1、第一章 矢量場1.1 求:(a) A ； (b) ； (c) ； (d) ； (e) (f)解：(a) ; (b) ( c) ; (d) (e)(f)1.2 ; 求:(a) A ； (b) ； (c) ； (d) ; (e) 解：(a) ;(b) ;(c) (d)(e)1.3 ; 求:(a) A ； (b) ； (c) ； (d) ; (e) 解：(a) ； (b) ； (c) ；(d) ; (e) 1.4 ; 當時，求。解：當時，=0, 由此得 1.5 將直角坐標系中的矢量場分別用圓柱和圓球坐標系中的坐標分量表示。解：(1)圓柱坐標系由(1.2-7)式，;(2)圓球坐標系由(1.2-14)式

2、, 1.6 將圓柱坐標系中的矢量場用直角坐標系中的坐標分量表示。解：由(1.2-9)式，1.7將圓球坐標系中的矢量場用直角坐標系中的坐標分量表示。解：由(1.2-15)式，1.8求以下函數的梯度：(a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6(b) (c)解：(a) (b)(c)1.9 求標量場在點(1,1,1)沿方向的變化率。解：1.10 在球坐標中，矢量場為其中為常數，證明矢量場對任意閉合曲線的環量積分為零，即解：由斯托克斯定理, 因為 所以 1.11證明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。1.12由(1.4-3)式推導(1.4-4a)式。1.13由(1.5-2)式推導(1.5-3a

3、)式。1.14計算下列矢量場的散度a) b) c)解：(a) (b)(c)1.15計算下列矢量場的旋度a) b) c)解： (a) (b) (c) 1.16計算a) b)c)解：(a) (b)(c)1.17已知，計算解：1.18已知計算解：根據亥姆霍茲定理，因為，所以1.19已知計算解：根據亥姆霍茲定理，因為，所以1.20求矢量場穿過由確定的區域的封閉面的通量。解：根據高斯定理，矢量場穿過由確定的區域的封閉面的通量因為 所以第二章習題解2-1.已知真空中有四個點電荷，分別位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)點，求(0,0,1)點的電場強度。解：設,2-2.已

4、知線電荷密度為的均勻線電荷圍成如圖所示的幾種形狀，求P點的電場強度。(a) (b) (c)題2-2圖解：(a) 由對稱性(b) 由對稱性(c) 兩條半無限長線電荷產生的電場為半徑為a的半圓環線電荷產生的電場為總電場為2-3.真空中無限長的半徑為a的半邊圓筒上電荷密度為，求軸線上的電場強度。解:在無限長的半邊圓筒上取寬度為的窄條,此窄條可看作無限長的線電荷,電荷線密度為,對積分,可得真空中無限長的半徑為a的半邊圓筒在軸線上的電場強度為題2-3圖 題2-4圖2-4.真空中無限長的寬度為a的平板上電荷密度為，求空間任一點上的電場強度。解: 在平板上處取寬度為的無限長窄條，可看成無限長的線電荷，電荷線

5、密度為，在點處產生的電場為其中 ；對積分可得無限長的寬度為a的平板上的電荷在點處產生的電場為2-5.已知電荷分布為r為場點到坐標原點的距離，a，b為常數。求電場強度。解： 由于電荷分布具有球對稱性，電場分布也具有球對稱性，取一半徑為 r 的球面，利用高斯定理等式左邊為 半徑為 r 的球面內的電量為因此，電場強度為2-6.在圓柱坐標系中電荷分布為r為場點到z軸的距離，a為常數。求電場強度。解: 由于電荷分布具有軸對稱性，電場分布也具有軸對稱性，取一半徑為 r ,單位長度的圓柱面，利用高斯定理等式左邊為 半徑為 r 的圓柱面內的電量為因此，電場強度為2-7. 在直角坐標系中電荷分布為求電場強度。解

6、: 由于電荷分布具有面對稱性，電場分布也具有面對稱性，取一對稱的方形封閉面,利用高斯定理,穿過面積為 S的電通量為,方形封閉面內的電量為 因此，電場強度為 題2-9圖題2-7圖2-8. 在直角坐標系中電荷分布為求電場強度。解: 由于電荷分布具有面對稱性，電場分布也具有面對稱性，取一對稱的方形封閉面,利用高斯定理,穿過面積為 S的電通量為,方形封閉面內的電量為 因此，電場強度為 2-9.在電荷密度為（常數）半徑為a的帶電球中挖一個半徑為b的球形空腔，空腔中心到帶電球中心的距離為c(b+c<a)。求空腔中的電場強度。解:由電場的疊加性,空腔中某點的電場等于完全均勻填充電荷的大球在該點的電場與

7、完全均勻填充負電荷的小球在該點的電場之和。完全均勻填充電荷的大球在該點的電場為完全均勻填充負電荷的小球在該點的電場為所以，空腔中某點的電場為為從球心指向空腔中心的矢量。2-10.已知電場分布為求電荷分布。解:由得2-11. 已知在圓柱坐標中，電場分布為求電荷分布。解: 由得在r=a,r=b的面上，電場不連續，有面電荷.電荷面密度為2-12.若在直角坐標系中電位為其中A，B均為常數，求電荷密度。解:由得02-13.分別計算方形和圓形均勻線電荷在軸線上的電位。(a) (b)解:(a) 方形均勻線電荷在軸線上的電位對于方形，每條邊均勻線電荷的電位其中 方形均勻線電荷在軸線上的電位為(b) 圓形均勻線

8、電荷在軸線上的電位2-14.計算題2-5給出的電荷分布的電位。解: 題2-5給出的電荷分布的電場為由電位的定義,電位為對于r>a對于r<a2-15.半徑為a，長度為L的圓柱介質棒均勻極化，極化方向為軸向，極化強度為(為常數）。求介質中的束縛電荷以及束縛電荷在軸線上產生的電場。解: (1)介質中的束縛電荷體密度為(2) 介質表面的束縛電荷面密度為在圓柱介質棒的側面上束縛電荷面密度為零;在上下端面上束縛電荷面密度分別為.(3) 上下端面上束縛電荷產生的電場由例題2.2, 圓盤形電荷產生的電場為式中a 為圓盤半徑。將坐標原點放在圓柱介質棒中心。對上式做變換,可上端面上束縛電荷產生的電場為

9、同理,做變換,可下端面上束縛電荷產生的電場為上下端面上束縛電荷產生的總電場為2-16.半徑為a的介質球均勻極化，求束縛電荷分布及束縛電荷在球中心產生的電場。解: (1)介質中的束縛電荷體密度為(2) 介質表面的束縛電荷面密度為 題2-16圖(3) 介質表面的束縛電荷在球心產生的電場在介質球表面取半徑為寬度為的環帶,可看成半徑為,電荷線密度為的線電荷圓環,例2.1給出了線電荷圓環的電場,對積分得2-17.無限長的線電荷位于介電常數為的均勻介質中，線電荷密度為常數，求介質中的電場強度。解: 設無限長的線電荷沿 z軸放置, 利用高斯定理,容易求得介質中的電場強度為 為場點到線電荷的距離.2-18.

10、半徑為a的均勻帶電球殼，電荷面密度為常數，外包一層厚度為d、介電常數為的介質，求介質內外的電場強度。解:由于電荷與介質分布具有球對稱性，取半徑為 r的球面，利用高斯定理上式左右兩邊分別為 由此得 因為，所 以 2-19.兩同心導體球殼半徑分別為a、b，兩導體之間介質的介電常數為，求兩導體球殼之間的電容。解：設內導體帶電荷為 q，由于電荷與介質分布具有球對稱性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理，兩導體球殼之間的電場為兩導體球殼之間的電壓為兩導體球殼之間的電容為 2-20. 兩同心導體球殼半徑分別為a、b，兩導體之間有兩層介質，介電常數為、，介質界面半徑為c，求兩導體球殼之間的電容。解：設內導體帶

11、電荷為 q，由于電荷與介質分布具有球對稱性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理可得，兩導體球殼之間的電場為兩導體球殼之間的電壓為兩導體球殼之間的電容為 2-21. 圓柱形電容器，內外導體半徑分別為a、b，兩導體之間介質的介電常數為，介質的擊穿場強為，求此電容器的耐壓。解：設內導體帶電荷為 q，由于電荷與介質分布具有軸對稱性，取半徑為 r的柱面，忽略邊緣效應，采用高斯定理，兩導體球殼之間的電場為內導體表面上的電場最強，設等于擊穿場強，則。兩導體球殼之間的電場用擊穿場強表示為兩導體球殼之間的耐壓為2-22.已知電場強度為，試求點(0,0,0)與點(1,2,1)之間的電壓。解：由于，從而，即對的線積分

12、與路徑無關，因此從點(0,0,0)到點(1,2,1)之間對的線積分的路徑可取沿如圖所示的路徑，點(0,0,0)與點(1,2,1)之間的電壓為題2-22圖2-23.已知在球坐標中電場強度為，試求點與點之間的電壓。解：由于，從而，即對的線積分與路徑無關，因此從點到點之間對的線積分的路徑可取從沿徑向到點，再從沿球面到點的路徑，而第二條路徑的切向與垂直，線積分為零，因此2-24.已知在圓柱坐標中電場強度為，試求點與點之間的電壓。解：由于，從而，即對的線積分與路徑無關，因此從點到點之間對的線積分的路徑可取從沿徑向到點，再從沿柱面到點的路徑，而第二條路徑的切向與垂直，線積分為零，因此2-25已知真空中一內

13、外半徑分別為a、b的介質球殼，介電常數為，在球心放一電量為q的點電荷，求電場強度。解：由題意，電場具有球對稱結構。利用高斯定理，在半徑為r的球面上由得2-26.有三層均勻介質，介電常數分別為,取坐標系使分界均平行于xy面。已知三層介質中均為勻強場，且，求。解：因為三層介質中均為勻強場，設第二、三層介質中的電場強度分別為； 由邊界條件可得， 由邊界條件， 可得，即；所以 ，題2-27圖 題2-28圖2-27.半徑為a的導體球中有兩個半徑均為b的球形腔，在其中一個空腔中心有一個電量為q的點電荷，如圖所示，求導體球腔中及球外的電場強度。解：（1）在有點電荷的空腔中，由于對稱性，電場強度為，為從空腔中

14、心指向該空腔中場點的位置矢量。（2）在另一沒有點電荷的空腔中，由于靜電屏蔽，該空腔中的電場強度為零。（3）在導體球外，由于導體球為等位體，除了導體球面上外，導體球外沒有電荷，因此導體球外電場具有球對稱性，且導體球上的電量為q,所以導體球外的電場強度為 r為導體球心到場點的距離。2-28.同軸圓柱形電容器內外半徑分別為a、b，導體之間一半填充介電常數為的介質，另一半填充介電常數為的介質。當電壓為V時，求電容器中的電場、電容及電荷分布。解：設內導體上的電量為q,在內外導體之間取半徑為 r的圓柱面，利用高斯定理在兩個半柱面上，電場強度分別相等，上式變為由介質邊界條件，可得內外導體之間的電壓為 由此得

15、；從而得由，電荷分布為介質側；介質側2-29.z>0半空間為介電常數為的介質，z<0半空間為介電常數為的介質，當(1)電量為q的點電荷放在介質分界面(2)電荷線密度為的均勻線電荷放在介質分界面求電場強度。解：（1）電量為q的點電荷放在介質分界面以點電荷為中心作以半徑為r的球，利用高斯定理設上、下半球面上的電位移矢量分別、，根據對稱性，在上、下半球面上大小分別相等，有=根據邊界條件，因此（2）電荷線密度為的均勻線電荷放在介質分界面以線電荷為軸線作以半徑為r單位長度的圓柱面，利用高斯定理設上、下半柱面上的電位移矢量分別、，根據對稱性，在上、下半柱面上大小分別相等，有=根據邊界條件，因此

16、2-30.面積為A，間距為d的平板電容器電壓為V，介電常數為厚度為t的介質板分別按如圖a、b所示的方式放置在兩導電平板之間。分別計算兩種情況下電容器中的電容、電場及電荷分布。題2-30圖解：（a）設導體板之間介質與空氣中的電場分別為、，那么、滿足關系 （邊界條件）求解以上兩式得； 根據導體表面上的邊界條件，在上、下導體表面上的電荷面密度為電容為 (b) 由圖可見，導體板之間介質與空氣中的電場為根據導體表面上的邊界條件，在上、下導體板與空氣的界面上的電荷面密度為在上、下導體板與介質的界面上的電荷面密度為電容為 2-31.電荷分布為在x=0處電位為0，求電位分布。解：由電荷分布可知，電位僅是x的函

17、數，電位滿足的方程為其通解為在 在 在 設，根據邊界條件;當時，電荷分布可看成薄層，薄層外電場具有對稱分布，即得即 2-32.兩塊電位分別為0和V的半無限大的導電平板構成夾角為的角形區域，求該角形區域中的電位分布。解：由題意，在圓柱坐標系中，電位僅是的函數，在導電平板之間電位方程為其通解為 由邊界條件，得 c b a題2.32圖 題2.31圖2-33.由導電平板制作的金屬盒如圖所示，除盒蓋的電位為V外，其余盒壁電位為0，求盒內電位分布。解：用分離變量法，可得電位的通解為利用邊界條件，可求出系數 （m、n為奇數） （m、n為偶數）題2-33圖 題2-34圖2-34.在的勻強電場中沿z軸放一根半徑

18、為a的無限長導電圓柱后，求電位及電場。解：由分離變量法，無限長導電圓柱外的電位的通解為 （1）設，當時的電位等于無導電圓柱的電位，即 （2）要使式（1）的電位在時等于式（2），可得到系數，再由導體界面的邊界條件得因此，電位的特解為2-35.在無限大的導電平板上方距導電平板h處平行放置無限長的線電荷，電荷線密度為，求導電平板上方的電場。解:用鏡像法,導電平板的影響等效為鏡像位置的一個電荷線密度為-的線電荷, 導電平板上方的電場為式中、分別為線電荷及其鏡像線電荷到場點的距離矢量。2-36.由無限大的導電平板折成的角形區，在該角形區中某一點()有一點電荷q，用鏡像法求電位分布。解：如圖將空間等分為8

19、個區，在每個區中以原來的導電面為鏡面可以依次找到鏡像位置，原電荷的位置為()，在圓柱坐標系中為，另外7個鏡像電荷在圓柱坐標系中的坐標為 鏡像電荷為對于場點，電荷到場點的距離矢量為；則場點的電場為題2-36圖 題2-37圖2-37.半徑為a，帶電量為Q的導體球附近距球心f處有一點電荷q，求點電荷q所受的力。解：點電荷q 受到的力（場）有兩部分，一部分等效為鏡像電荷的力，另一部分等效為位于球中心的點電荷的力。由鏡像法，鏡像電荷的大小和位置分別為由于包圍導體球的總電量為Q，所以位于位于球中心的點電荷=Q-;因此點電荷q 受到的力為2-38.內外半徑分別為a、b的導電球殼內距球心為d(d<a)處

20、有一點電荷q，當(1)導電球殼電位為零；(2)導電球殼電位為V；(3)導電球殼上的總電量為Q；分別求導電球殼內外的電位分布。解：（1）導電球殼電位為零由于導電球殼電位為零，導電球殼外無電荷分布，因此導電球殼外的電位為零。導電球殼內的電位的電位由導電球殼內的點電荷和導電球殼內壁上的電荷產生，而導電球殼內壁上的電荷可用位于導電球殼外的鏡像電荷等效，兩個電荷使導電球殼內壁面上的電位為零，因此鏡像電荷的大小、距球心的距離分別為；導電球殼內的電位為其中、分別為場點與點電荷及鏡像電荷的距離，用圓球坐標表示為（2）導電球殼電位為V當導電球殼電位為V時，從導電球外看，導電球面是等位面，且導電球外的電位是球對稱

21、的，其電位滿足 利用邊界條件得 導體球殼內的電位可看成兩部分的疊加，一部分是內有點電荷但球殼為零時的電位，這一部分的電位同前；另一部分是內無點電荷但球殼電位為V時的電位，這一部分的電位為V。因此導電球殼電位為V時，導電球殼內的電位為其中、分別為場點與點電荷及鏡像電荷的距離。(3)導電球殼上的總電量為Q當導電球殼上的總電量為Q時，從導電球外看，導電球面是等位面，且導電球外的電位是球對稱的，導電球殼內的總電量為Q+q,其電位滿足導電球殼上的電位為同上得，導電球殼內的電位為題2-38圖 題2-39圖2-39.無限大導電平面上有一導電半球，半徑為a，在半球體正上方距球心及導電平面h處有一點電荷q，求該

22、點電荷所受的力。解：要使導體球面和平面上的電位均為零，應有三個鏡像電荷，如圖所示。三個鏡像電荷的電量和位置分別為點電荷q所受的力為三個鏡像電荷的電場力，即力的正方向向上。2-40. 無限大導電平面上方平行放置一根半徑為a的無限長導電圓柱，該導電圓柱軸線距導電平面為h，求導電圓柱與導電平面之間單位長度的電容。解：如果無限長導電圓柱上有電荷線密度，導電平面可用鏡像位置的線電荷等效，鏡像電荷線密度為-。由導體圓柱的鏡像法可求得導體圓柱的電位，那么，單位導體圓柱與導電平面之間的電容為題2-40圖2-41. z>0半空間為介電常數為的介質，z<0半空間為介電常數為的介質，在界面兩邊距界面為h

23、的對稱位置分別放置電量分別為和的點電荷。分別計算兩個點電荷所受得力。解：利用鏡像法，計算z>0半空間的場時，原來的問題可等效為圖2-41(b)，計算z<0半空間的場時，原來的問題可等效為圖2-41(c)。這樣上半空間的電位可表示為式中為到場點的距離，為的鏡像位置的電荷到場點的距離；下半空間的電位可表示為式中為到場點的距離，為的鏡像位置的電荷到場點的距離。利用邊界條件，和得由此得和所受的斥力分別為 (a) (b) (c)題2-41圖2-42.真空中半徑為a的導體球電位為V，求電場能量。解：用兩種方法求解。1） 用電位求電場能量2） 用電場強度求電場能量導體球內的電場強度為零，導體球外

24、的電場強度為電場能量為2-43.圓球形電容器內導體的外半徑為a，外導體的內半徑為b，內外導體之間填充兩層介電常數分別為、的介質，界面半徑為c，電壓為V。求電容器中的電場能量。解：設圓球形電容器內導體上的電荷為 q，由高斯定理可求得在內外導體之間從而可求得內外導體之間的電壓為圓球形電容器的電容為電場能量為2-44. 長度為d的圓柱形電容器內導體的外半徑為a，外導體的內半徑為b，內外導體之間填充兩層介電常數分別為、的介質，界面半徑為c，電壓為V。求電容器中的電場能量。解：設圓柱形電容器內導體上的電荷為q，用高斯定理，在內外導體之間內外導體之間的電壓為內外導體之間的電容為電場能量為 2-45.兩尺寸

25、為a×a的平行導電平板之間距離為d，帶電量分別為,當將介電常數為的介質板插入導電板之間深度為x時，分別求介質板所受的電場力。ax題2.45圖解：設空氣填充部分和介質填充部分導電平板上的電荷密度分別為、由導體邊界條件得，；由介質邊界條件得或，因此空氣填充部分和介質填充部分導電平板上的電量分別為，。由及得 平行導電平板之間的電場能量為由虛功原理，對于常電荷系統，介質所受的沿x方向電場力為第三章 恒定電流場3-1 半徑為的薄圓盤上電荷面密度為，繞其圓盤軸線以角頻率旋轉形成電流，求電流面密度。解：3-2 平板電容器兩導電平板之間為三層非理想介質，厚度分別為電導率分別為，平板面積為S，如果給平

26、板電容器加電壓V，求平板之間的電場。解：設導電平板之間三層非理想介質中的電場均為勻強電場，分別為、，根據電壓關系和邊界條件，、滿足以下關系解此方程組得3-3 在§3.3例2中，如果在弧形導電體兩弧面之間加電壓，求該導電體沿徑向的電阻。解：設流過兩弧面的電流為I。作以與兩弧面同軸的半徑為的弧面，流過此弧面的電流密度為，則由 得由此得 兩弧面之間的電壓為 該導電體沿徑向的電阻為 4-3 球形電容器內導體半徑為a，外導體內半徑為c，內外導體之間填充兩層介電常數分別為，電導分別為的非理想介質，兩層非理想介質分界面半徑為b，如果內外導體間電壓為V，求電容器中的電場及界面上的電荷密度。解：由于圓

27、球形電容器內填充兩層非理想介質，有電流流過，設電流為I。在圓球形電容器內取一半徑為的球面，流過此球面的電流密度為，則由得 或 電場強度為 電壓為 由此求出電流與電壓的關系后，電場為內導體表面的電荷密度為外導體內表面的電荷密度為媒質分界面的（駐立）電荷密度為3-5 求3-2題中電容器的漏電導。解：由3-2題得流過電容器的電流為所以 3-6 求3-4題中圓球形電容器的電容及漏電導。解：此圓球形電容器的電容及漏電導是并串聯的形式如圖所示。；3-7 分別求3-2題及3-4題中電容器的損耗功率。解：（1）3-2題（2）3-4題3-8 邊長均為a的正方體導電槽中充滿電導率為的電解液，除導電板蓋的電位為V外

28、，槽的其余五個邊界面電位為零。求電解液中的電位。解：此題電位所滿足的方程和邊界條件與題2-33相同，因此其解也與題2-33相同。3-9 將半徑為a的半個導電球剛好埋入電導率為的大地中，如圖所示。求接地電阻。解：設從地線流出的電流為I，在大地中作與導體球同心，半徑為的半球面，在此半球面上電流密度相同，顯然滿足關系電場強度為 導電球的電位為 因此導電球的接地電阻為 題3-9圖3-10在電導率為的大地深處，相距d平行放置半徑均為a的無限長導體圓柱。求導體圓柱之間單位長度的漏電導。解：用靜電比擬法。此問題可與介質中的平行雙導線比擬，其電導與電容的關系為因為介質中的平行雙導線單位長度的電容為因此，埋地導

29、體圓柱之間單位長度的漏電導為第四章 恒定磁場4-1.真空中邊長為a的正方形導線回路，電流為I，求回路中心的磁場。解：設垂直于紙面向下的方向為z方向。由例4-1知，長為a的線電流I在平分線上距離為a/2的點上的磁感應強度為因而，邊長為a的正方形導線回路在中心點上的磁感應強度為題4-1圖 題4-2圖4-2. 真空中邊長為a的正三角形導線回路，電流為I，求回路中心的磁場。解：設垂直于紙面向下的方向為z方向。由例4-1知，長為a的線電流I在平分線上距離為b的點上的磁感應強度為對于邊長為a的正三角形，中心到每一邊的距離為，因而，邊長為a的正方形導線回路在中心點上的磁感應強度為4-3. 真空中導線繞成的回

30、路形狀如圖所示，電流為I。求半圓中心處的磁場。 (c)題4-3.圖解：設垂直于紙面向內的方向為z方向。由例4-2知，半徑為a的半圓中心處的磁場為（1） 因為在載流長直導線的延長線上磁場為零，因此（2） 由例4-1知，本題半無限長的載流長直導線在距離為a處的磁場為因此本題磁場為半圓環的磁場與兩半無限長的直導線的磁場之和（3） 本題磁場為電流方向相反的兩不同半徑的半圓環的磁場之和，即4-4. 在真空中將一個半徑為a的導線圓環沿直徑對折，使這兩半圓成一直角。電流為I，求半圓弧心處的磁場。解：本題磁場為兩相同半徑但平面法線垂直的半圓環的磁場之和、分別為兩半圓環平面的法向單位矢。4-5. 真空中半徑為a

31、的無限長導電圓筒上電流均勻分布，電流面密度為，沿軸向流動。求圓筒內外的磁場。解：由題意，電流具有軸對稱分布，磁場也具有軸對稱分布。因此無限長導電圓筒內的磁場為零；無限長導電圓筒外的磁場可用安培環路定律計算。圍繞無限長導電圓筒做一半徑為的圓環，利用安培環路定律在圓環上磁場相等，因此4-6.如果上題中電流沿圓周方向流動，求圓筒內外的磁場。解：由于導電圓筒內為無限長，且電流沿圓周方向流動，因此導電圓筒外磁場為零，導電圓筒內磁場為勻強磁場，且方向沿導電圓筒軸向，設為 z方向。利用安培環路定律，取閉合回路為如圖所示的矩形，長度為L，則因此 題4-6圖4-7.真空中一半徑為a的無限長圓柱體中，電流沿軸向流

32、動，電流分布為，求磁感應強度。解：由題意，電流具有軸對稱分布，磁場也具有軸對稱分布，因此無限長載流導電圓柱的磁場可用安培環路定律計算。圍繞無限長導電圓柱軸線做一半徑為的圓環，利用安培環路定律左邊 右邊 因此有 4-8.在真空中，電流分布為 求磁感應強度。解：由題意，電流具有軸對稱分布，磁場也具有軸對稱分布，因此磁場可用安培環路定律計算。圍繞z軸線做一半徑為的圓環，利用安培環路定律左邊 右邊 因此有4-9.已知無限長導體圓柱半徑為a，其內部有一圓柱形空腔半徑為b，導體圓柱的軸線與圓柱形空腔的軸線相距為c，如圖所示。若導體中均勻分布的電流密度為，試求空腔中的磁感應強度。解：利用疊加原理，空腔中的磁

33、感應強度為為電流均勻分布的實圓柱的磁感應強度；為與此圓柱形空腔互補而電流密度與實圓柱的電流密度相反的載流圓柱的磁感應強度。利用安培環流定律式中、分別為從圓柱中心軸和圓柱空腔中心軸指向場點的矢量。因此為從圓柱中心軸指向圓柱空腔中心軸的矢量。習題圖4-94-10.已知真空中位于xy平面的表面電流為，求磁感應強度。解：由于在無限大的平面上有均勻電流，因此產生勻強磁場。磁場方向在y方向，跨電流面取一長為L的矩形回路，利用安培環路定律得因此 寫成矢量形式為題4-10圖4-11.寬度為w的導電平板上電流面密度為，如圖所示，求磁感應強度。題4-11圖解：在空間取場點，在導電平板上位置取寬度為的細長電流，在場

34、點產生的磁場為導電平板上的電流產生的總場為4-12.半徑為a的均勻帶電圓盤上電荷密度為，圓盤繞其軸以角速度旋轉，求軸線上任一點的磁感應強度。解：帶電圓盤繞其軸以角速度旋轉，其上電流密度為。在帶電圓盤上取寬度為的小環，電流為，由例4-2知，在軸線上產生的磁場為旋轉帶電圓盤在軸線上產生的磁場為4-13.計算題4-2中電流的矢量磁位。解：首先計算載電流為I、長度為的直線在距離為d處的矢量磁位。設電流方向為，如圖所示。題4-13圖矢量磁位為對于等邊三角形，。其中等邊三角形的一條邊在等邊三角形中心的矢量磁位為等邊三角形的三條邊在等邊三角形中心的矢量磁位為4-14. 計算題4-3中電流的矢量磁位。4-15

35、. 一塊半徑為a長為d的圓柱形導磁體沿軸向均勻磁化，磁化強度為，求磁化電流及磁化電流在軸線上產生的磁感應強度。解：由于均勻磁化，圓柱形導磁體中的磁化體電流為零。圓柱形導磁體側面的磁化面電流密度為在圓柱形導磁體表面取一寬度為的電流環帶，先計算此電流環帶在軸線上的磁場（例4-2），然后對積分積分得 4-16. 一段截面為長為d的方柱形導磁體沿長度方向均勻磁化，磁化強度為，求磁化電流及磁化電流在軸線上產生的磁感應強度。解：由于均勻磁化，方柱形導磁體中的磁化體電流為零。方柱形形導磁體側面的磁化面電流密度為，圍繞方柱形導磁體表面作如圖所示的平行與xy面的矩形回路，電流沿此矩形回路流動。先求高度為dz的矩

36、形回路電流在軸線上產生的磁感應強度4-17.在磁導率為的媒質1及磁導率為的媒質2中距邊界面為h處分別平行于邊界平面放置相互平行的電流、，如圖所示，求單位長度的載流導線所受的力。題4-17圖解：用鏡像法。在計算媒質1中的磁場時，在2區的鏡像位置放置鏡像電流；在計算媒質2中的磁場時，在1區的鏡像位置放置鏡像電流。利用邊界條件、，可得方程解此方程得電流所受的力為 電流所受的力為 為引力方向。4-18.在截面為正方形半徑為的磁環上，密繞了兩個線圈，一個線圈為m匝，另一個線圈為n匝。磁芯的磁導率為100，分別近似計算兩線圈的自感及互感。解：近似認為密繞在磁環上的線圈無漏磁，磁環中磁場相等。用安培環路定律

37、N為線圈匝數。取閉合回路沿磁環中心線，則磁環中 即 由于，穿過磁環截面的磁通近似為因此 4-19.在一長直導線旁放一矩形導線框，線框繞其軸線偏轉一角度為，如圖所示。求長直導線與矩形導線框之間的互感并在圖上畫出互感為正時的電流方向。解：長直導線到線框兩邊的距離分別為長直導線通過線框中的磁場為長直導線的磁場通過線框兩邊之間的磁通等于通過半徑分別為、的圓弧之間的磁通，因此穿過線框的磁通可用下式計算 互感為題4-19圖 題4-20圖4-20. 在一長直導線旁放一等邊三角形導線框，如圖所示。求長直導線與等邊三角形導線框之間的互感并在圖上畫出互感為正時的電流方向。解：如圖所示，長直導線在等邊三角形導線框面

38、上的磁場為穿過三角形導線框中的磁通為互感為 4-21.在4-20題中如果兩導線回路的電流分別為、，求等邊三角形載流導線框所受的磁場力。解：系統的磁場能量為對于常電流系統，磁場力為4-22.在4-19題中如果兩導線回路的電流分別為、，求矩形載流導線框所受的磁場力矩。解：系統的磁場能量為對于常電流系統，磁場力為第五章 時變電磁場5.1如圖所示的電路中,電容器上的電壓為,電容為C, 證明電容器中的位移電流等于導線中的傳導電流。解：設電容器極板面積為S，電容器中的位移電流為,傳導電流為5.2由麥克斯韋方程組推導（5.3-4b）式。解：對麥克斯韋方程兩邊取旋度得上式左邊利用矢量恒等式，并考慮到對于均勻介

39、質，上式右端代入麥克斯韋方程，得5.3已知導電媒質中求：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）由麥克斯韋方程（2）（3）（4）5.4 在和兩種理想介質分界面上求。解：由兩種理想介質分界面的邊界條件 得 ，5.5在理想導體面上求導體表面上的。（設理想導體表面的法向為）解：由理想導體表面上的邊界條件設理想導體表面的法向為得導體表面上的為 5.6 已知在空氣中求： v。解：由得 由得5.7 已知在空氣中在圓球坐標系中，求。解：由5.8 已知在空氣中在圓球坐標系中，求。解：在圓球坐標系中利用關系式得上式代入得5.9 已知在空氣中在圓球坐標系中，求。解：在圓球坐標系中利用關系式得上式代入得5.10 已

40、知在如圖所示的用理想導體制作的矩形管中為常數，（1） 求；（2） 求；（3） 驗證滿足邊界條件；（4） 求各理想導體面上的面電流；（5） 求穿過管截面的平均功率。解：（1）由得（2）（3）在的理想導體面上，因此即滿足理想導體面邊界條件。（4）由在的理想導體面上+在的理想導體面上在的理想導體面上在的理想導體面上（6）5.11 如圖所示，兩個厚度為，間距為的平行導體長板。導體板寬度為，板上恒定電流為構成回路，電壓為。（1） 導體板近似看作理想導體，忽略邊緣效應。求穿過端面的功率。（2） 證明流進電導率為的單位長度導體板中的功率正好等于歐姆定律計算出的單位長度導體板的損耗功率。解：（1）導體板近似看

41、作理想導體，忽略邊緣效應，導體板之間的電場強度為，穿過端面的功率為 （3） 電導率為的導體中的電流密度為由，導體中的電場為 流進電導率為的單位長度導體板中的功率為式中為寬厚為的單位長度導體板的電阻。第六章 平面電磁波1.在=2, =1的理想介質中,頻率為=150MHz的均勻平面波沿y方向傳播,y=0處, =10V/m,求, (y,t), ,(y,t) ,.解： =150MHz=10Z=120/=/12(y,t)= 10cos(2*150*10t-y)(y,t)= /6cos(2*150*10t-y)=5/62.在真空中=求,(z,t), , ,Z, .解：由得=1m ，真空中 Z=120=12

42、0=-1203.在理想介質中(x,t)= 80cos(10*10t+2x)(x,t)= -cos(10*10t+2x)求: , , ,.解： 由得 =Hz=1m,由: ，從而 及 波阻抗 得：=9 ,=44.均勻平面電磁波在真空中沿=1/(+)方向傳播, =10,求,(y,z,t),(y,z,t), .解：設已知，則k=2/,=10=1/Z*=/(24)(-)(y,z,t)= 10cos(2c/t-/(y+z)(y,z,t)= 1/(12)(-)cos(2c/t-/(y+z)=5/(6)(+)5.證明電磁波=5(+)=5/120 為均勻平面波.證明：由=5(+)即 ，=/2-1/2=0 ，=0

43、又的方向不變，等相面為與垂直的面，顯然為平面。且，的大小也不變，故為均勻平面波。6.求=100kHz,1MHz,100MHz,10GHz時電磁波在鋁(=3.6*10/歐米, =1, =1)中的集膚深度.解：=1/=100kHz, =2.6526*10 m=1MHz, = 8.3882*10m=100MHz, = 8.3882*10m=10GHz, = 8.3882*10m7.銀的=6.1*10(1/歐米),在什么頻率上, =1mm?解：由=1/得：= 4.2KHz8.電磁波的頻率為100MHz,媒質參數為=8, =1, =0.5*10(1/歐米),求,.解：=1/= 1.0607*10m/s=

44、3m=3/=1.0607m=2/= 5.929.設地球的=8, =1, =5*10(1/歐米),在什么頻率范圍可將地球近似看作介質?求該頻率上的.解：當 << 時，可看作介質，工程中大于10倍即可，故：10*<2f*即 >= 8.988*10Hz=0.333210.在真空中,均勻平面波=(-1+j2)+(-2-j)求,及極化狀態.解：=-，k=1, =2=-(-1+j2)+ (-2-j) 又 =(-1+2j)( +j)故為右旋圓極化波11.均勻平面波(y,t)= sin(t+4y)+ sin(t+4y-/3)是什么極化狀態?求.解：=（-j-j）為橢圓極化波。=（-j+

45、j）12.均勻平面波=(j+j2+)是什么極化狀態?當=50MHz時,求.解：=j(+2)+, , 為右旋圓極化波由 k=2()，如果取=1,得：= 4.5613.均勻平面波從空氣中垂直投射到理想導體板上后,在距導體板=20mm,=25mm處相繼出現電場波節點及波腹點,在電場波腹點上=2V/m.求及.解：由題意，電場波節點及波腹點之間的距離為=-=5 mm,因此=0.02m,= c/=15GHz由式(6.5-7a) 入射波電場值與波腹點電場值的關系可得入射波電場值為=0.5*=1V/m由式(6.5-14) ，理想導體板上的面電流密度為 =0.0053A/m14.均勻平面波從空氣中沿y方向正投射

46、到理想導電板上后在理想導電板上,(t)=cos(300*10),求入射波 ,.解：設入射電場為 合成磁場為 理想導電板上的電流密度為 與已知的理想導電板上電流密度比較得：=60Hz, =60=-15.均勻平面波=10從z<0的空氣中垂直投射到z>0的介質(=4, =1)中,求反射系數,透射系數,兩區域中的電磁波以及電場波節點,波腹點的位置.解： =1m,， ,16.如果上題中電磁波方向相反,即從介質垂直投射到空氣中,重新計算各值.解：=1m, , 17.均勻平面波從空氣中垂直投射到理想的非磁性介質中.由測量知,距離界面最近的電場波節點上電場的有效值為1V/m,距界面L=1m;電場波

47、腹點上電場強度的有效值為2V/m.求電磁波的頻率,以及介質的介電常數.解：由： 得：，又： 得：；故：=4，=,18.均勻平面波=5,從空氣中垂直投射到厚度為d=0.5m, =4, =1的介質板上.求空氣中及介質板中的電磁場以及空氣介質界面上的反射系數,和空氣的駐波比.如果d=0.25m,重新計算以上各值.解：設 d=0.5m 時：,=5由z=0邊界條件得由z=d邊界條件得第一層：，第二層：第三層：d=0.25m時：由z=0邊界條件得,由z=d邊界條件得第一層： 第二層：第三層：19.頻率為=30GHz的均勻平面波垂直從z<0的空氣中垂直投射到z>=0的介質(=2,=1)中.求空氣

48、中的駐波比.如果要使空氣中無反射波,可在介質上覆蓋另一種非磁性介質材料,求該介質材料的節電常數及厚度.解：=1.4143由： 得 ，= 0.0071md= 0.0018m20.上題中如果頻率增加了10%,其他參數不便,覆蓋的介質材料還能否消除空氣中的反射波?為什么?如果有反射波,駐波比有多大?解：不能，因為與頻率有關, 如果頻率增加了10%,介質材料厚度不等于四分之一波長，這時，輸入阻抗為=(0.99 - j0.0533)-0.0043 - 0.0269j|R|=0.027 =1.056下 圖分別是介質板的厚度從0變化到半個波長（）時，反射系數（左圖）和駐波比（右圖）的值。21.有效值為1V/

49、m的圓極化均勻平面波,從空氣中以=/6的入射角度投射到=4,=1的理想介質中.求反射波及折射波.解：設為z<0空氣，波數為,則：, sin,0.2527，cos=0.9682 對平行極化：= 0.2828=0.6415對于垂直極化：=-0.3819 0.618122.圓極化波從空氣中斜投射到=4, =1的介質中,為了使反射波為線極化波,入射角度應為多少?是哪種極化方向的線極化波?解：只有平行極化波才會出現無反射或全折射現象，所以反射波為垂直極化的波。=23.電場有效值為1V/m的垂直極化波從介質(=1.5, =1)中斜投射到空氣中,求臨界角,并分別求入射角為,/12時的反射波及折射波.解：設空氣中波數為，則，按書中的坐標：=sin=0.8165,cos=0.5774當=時