構變形情況或者平衡形式結構變形情況或者平衡形式( (原始的應力應變狀態原始的應力應變狀態) )被忽略的次要因素被忽略的次要因素( (擾動擾動) )哪些坐標的初始狀態假定是不變的哪些坐標的初始狀態假定是不變的采用的不穩定性標準采用的不穩定性標準( (穩定性準則穩定性準則) ) 擾動的離散很小且在這種離散下結構的臨界載荷彼此接近，擾動的離散很小且在這種離散下結構的臨界載荷彼此接近，則則 擾動

6、和相應的臨界載荷的離散擾動和相應的臨界載荷的離散 都很大，都很大，則結構穩定性只能則結構穩定性只能；臨界載荷取決于給定的允許失穩概率；臨界載荷取決于給定的允許失穩概率 實際評估時常采用確定性方法，此時實際評估時常采用確定性方法，此時7 由于擾動而偏離給定平衡狀態的機械系統，在擾動消失后可由于擾動而偏離給定平衡狀態的機械系統，在擾動消失后可能有能有3 3 種情況種情況系統趨于回到原始狀態系統趨于回到原始狀態系統繼續偏離原始狀態系統繼續偏離原始狀態系統既不趨于偏離原始狀態也不回到原始狀態系統既不趨于偏離原始狀態也不回到原始狀態 根據系統平衡對根據系統平衡對的靈敏度可分為：的靈敏度可分為： 小擾動時

7、穩定而大擾動時不穩定小擾動時穩定而大擾動時不穩定( (例如直立而未固定的柱例如直立而未固定的柱) ) 大擾動時穩定而小擾動時不穩定大擾動時穩定而小擾動時不穩定( (具有負穩性高度的船舶具有負穩性高度的船舶) ) 平衡在小擾動時和大擾動時都是穩定的或都是不穩定的平衡在小擾動時和大擾動時都是穩定的或都是不穩定的8隨著擾動的減小，系統對于無擾動的平衡狀態的偏離可以變得隨著擾動的減小，系統對于無擾動的平衡狀態的偏離可以變得任意小，則系統稱為小擾動穩定的任意小，則系統稱為小擾動穩定的對對無限小的初始偏離、無限小的初始速度和無限小作無限小的初始偏離、無限小的初始速度和無限小作用力的變化，在后續時間里僅引起

8、無限小的偏離后果和無限用力的變化，在后續時間里僅引起無限小的偏離后果和無限小的速度后果，則平衡狀態是小擾動穩定的小的速度后果，則平衡狀態是小擾動穩定的 在實際計算中通常僅限于研究初始偏移和初始速度等擾動形在實際計算中通常僅限于研究初始偏移和初始速度等擾動形式對系統的影響式對系統的影響 由于實施動態準則的復雜性，在分析小擾動平衡穩定時采用由于實施動態準則的復雜性，在分析小擾動平衡穩定時采用小擾動靜力穩定性準則小擾動靜力穩定性準則9 根據這個準則根據這個準則在在被認為失去穩定性，只有被認為失去穩定性，只有，不管其多么，不管其多么接近原平衡位置接近原平衡位置 在這個準則中，顯然假定過程隨時間不變，擾

9、動假定無限小在這個準則中，顯然假定過程隨時間不變，擾動假定無限小 在分析小擾動平衡穩定性時采用能量法較為方便，該方法依在分析小擾動平衡穩定性時采用能量法較為方便，該方法依據據 定理：定理：若一個在穩定保守力系作用下和在理想約束控制下具有若一個在穩定保守力系作用下和在理想約束控制下具有n個自個自由度的機械系統，由度的機械系統，則這個位置在，則這個位置在任何時間任何時間都是小擾動穩定的都是小擾動穩定的10 在研究小擾動穩定性時，動態準則不會導致原則的錯誤，特在研究小擾動穩定性時，動態準則不會導致原則的錯誤，特別是當系統的動力別是當系統的動力( (慣性和阻尼慣性和阻尼) )特性能夠充分再現時特性能夠

10、充分再現時 靜態準則有局限性，但簡單，在實際計算中得以廣泛應用靜態準則有局限性，但簡單，在實際計算中得以廣泛應用 靜態準則的適用范圍還沒有嚴格的證明，只能根據具體問題靜態準則的適用范圍還沒有嚴格的證明，只能根據具體問題的求解結果作出評論的求解結果作出評論 非保守系統，根據靜態準則獲得的結果有不正確的情況非保守系統，根據靜態準則獲得的結果有不正確的情況 計算非保守系統時推薦應用動態準則。計算非保守系統時推薦應用動態準則。盡管原則上存在應用盡管原則上存在應用靜態準則不會得出錯誤結果的非保守系統靜態準則不會得出錯誤結果的非保守系統 解決保守系統穩定性問題的大量實踐表明可利用靜態準則解決保守系統穩定性

11、問題的大量實踐表明可利用靜態準則11 建立完全確定所研究系統平衡狀態的方程建立完全確定所研究系統平衡狀態的方程 查明可能的鄰近的平衡形式查明可能的鄰近的平衡形式 建立完全確定鄰近平衡形式的方程建立完全確定鄰近平衡形式的方程 在描述兩個相鄰平衡形式的兩組方程的基礎上，建立從一種在描述兩個相鄰平衡形式的兩組方程的基礎上，建立從一種平衡形式向另一種平衡形式過渡的補充量平衡形式向另一種平衡形式過渡的補充量( (力、位移等的增力、位移等的增量量) )的方程的方程；如果結構不是明顯非線性的，；如果結構不是明顯非線性的，這些方程是線性齊次的這些方程是線性齊次的 研究這些中性平衡方程獲得非零解的條件研究這些中

12、性平衡方程獲得非零解的條件( (力力) )；相應于中性相應于中性平衡方程式獲得非零解的最小力取為臨界力平衡方程式獲得非零解的最小力取為臨界力 T = Tcr時，只知道桿可能偏離原直線形式而不知道偏移量。時，只知道桿可能偏離原直線形式而不知道偏移量。這在數學上歸結為求特征值問題這在數學上歸結為求特征值問題12一個結構中一個結構中存在就有存在就有 豎桿受壓豎桿受壓 失穩并導致失穩并導致 整個剛架變形整個剛架變形一桿受壓失穩而一桿受壓失穩而導致整個板架變形導致整個板架變形 梁彎曲時下翼板受壓梁彎曲時下翼板受壓 發生側向彎曲并導致整個梁的扭曲發生側向彎曲并導致整個梁的扭曲13當壓力或剪力大當壓力或剪力

13、大到一定程度時，到一定程度時，板不能保持平面板不能保持平面平衡狀態而發生平衡狀態而發生彎曲，叫做彎曲，叫做又稱又稱平板承受中面壓力或剪力平板承受中面壓力或剪力 一般船底結構比甲板結構強，船體梁剖面的中性軸距甲板遠，一般船底結構比甲板結構強，船體梁剖面的中性軸距甲板遠，因此因此14單跨等斷面壓桿，描述單跨等斷面壓桿，描述可由可由梁的復雜彎曲微分方程式梁的復雜彎曲微分方程式導得導得IV0EIT臨界載荷是結構處于臨界狀態的載荷，它取決于臨界載荷是結構處于臨界狀態的載荷，它取決于結構的尺寸結構的尺寸、形式形式和和材料材料，是一個結構的固有值是一個結構的固有值 其解為其解為0123cossinCC kx

14、CkxCkx式中：式中：C0，C1，C2，C3為積分常數；為積分常數；TkEI15No.壓桿的結構型式壓桿的結構型式歐拉力歐拉力224EEITl22EEITl220.16EEITl224EEITl3 31 12 24 41622()EEITl在在的條件下，桿的歐拉力的條件下，桿的歐拉力桿端的固定情況不清或無法準確決定，通常都假定桿端為自由桿端的固定情況不清或無法準確決定，通常都假定桿端為自由支持，這樣算出來的歐拉力最小，誤差偏于安全支持，這樣算出來的歐拉力最小，誤差偏于安全17自由支持變斷面壓桿，自由支持變斷面壓桿，慣性矩的變化如圖示慣性矩的變化如圖示解：斷面慣性矩為解：斷面慣性矩為且有且有

15、I1= 0.4 I，I2 = I。設坐標系原點在左端點，設坐標系原點在左端點，y 軸向下；取撓曲線方程：軸向下；取撓曲線方程：2112(0.2 ) ( )0.2 ( 0.2/2)IIIxxlI xlIlxl1sinxal1cosxall 21sinxall 180.20.522211200.22( )d( )d20.22lllIIEEVIxxxIxxl并設并設則有則有 x = 0 u = 0，x = cl u = c，將將代入代入xulddlxu 30.20.5222100.223sindsind5VEIauu uu ul712323sincos10045858312sin2045 32111

16、332cos50885VEIal19力函數為力函數為22211011121sin2244lxxTaTallll1()0VUa22210011dcosd22llxxUTxTalll 321113321cos0508854aEITll2222332cos25225EEITl29.71EIl20桿件在彈性范圍外失穩桿件在彈性范圍外失穩在彈性范圍外失穩的力叫做在彈性范圍外失穩的力叫做在彈性范圍內失穩的力叫做在彈性范圍內失穩的力叫做最簡單的是最簡單的是21IrAl r22EE，稱為，稱為壓桿不會失穩破壞，而是壓桿不會失穩破壞，而是 y對于對于y = 240240 MPa的鋼材，區別的鋼材，區別的柔度的柔

17、度 p 100100，對應的應力為材料的，對應的應力為材料的 p2222crttcrTE IEAAl假設曲線假設曲線AB的方程式的方程式 = 0 時，時，cr = y； = p 時，時，cr = p22tppE22()pypcryE()pypcryE22EE23實際材料的實際材料的 y 與與 p 在一定范圍內變化，實用上取在一定范圍內變化，實用上取 p = y /2 222()pypcryE()pypcryE2224ycryE14ycryE穩定性分析中，常要用到穩定性分析中，常要用到切線模數切線模數 Et 與與彈性模數彈性模數 E 的的tcrEEE()()ycrcrypp取取p = y/2 2

18、24()ycrcry2425用力法求解桿彎曲平衡狀態的基本結構型式用力法求解桿彎曲平衡狀態的基本結構型式 26支座支座1端面的轉角連續方程按梁的復雜彎曲、或附錄端面的轉角連續方程按梁的復雜彎曲、或附錄 B方程式中最小的一個根方程式中最小的一個根 u1 所對應的軸向力即為所需的所對應的軸向力即為所需的 TE*121112()()33MlMluuEIEI *1*311()22tan2uuuu*2lTuEIM 0*22111111()lluull u2 = l2 u1/l1僅包括僅包括u1即軸向力即軸向力T2121(2 )uEIl27*22111111()lluull *1111()2(2 )uu 212211(2)3.72EuEIEITll(_)2214.88EIl*1111()()uu 21EEITl28失穩時的變形形狀反對稱于中間支座，失穩時的變形形狀反對稱于中間支座，222212EEIEITll將雙跨桿在中間支座處切開，將雙跨桿在中間支座處切開，0 多跨連續壓桿只要跨度等間距、等斷面，且兩端自由支多跨連續壓桿只要跨度等間距、等斷面，且兩端自由支持，這時歐拉力都等于每跨